Pencerminan atau refleksi merupakan salah satu bagian dari materi Transformasi Geometri yang sangat krusial dalam kurikulum matematika SMA. Memahami refleksi bukan sekadar menghafal koordinat, melainkan memahami bagaimana sebuah objek berpindah posisi terhadap garis atau titik tertentu tanpa mengubah bentuk dan ukurannya.
Dalam artikel ini, kita akan mengupas tuntas materi pencerminan, mulai dari rumus-rumus dasar hingga latihan soal yang sering muncul dalam ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi.
Baca juga: Kumpulan Contoh Soal Luas Juring yang Sering Dicari di Brainly
Memahami Konsep Dasar Pencerminan (Refleksi)
Secara sederhana, pencerminan adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik titik yang hendak dipindahkan. Jarak benda ke cermin selalu sama dengan jarak bayangan ke cermin.
Berikut adalah tabel ringkasan rumus pencerminan titik $A(x, y)$ terhadap berbagai sumbu:
| Pencerminan Terhadap | Koordinat Bayangan A′(x′,y′) |
| Sumbu $x$ | $(x, -y)$ |
| Sumbu $y$ | $(-x, y)$ |
| Titik Asal $O(0, 0)$ | $(-x, -y)$ |
| Garis $y = x$ | $(y, x)$ |
| Garis $y = -x$ | $(-y, -x)$ |
| Garis $x = h$ | $(2h – x, y)$ |
| Garis $y = k$ | $(x, 2k – y)$ |
15 Contoh Soal Pencerminan dan Pembahasannya
Soal 1: Pencerminan terhadap Sumbu x
Titik $A(3, 5)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$. Tentukan koordinat bayangan titik $A$.
Pembahasan:
Berdasarkan rumus, pencerminan terhadap sumbu $x$ mengubah tanda koordinat $y$.
$$x’ = x = 3$$
$$y’ = -y = -5$$
Jadi, bayangan titik $A$ adalah $A'(3, -5)$.
Soal 2: Pencerminan terhadap Sumbu y
Titik $B(-4, 7)$ dicerminkan terhadap sumbu $y$. Tentukan koordinat bayangan titik $B$.
Pembahasan:
Pencerminan terhadap sumbu $y$ mengubah tanda koordinat $x$.
$$x’ = -x = -(-4) = 4$$
$$y’ = y = 7$$
Jadi, bayangan titik $B$ adalah $B'(4, 7)$.
Soal 3: Pencerminan terhadap Titik O(0, 0)
Tentukan bayangan titik $C(6, -2)$ jika dicerminkan terhadap titik pusat $O(0, 0)$.
Pembahasan:
Pencerminan terhadap titik asal mengubah kedua tanda koordinat.
$$x’ = -x = -6$$
$$y’ = -y = -(-2) = 2$$
Jadi, bayangan titik $C$ adalah $C'(-6, 2)$.
Soal 4: Pencerminan terhadap Garis y = x
Titik $D(1, 8)$ dicerminkan terhadap garis $y = x$. Tentukan koordinat bayangannya.
Pembahasan:
Pada garis $y = x$, kita cukup menukar posisi $x$ dan $y$.
$$x’ = y = 8$$
$$y’ = x = 1$$
Jadi, bayangan titik $D$ adalah $D'(8, 1)$.
Soal 5: Pencerminan terhadap Garis y = -x
Jika titik $E(-3, -5)$ dicerminkan terhadap garis $y = -x$, tentukan posisi bayangannya.
Pembahasan:
Tukar posisi $x$ dan $y$, lalu kalikan keduanya dengan negatif.
$$x’ = -y = -(-5) = 5$$
$$y’ = -x = -(-3) = 3$$
Jadi, bayangan titik $E$ adalah $E'(5, 3)$.
Soal 6: Pencerminan terhadap Garis x = h
Tentukan bayangan titik $F(2, 4)$ jika dicerminkan terhadap garis $x = 5$.
Pembahasan:
Gunakan rumus $x’ = 2h – x$ dan $y’ = y$.
$$x’ = 2(5) – 2 = 10 – 2 = 8$$
$$y’ = 4$$
Jadi, bayangan titik $F$ adalah $F'(8, 4)$.
Soal 7: Pencerminan terhadap Garis y = k
Titik $G(-1, 3)$ dicerminkan terhadap garis $y = -2$. Tentukan koordinat bayangannya.
Pembahasan:
Gunakan rumus $x’ = x$ dan $y’ = 2k – y$.
$$x’ = -1$$
$$y’ = 2(-2) – 3 = -4 – 3 = -7$$
Jadi, bayangan titik $G$ adalah $G'(-1, -7)$.
Soal 8: Pencerminan Kurva (Garis) terhadap Sumbu x
Tentukan persamaan bayangan garis $y = 2x + 3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $x$.
Pembahasan:
Bayangan terhadap sumbu $x$: $x’ = x$ dan $y’ = -y$.
Substitusikan ke persamaan asal:
$$-y’ = 2(x’) + 3$$
$$y’ = -2x’ – 3$$
Jadi, bayangan garisnya adalah $y = -2x – 3$.
Soal 9: Pencerminan Kurva terhadap Garis y = x
Tentukan bayangan lingkaran $x^2 + y^2 = 9$ jika dicerminkan terhadap garis $y = x$.
Pembahasan:
Pada $y = x$, maka $x = y’$ dan $y = x’$.
Substitusi ke persamaan:
$$(y’)^2 + (x’)^2 = 9$$
$$x^2 + y^2 = 9$$
Karena bentuknya lingkaran simetris terhadap pusat $(0,0)$, bayangannya tetap sama.
Soal 10: Pencerminan Berturut-turut (Komposisi)
Titik $H(2, 3)$ dicerminkan terhadap sumbu $y$, kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis $x = 2$. Tentukan bayangan akhir.
Pembahasan:
- Refleksi sumbu $y$: $H(2, 3) \rightarrow H'(-2, 3)$
- Refleksi garis $x = 2$:$x” = 2(2) – (-2) = 4 + 2 = 6$$y” = 3$Jadi, bayangan akhirnya adalah $H”(6, 3)$.
Soal 11: Mencari Nilai Konstanta
Titik $I(a, b)$ dicerminkan terhadap garis $x = 3$ menghasilkan bayangan $I'(2, 4)$. Berapakah nilai $a$ dan $b$?
Pembahasan:
$x’ = 2h – a \rightarrow 2 = 2(3) – a \rightarrow 2 = 6 – a \rightarrow a = 4$
$y’ = b \rightarrow 4 = b$
Jadi, nilai $a = 4$ dan $b = 4$.
Soal 12: Pencerminan Parabola
Tentukan bayangan parabola $y = x^2 – 4x + 1$ jika dicerminkan terhadap titik asal $O(0, 0)$.
Pembahasan:
$x’ = -x \rightarrow x = -x’$
$y’ = -y \rightarrow y = -y’$
Substitusi:
$$-y’ = (-x’)^2 – 4(-x’) + 1$$
$$-y’ = (x’)^2 + 4x’ + 1$$
$$y = -x^2 – 4x – 1$$
Jadi, bayangannya adalah $y = -x^2 – 4x – 1$.
Soal 13: Pencerminan terhadap Garis y = h yang Tak Diketahui
Titik $J(5, 2)$ dicerminkan terhadap garis $y = k$ menghasilkan $J'(5, 10)$. Tentukan nilai $k$.
Pembahasan:
$y’ = 2k – y$
$10 = 2k – 2$
$12 = 2k$
$k = 6$
Jadi, garis pencerminannya adalah $y = 6$.
Soal 14: Pencerminan Segitiga
Segitiga $ABC$ dengan $A(1,1), B(4,1), C(1,3)$ dicerminkan terhadap sumbu $y$. Tentukan luas bayangan segitiga tersebut.
Pembahasan:
Pencerminan adalah transformasi isometri (tidak mengubah luas).
Luas asli = $\frac{1}{2} \times alas \times tinggi$
Alas (jarak $AB$) = $|4 – 1| = 3$ unit.
Tinggi (jarak $AC$) = $|3 – 1| = 2$ unit.
Luas = $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$.
Jadi, luas bayangannya tetap 3 satuan luas.
Soal 15: Komposisi Matriks Refleksi
Tentukan bayangan titik $K(1, 2)$ jika dicerminkan terhadap garis $y = x$ dilanjutkan refleksi terhadap sumbu $x$ menggunakan matriks.
Pembahasan:
Matriks refleksi $y = x$ adalah $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Matriks refleksi sumbu $x$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Komposisi:
$$M = M_x \cdot M_{y=x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
Hasil bayangan:
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Jadi, bayangannya adalah $K'(2, -1)$.
Strategi Mengerjakan Soal Pencerminan
- Gambar Sketsa: Jika Anda lupa rumus, gambar koordinat kartesius secara kasar akan sangat membantu menentukan arah bayangan.
- Perhatikan Sumbu: Jangan sampai tertukar antara pencerminan garis $x = h$ (horizontal/vertikal) dengan $y = k$.
- Substitusi Terbalik: Saat mengerjakan refleksi kurva/garis, pastikan Anda mensubstitusi variabel $x$ dan $y$ lama dengan variabel $x’$ dan $y’$ baru.
Materi pencerminan ini adalah fondasi untuk topik yang lebih kompleks seperti rotasi dan dilatasi. Dengan sering berlatih menggunakan 15 soal di atas, kemampuan Anda dalam memvisualisasikan objek di bidang kartesius akan semakin tajam.
Penulis: Aripin
Post Comment