Menguasai Rekursi Kelas 11: Contoh Soal dan Cara Penyelesaiannya

Rekursi adalah salah satu topik penting dalam matematika kelas 11, khususnya pada materi barisan dan deret. Konsep rekursi sering digunakan untuk menyatakan suku suatu barisan melalui suku sebelumnya, bukan langsung melalui posisi suku tersebut. Memahami rekursi membantu siswa mengembangkan kemampuan berpikir logis dan sistematis, serta mempermudah penyelesaian soal barisan aritmatika, geometri, maupun barisan khusus lainnya. Artikel ini akan membahas contoh soal rekursi kelas 11 lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah dan tips agar mudah dipahami.

Baca juga:Menguasai Konsep Molar melalui Contoh Soal dan

Apa Itu Rekursi

Rekursi adalah metode untuk mendefinisikan sesuatu berdasarkan versi sebelumnya dari dirinya sendiri. Dalam barisan, rumus rekursif menyatakan suku ke-n sebagai fungsi dari satu atau lebih suku sebelumnya.

Contoh sederhana: barisan aritmatika dengan beda 3, dimulai dari 2, dapat ditulis:

• Suku pertama a₁ = 2
• Rumus rekursif: a_n = a_{n-1} + 3, untuk n > 1

Artinya, setiap suku diperoleh dengan menambahkan 3 pada suku sebelumnya.

Contoh Soal 1: Barisan Aritmatika

Soal: Diketahui barisan aritmatika dengan a₁ = 5 dan beda d = 4. Tuliskan 5 suku pertama menggunakan rumus rekursif.

Penyelesaian: Rumus rekursif barisan aritmatika: a_n = a_{n-1} + d, a₁ = 5

• a₁ = 5
• a₂ = a₁ + 4 = 5 + 4 = 9
• a₃ = a₂ + 4 = 9 + 4 = 13
• a₄ = a₃ + 4 = 13 + 4 = 17
• a₅ = a₄ + 4 = 17 + 4 = 21

Jawaban: 5, 9, 13, 17, 21

Contoh Soal 2: Barisan Geometri

Soal: Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama a₁ = 2 dan rasio r = 3. Tuliskan 5 suku pertama menggunakan rumus rekursif.

Penyelesaian: Rumus rekursif barisan geometri: a_n = r × a_{n-1}, a₁ = 2

• a₁ = 2
• a₂ = 3 × 2 = 6
• a₃ = 3 × 6 = 18
• a₄ = 3 × 18 = 54
• a₅ = 3 × 54 = 162

Jawaban: 2, 6, 18, 54, 162

Contoh Soal 3: Barisan Khusus

Soal: Barisan didefinisikan dengan a₁ = 1 dan a_n = a_{n-1} + 2n untuk n > 1. Tentukan a₄.

Penyelesaian: Hitung bertahap

• a₁ = 1
• a₂ = a₁ + 2×2 = 1 + 4 = 5
• a₃ = a₂ + 2×3 = 5 + 6 = 11
• a₄ = a₃ + 2×4 = 11 + 8 = 19

Jawaban: a₄ = 19

Contoh Soal 4: Rekursi Dua Suku

Soal: Barisan didefinisikan dengan a₁ = 1, a₂ = 2, dan a_n = a_{n-1} + a_{n-2} untuk n > 2. Tentukan 6 suku pertama.

Penyelesaian: Hitung bertahap

• a₁ = 1
• a₂ = 2
• a₃ = a₂ + a₁ = 2 + 1 = 3
• a₄ = a₃ + a₂ = 3 + 2 = 5
• a₅ = a₄ + a₃ = 5 + 3 = 8
• a₆ = a₅ + a₄ = 8 + 5 = 13

Jawaban: 1, 2, 3, 5, 8, 13

Contoh Soal 5: Menentukan Suku ke-n dari Rekursi

Soal: Diketahui a₁ = 3 dan a_n = a_{n-1} + 7. Tentukan a_{10}.

Penyelesaian: Rekursi aritmatika dapat diubah ke bentuk eksplisit:$$a_n = a_1 + (n-1)d$$an​=a1​+(n−1)d

d = 7, a₁ = 3, n = 10$$a_{10} = 3 + (10-1)×7 = 3 + 63 = 66$$a10​=3+(10−1)×7=3+63=66

Jawaban: a_{10} = 66

Contoh Soal 6: Rekursi dan Jumlah Suku

Soal: Barisan aritmatika dengan a₁ = 4 dan a_n = a_{n-1} + 5. Hitung jumlah 8 suku pertama.

Penyelesaian: Gunakan rumus jumlah n suku barisan aritmatika:$$S_n = n/2(a_1 + a_n)$$Sn​=n/2(a1​+an​)

Cari a₈: a₈ = a₁ + (8-1)×5 = 4 + 35 = 39
S₈ = 8/2 × (4 + 39) = 4 × 43 = 172

Jawaban: 172

Contoh Soal 7: Barisan dengan Rumus Khusus

Soal: Barisan didefinisikan dengan a₁ = 2, a_n = 2a_{n-1} + 1 untuk n > 1. Tentukan a₄.

Penyelesaian: Hitung bertahap

• a₁ = 2
• a₂ = 2×2 + 1 = 5
• a₃ = 2×5 + 1 = 11
• a₄ = 2×11 + 1 = 23

Jawaban: a₄ = 23

Tips Menguasai Soal Rekursi

1. Pahami rumus rekursif: Selalu identifikasi suku pertama dan hubungan suku-suku berikutnya.
2. Hitung bertahap: Untuk soal dengan sedikit suku, cara paling aman adalah menghitung satu per satu.
3. Gunakan rumus eksplisit: Jika suku ke-n diminta dalam barisan aritmatika atau geometri, ubah rekursi ke rumus eksplisit.
4. Periksa pola: Untuk barisan khusus, perhatikan pola penambahan, perkalian, atau kombinasi.
5. Latihan variasi: Rekursi satu suku, dua suku, barisan aritmatika, geometri, dan barisan khusus agar terbiasa.

Baca juga:Mahasiswa FEB Universitas Teknokrat Indonesia Raih Juara III Lomba Business Plan Festival Earth Dream 2025

Kesimpulan

Rekursi adalah konsep penting yang menghubungkan satu suku dengan suku sebelumnya dalam barisan. Dengan menguasai rekursi, siswa dapat menyelesaikan soal barisan aritmatika, geometri, maupun barisan khusus secara sistematis. Latihan melalui contoh soal rekursi satu suku, dua suku, dan barisan dengan rumus khusus akan meningkatkan kemampuan logika dan mempermudah penyelesaian soal yang lebih kompleks. Mengubah rumus rekursif ke bentuk eksplisit juga membantu menghitung suku ke-n dan jumlah suku dengan cepat, yang sangat berguna untuk ujian matematika kelas 11.

Penulis: Maharani Noeralifa