5 Contoh Soal Aturan Simpson dan Cara Menghitungnya dengan Mudah

Aturan Simpson merupakan salah satu metode integrasi numerik yang paling sering digunakan dalam matematika, khususnya pada materi kalkulus dan metode numerik. Metode ini digunakan untuk menghitung nilai pendekatan dari integral tentu ketika penyelesaian analitik sulit atau tidak memungkinkan untuk dilakukan. Dibandingkan metode trapesium, Aturan Simpson dikenal memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi karena menggunakan pendekatan kurva berbentuk parabola.

Artikel ini akan membahas 5 contoh soal Aturan Simpson lengkap dengan cara menghitungnya dengan mudah, dimulai dari konsep dasar, rumus, hingga pembahasan langkah demi langkah. Artikel ini dirancang SEO friendly sehingga cocok untuk blog pendidikan, materi pembelajaran, maupun referensi tugas siswa dan mahasiswa.

Pengertian Aturan Simpson

Aturan Simpson adalah metode pendekatan numerik untuk menghitung integral tentu dengan cara membagi interval menjadi beberapa subinterval genap, kemudian mendekati kurva fungsi menggunakan polinom derajat dua (parabola). Metode ini sangat efektif untuk fungsi yang bersifat kontinu dan halus.

Secara matematis, Aturan Simpson digunakan untuk menghitung integral:

∫ₐᵇ f(x) dx

dengan pendekatan numerik berdasarkan nilai fungsi pada beberapa titik tertentu.

Jenis Aturan Simpson

Aturan Simpson terdiri dari dua jenis utama, yaitu:

1. Aturan Simpson 1/3
2. Aturan Simpson 3/8

Dalam pembahasan ini, fokus utama adalah Aturan Simpson 1/3, karena paling umum digunakan dalam soal-soal ujian dan latihan.

Rumus Aturan Simpson 1/3

Jika interval [a, b] dibagi menjadi n subinterval yang sama panjang (n harus genap), maka lebar subinterval adalah:

h = (b − a) / n

Rumus Aturan Simpson 1/3 adalah:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) [ f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 2f(xₙ₋₂) + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ) ]

Pola koefisien sangat penting untuk diingat:

• Titik awal dan akhir dikali 1
• Titik dengan indeks ganjil dikali 4
• Titik dengan indeks genap (kecuali awal dan akhir) dikali 2

Langkah Mudah Menghitung Aturan Simpson

Agar perhitungan lebih sederhana dan tidak membingungkan, berikut langkah-langkah umum menghitung Aturan Simpson:

1. Tentukan batas integral a dan b
2. Tentukan jumlah subinterval n (harus genap)
3. Hitung lebar subinterval h
4. Tentukan titik-titik x
5. Hitung nilai f(x) pada setiap titik
6. Berikan koefisien sesuai rumus Simpson
7. Hitung hasil akhir

Langkah-langkah ini akan diterapkan pada setiap contoh soal berikut.

Contoh Soal 1 Aturan Simpson

Hitung nilai pendekatan dari:

∫₀² (x² + 1) dx

menggunakan Aturan Simpson 1/3 dengan n = 2.

Pembahasan

Langkah pertama, tentukan batas integral:
a = 0 dan b = 2

Jumlah subinterval:
n = 2

Lebar subinterval:
h = (2 − 0) / 2 = 1

Titik-titik x:
x₀ = 0
x₁ = 1
x₂ = 2

Nilai fungsi:
f(0) = 0² + 1 = 1
f(1) = 1² + 1 = 2
f(2) = 2² + 1 = 5

Substitusi ke rumus Simpson:
∫₀² f(x) dx ≈ (1/3)[1 + 4(2) + 5]
= (1/3)(14)
= 4,67

Jadi, hasil pendekatan integral adalah 4,67.

Baca Juga : Contoh Soal AKM Terbaru sebagai Pengganti UN +

Contoh Soal 2 Aturan Simpson

Hitung nilai:

∫₀⁴ x³ dx

menggunakan Aturan Simpson 1/3 dengan n = 4.

Pembahasan

Batas integral:
a = 0 dan b = 4

Jumlah subinterval:
n = 4

Lebar subinterval:
h = (4 − 0) / 4 = 1

Titik-titik x:
0, 1, 2, 3, 4

Nilai fungsi:
f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 8
f(3) = 27
f(4) = 64

Masukkan ke rumus:
∫₀⁴ x³ dx ≈ (1/3)[0 + 4(1) + 2(8) + 4(27) + 64]
= (1/3)(192)
= 64

Hasil integral dengan Aturan Simpson adalah 64.

Contoh Soal 3 Aturan Simpson

Tentukan nilai pendekatan dari:

∫₁⁵ (2x + 1) dx

menggunakan Aturan Simpson 1/3 dengan n = 4.

Pembahasan

Batas integral:
a = 1 dan b = 5

Jumlah subinterval:
n = 4

Lebar subinterval:
h = (5 − 1) / 4 = 1

Titik-titik x:
1, 2, 3, 4, 5

Nilai fungsi:
f(1) = 3
f(2) = 5
f(3) = 7
f(4) = 9
f(5) = 11

Baca Juga : Universitas Teknokrat Indonesia Masuk 10 Besar Kampus Swasta Terbaik Nasional Versi AppliedHE ASEAN 2026

Substitusi ke rumus:
∫₁⁵ f(x) dx ≈ (1/3)[3 + 4(5) + 2(7) + 4(9) + 11]
= (1/3)(84)
= 28

Jadi, nilai pendekatan integral adalah 28.

Contoh Soal 4 Aturan Simpson dengan Fungsi Trigonometri

Hitung nilai pendekatan dari:

∫₀^(π) sin x dx

menggunakan Aturan Simpson 1/3 dengan n = 4.

Pembahasan

Batas integral:
a = 0 dan b = π

Jumlah subinterval:
n = 4

Lebar subinterval:
h = π / 4

Titik-titik x:
0, π/4, π/2, 3π/4, π

Nilai fungsi:
sin 0 = 0
sin π/4 = 0,707
sin π/2 = 1
sin 3π/4 = 0,707
sin π = 0

Masukkan ke rumus Simpson:
∫₀^π sin x dx ≈ (h/3)[0 + 4(0,707) + 2(1) + 4(0,707) + 0]

≈ (π/12)(6,656)
≈ 1,99

Hasil pendekatan integral mendekati nilai eksaknya yaitu 2.

Contoh Soal 5 Aturan Simpson dengan Data Tabel

Diketahui data berikut:

x: 0, 1, 2, 3, 4
f(x): 1, 3, 2, 5, 4

Hitung nilai ∫₀⁴ f(x) dx menggunakan Aturan Simpson 1/3.

Pembahasan

Batas integral:
a = 0 dan b = 4

Jumlah subinterval:
n = 4

Lebar subinterval:
h = 1

Substitusi ke rumus:
∫₀⁴ f(x) dx ≈ (1/3)[1 + 4(3) + 2(2) + 4(5) + 4]
= (1/3)(41)
= 13,67

Jadi, nilai pendekatan integral adalah 13,67.

Tips Mudah Menghitung Aturan Simpson

Agar lebih mudah dan minim kesalahan, perhatikan tips berikut:

• Pastikan jumlah subinterval selalu genap
• Buat tabel nilai x dan f(x)
• Tandai indeks ganjil dan genap
• Kerjakan perhitungan secara bertahap
• Gunakan kalkulator untuk fungsi trigonometri

Kesalahan Umum dalam Aturan Simpson

Beberapa kesalahan yang sering dilakukan antara lain:

• Salah menentukan nilai h
• Keliru memberi koefisien 4 dan 2
• Menggunakan n ganjil
• Salah menghitung nilai fungsi

Memahami pola dan langkah-langkahnya akan sangat membantu menghindari kesalahan tersebut.

Kesimpulan

Aturan Simpson adalah metode integrasi numerik yang sangat efektif dan akurat untuk menghitung nilai pendekatan integral tentu. Dengan memahami rumus, pola koefisien, dan langkah-langkah perhitungannya, proses menghitung integral menjadi jauh lebih mudah.

Melalui 5 contoh soal Aturan Simpson dan cara menghitungnya dengan mudah yang telah dibahas, diharapkan pembaca mampu:

• Memahami konsep Aturan Simpson dengan baik
• Menghitung integral tentu secara sistematis
• Meningkatkan kepercayaan diri dalam mengerjakan soal matematika

Penulis : Reyfen Andrian