Kumpulan Contoh Soal Barisan Geometri Lengkap dengan Pembahasan Terbaru

Barisan geometri merupakan salah satu materi penting dalam matematika yang sering muncul dalam soal ujian baik di tingkat sekolah menengah maupun ujian nasional. Materi ini berkaitan dengan pola bilangan yang memiliki rasio tetap antara satu suku dengan suku berikutnya. Dalam artikel ini, kami akan menyajikan kumpulan contoh soal barisan geometri lengkap dengan pembahasan terbaru untuk memudahkan pemahaman dan latihan Anda.

baca juga:Contoh Soal Jenis Jenis Fungsi yang Sering Muncul dalam Ujian

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r). Secara matematis, barisan geometri dituliskan sebagai:$$a, ar, ar^2, ar^3, \dots$$a,ar,ar2,ar3,…

Di mana:

• $a$a adalah suku pertama
• $r$r adalah rasio tetap
• $n$n adalah nomor suku

Contoh: Barisan $2, 6, 18, 54, \dots$2,6,18,54,… merupakan barisan geometri dengan $a = 2$a=2 dan $r = 3$r=3.

Rumus Umum Barisan Geometri

1. Suku ke-n barisan geometri
   Rumus suku ke-n ($U_n$Un​) dalam barisan geometri adalah:

$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$Un​=a⋅rn−1

Contoh: Jika $a = 3$a=3 dan $r = 2$r=2, maka suku ke-5 adalah:$$U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$U5​=3⋅25−1=3⋅16=48

2. Jumlah n suku pertama (Sn) untuk barisan geometri
   Jika rasio $r \neq 1$r=1, rumus jumlah n suku pertama adalah:

$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​

Jika $r = 1$r=1, maka:$$S_n = n \cdot a$$Sn​=n⋅a

Contoh Soal 1: Menentukan Suku Ke-n Barisan Geometri

Diketahui barisan geometri $5, 10, 20, \dots$5,10,20,…. Tentukan suku ke-6.

Pembahasan:
Diketahui: $a = 5$a=5, rasio $r = \frac{10}{5} = 2$r=510​=2.
Rumus suku ke-n: $U_n = a \cdot r^{n-1}$Un​=a⋅rn−1$$U_6 = 5 \cdot 2^{6-1} = 5 \cdot 32 = 160$$U6​=5⋅26−1=5⋅32=160

Jadi, suku ke-6 adalah 160.

Contoh Soal 2: Menentukan Rasio Barisan Geometri

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $3$3 dan suku ke-4 adalah $24$24. Tentukan rasio barisan tersebut.

Pembahasan:
Rumus suku ke-n: $U_n = a \cdot r^{n-1}$Un​=a⋅rn−1$$U_4 = 3 \cdot r^{4-1} = 24$$U4​=3⋅r4−1=24 $$3 \cdot r^3 = 24 \implies r^3 = \frac{24}{3} = 8$$3⋅r3=24⟹r3=324​=8 $$r = \sqrt[3]{8} = 2$$r=38​=2

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 2.

Contoh Soal 3: Menentukan Suku Pertama Barisan Geometri

Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 32 dan rasio barisan adalah 2. Tentukan suku pertamanya.

Pembahasan:
Rumus suku ke-n: $U_3 = a \cdot r^{3-1} = a \cdot r^2$U3​=a⋅r3−1=a⋅r2$$32 = a \cdot 2^2 \implies 32 = a \cdot 4$$32=a⋅22⟹32=a⋅4 $$a = \frac{32}{4} = 8$$a=432​=8

Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 8.

Contoh Soal 4: Menjumlahkan Suku Pertama Barisan Geometri

Diketahui barisan geometri $2, 6, 18, \dots$2,6,18,… hingga suku ke-5. Tentukan jumlah 5 suku pertama.

Pembahasan:
Diketahui: $a = 2$a=2, $r = 3$r=3, $n = 5$n=5
Rumus jumlah suku:$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​ $$S_5 = 2 \frac{3^5 – 1}{3 – 1} = 2 \frac{243 – 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242$$S5​=23−135−1​=22243−1​=2⋅121=242

Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 242.

Contoh Soal 5: Menentukan Suku Ke-n dengan Jumlah Suku Tertentu

Diketahui barisan geometri $3, 6, 12, \dots$3,6,12,…. Tentukan suku ke-n jika jumlah n suku pertama adalah 381.

Pembahasan:
Diketahui: $a = 3$a=3, $r = 2$r=2, $S_n = 381$Sn​=381
Rumus jumlah suku:$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​ $$381 = 3 \frac{2^n – 1}{2 – 1} \implies 381 = 3(2^n – 1)$$381=32−12n−1​⟹381=3(2n−1) $$381 = 3 \cdot 2^n – 3 \implies 384 = 3 \cdot 2^n \implies 2^n = 128$$381=3⋅2n−3⟹384=3⋅2n⟹2n=128 $$2^n = 2^7 \implies n = 7$$2n=27⟹n=7

Jadi, suku ke-n adalah 7.

Tips Cepat Mengerjakan Soal Barisan Geometri

1. Kenali tipe soal: Apakah soal meminta suku ke-n, jumlah suku, rasio, atau suku pertama.
2. Gunakan rumus yang tepat: $U_n = a \cdot r^{n-1}$Un​=a⋅rn−1 untuk suku ke-n, $S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$Sn​=ar−1rn−1​ untuk jumlah suku.
3. Perhatikan tanda rasio: Rasio bisa positif atau negatif tergantung pola barisan.
4. Cek hasil dengan pola: Setelah dihitung, pastikan hasil konsisten dengan barisan awal.
5. Latihan rutin: Semakin sering latihan, semakin cepat mengenali pola dan tipe soal.

Contoh Soal 6: Barisan Geometri dengan Rasio Negatif

Diketahui barisan geometri $5, -10, 20, \dots$5,−10,20,…. Tentukan suku ke-6.

Pembahasan:
Diketahui: $a = 5$a=5, $r = -2$r=−2 (karena $-10/5 = -2$−10/5=−2)$$U_6 = a \cdot r^{6-1} = 5 \cdot (-2)^5 = 5 \cdot (-32) = -160$$U6​=a⋅r6−1=5⋅(−2)5=5⋅(−32)=−160

Jadi, suku ke-6 adalah -160.

Contoh Soal 7: Barisan Geometri Tak Lengkap

Diketahui barisan geometri memiliki suku pertama $4$4 dan suku ke-5 $64$64. Tentukan rasio dan suku ke-3.

Pembahasan:
Rumus suku ke-n: $U_5 = a \cdot r^{5-1} = 4 \cdot r^4 = 64$U5​=a⋅r5−1=4⋅r4=64$$r^4 = \frac{64}{4} = 16 \implies r = \sqrt[4]{16} = 2$$r4=464​=16⟹r=416​=2

Suku ke-3: $U_3 = a \cdot r^{3-1} = 4 \cdot 2^2 = 16$U3​=a⋅r3−1=4⋅22=16

Jadi, rasio 2 dan suku ke-3 16.

Contoh Soal 8: Jumlah Barisan Geometri dengan Rasio Pecahan

Diketahui barisan geometri $81, 27, 9, \dots$81,27,9,… hingga suku ke-4. Tentukan jumlah 4 suku pertama.

Pembahasan:
Diketahui: $a = 81$a=81, $r = 27/81 = 1/3$r=27/81=1/3, $n = 4$n=4$$S_4 = a \frac{r^4 – 1}{r – 1} = 81 \frac{(1/3)^4 – 1}{(1/3) – 1} = 81 \frac{1/81 – 1}{-2/3}$$S4​=ar−1r4−1​=81(1/3)−1(1/3)4−1​=81−2/31/81−1​ $$= 81 \cdot \frac{-80/81}{-2/3} = 81 \cdot \frac{-80/81 \cdot -3/2}{1} = 81 \cdot \frac{240}{162} = 81 \cdot \frac{80}{54} = 120$$=81⋅−2/3−80/81​=81⋅1−80/81⋅−3/2​=81⋅162240​=81⋅5480​=120

Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 120.

baca juga:Rektor Universitas Teknokrat Indonesia Nasrullah Yusuf Lantik Lilik Ariyanto Ketua Program Studi Teknik Sipil

Kesimpulan

Barisan geometri adalah salah satu materi matematika yang memiliki pola jelas dan rumus terstruktur. Dengan memahami rumus suku ke-n dan jumlah suku pertama, serta berlatih berbagai soal dari rasio positif, negatif, hingga pecahan, siswa akan lebih cepat menguasai materi ini.

Dalam artikel ini, kami menyajikan kumpulan contoh soal barisan geometri lengkap dengan pembahasan terbaru, mulai dari menentukan suku ke-n, jumlah suku, hingga rasio dan suku pertama. Dengan rutin latihan, pemahaman dan kecepatan menyelesaikan soal akan meningkat secara signifikan.

penulis:putra