contoh soal metode Kuhn-Tucker (optimisasi dengan kendala tidak negatif)

Contoh 1 – Soal Dasar
Soal
Maksimalkan fungsi tujuan
f(x, y) = 3x + 4y
dengan kendala
x + 2y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0

Baca juga:Meneladani Sang Pencerah Zaman: Panduan Pembelaj

Jawaban
Langkah 1: Tulis Lagrangian dengan multiplier λ ≥ 0
L(x, y, λ) = 3x + 4y + λ(8 − x − 2y)

Langkah 2: Turunan parsial terhadap x dan y, set sama dengan nol (KKT conditions)
∂L/∂x = 3 − λ = 0 → λ = 3
∂L/∂y = 4 − 2λ = 0 → 2λ = 4 → λ = 2

Langkah 3: Cek konsistensi
λ tidak sama (λ = 3 dari x, λ = 2 dari y) → artinya x atau y bisa = 0

Langkah 4: Periksa kondisi komplementaritas
λ (8 − x − 2y) = 0

Kasus 1: y = 0 → kendala x + 0 ≤ 8 → x ≤ 8 → f = 3×8 + 4×0 = 24
Kasus 2: x = 0 → kendala 0 + 2y ≤ 8 → y ≤ 4 → f = 3×0 + 4×4 = 16

Langkah 5: Pilih nilai maksimum
f maksimal = 24 → x = 8, y = 0

Jadi solusi optimal: x* = 8, y* = 0, f* = 24

Contoh 2 – Soal dengan dua kendala
Soal
Maksimalkan f(x, y) = x + 2y
dengan kendala
x + y ≤ 5
x ≤ 3
x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban
Langkah 1: Tulis Lagrangian
L = x + 2y + λ₁(5 − x − y) + λ₂(3 − x)

Langkah 2: Turunan parsial
∂L/∂x = 1 − λ₁ − λ₂ = 0
∂L/∂y = 2 − λ₁ = 0 → λ₁ = 2
∂L/∂x: 1 − 2 − λ₂ = 0 → λ₂ = −1 → tidak mungkin (λ ≥ 0)

Langkah 3: Periksa batas kendala
Kendala aktif: x ≤ 3, x + y ≤ 5
Coba titik sudut feasible: (0,0),(0,5),(3,2),(3,0),(2,3)

Hitung f:
(0,5) → f = 0 + 10 = 10
(3,2) → f = 3 + 4 = 7
(3,0) → f = 3 + 0 = 3
(0,0) → f = 0
(2,3) → f = 2 + 6 = 8

f maksimal = 10 → x = 0, y = 5

Pembahasan
Kadang pada soal sederhana, metode titik sudut lebih mudah daripada langsung KKT karena multiplier negatif muncul.

Baca juga:FEB Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Kuliah Umum Ekonomi Mikro Bahas Peran Pemerintah dalam Penyediaan Barang Publik

Contoh 3 – Soal Non-negatif
Soal
Maksimalkan f(x, y) = 2x + y
dengan kendala
x + y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban
Langkah 1: Titik sudut feasible: (0,0),(4,0),(0,4)
Hitung f:
(0,0) → f = 0
(4,0) → f = 8
(0,4) → f = 4

Jadi solusi optimal: x = 4, y = 0, f* = 8

Penulis: loveytha