Pembuktian langsung

Terdapat pembuktian langsung untuk teorema ini. Jika dua kejadian secara statistik bebas (yakni keduanya tidak memengaruhi satu sama lainnya), maka probabilitas keduanya terjadi bersamaan sama dengan hasil kali probabilitas keduanya terjadi secara independen. Sebagai contoh, jika peluang hujan di Sydney pada hari tertentu adalah 0,3 dan peluang gempa bumi di San Fransisco pada hari itu adalah 0,008, maka peluang keduanya terjadi pada hari yang sama adalah 0,3 × 0,008 = 0,0024.

Misalnya mesin tik mempunyai 50 tombol, dan kata yang perlu diketik adalah "banana". Dengan mengetik secara acak, peluang huruf pertama yang diketik merupakan b adalah 1/50, dan kemungkinan huruf ke dua yang diketik merupakan a juga adalah 1/50, dst. Sehingga peluang enam huruf pertama merupakan banana adalah

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)⁶.

Dengan alasan yang sama, peluang enam huruf selanjutnya merupakan banana juga (1/50)⁶, dst.

Dari perhitungan di atas, peluang untuk tidak mengetik banana dalam 6 blok huruf yang diberikan adalah 1 − (1/50)⁶. Karena setiap blok diketik secara independen, peluang X_n dari tidak mengetik banana di setiap n blok pertama enam huruf adalah:${\displaystyle X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}.}$

Seiring dengan meningkatnya n, X_n menjadi semakin kecil. Untuk n satu juta, X_n kira-kira 0,9999 (yakni peluang tidak mengetik banana kira-kira 99,9%), tetapi untuk n 10 miliar, X_n adalah kira-kira 0,53 (yakni peluang tidak mengetik banana adalah kira-kira 53%), demikian pula untuk n 100 miliar, peluangnya adalah 0,0017. Seiring n mendekati takhingga, probabiltas X_n mendekati nol; yakni dengan membuat n cukup besar, X_n dapat dibuat sekecil yang diinginkan.^[1][2]

Argumen yang sama juga menunjukkan bahwa mengapa paling tidak satu di antara banyaknya monyet-monyet tak terhingga akan "hampir pasti" menghasilkan sebuah teks secepat yang akan dihasilkan oleh pengetik manusia. Dalam kasus ini X_n = (1 − (1/50)⁶)ⁿ, dengan X_n mewakili probabilitas bahwa tidak ada n monyet pertama yang mengetik banana secara tepat pada usaha pertama mereka. Ketika terdapat 100 miliar monyet, probabilitas ini menurun menjadi 0,17%, seiring dengan meningkatnya jumlah n monyet, nilai X_n mendekati nol. Limit n mendekati takterhingga adalah nol.

Untai takhingga

Kedua pernyataan di atas dapat dinyatakan secara lebih umum dan lebih ringkas menggunakan konsep untai, yang merupakan barisan karakter yang dipilih dari sejumlah alfabet terhingga:

• Diberikan sebuah untai karakter takhingga di mana setiap karakter dipilih secara merata dan acak, setiap untai karakter terhingga yang diberikan hampir pasti merupakan sub-untai dari untai takhingga tersebut pada beberapa posisi (dan sesungguhnya pada banyak tak terhingga posisi).
• Diberikan sebuah barisan takhingga dari untai takhingga, di mana setiap karakter dari setiap untai dipilih secara merata dan acak, setiap untai terhingga yang diberikan hampir pasti merupakan prefiks dari salah satu untai-untai takhingga ini (dan sesungguhnya merupakan prefiks dari tak terhingga banyaknya untai-untai pada barisan)

Untuk teorema ke dua, misalkan E_k adalah kejadian bahwa untai ke-k dimulai dengan teks yang diberikan. Karena ia memiliki probabilitas p bukan nol yang tetap, E_k-nya adalah independen, dan penjumlahan di bawah ini divergen,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }P(E_{k})=\sum _{i=1}^{\infty }p=\infty ,}$

probabilitas bahwa takhingga banyaknya E_k yang terjadi adalah 1. Teorema pertama ditunjukkan dengan cara yang sama; seseorang dapat membagi untai acak menjadi beberapa blok yang tidak saling tumpang tindih dan menentukan ukuran blok ini dengan ukuran teks yang diinginkan, menjadikan kejadian E_k sebagai kejadian di mana blok ke-k sama dengan untai yang diinginkan.^[3]

Probabilitas

Dengan mengabaikan tanda baca, spasi, dan kapitalisasi, seekor monyet yang mengetik huruf-huruf secara merata dan acak mempunyai peluang 1/26 untuk mengetik huruf pertama dari Hamlet. Ia mempunyai peluang 1/676 (26 × 26) untuk mengetik dua huruf pertama Hamlet tersebut. Karena probabilitasnya menurun secara eksponensial, untuk 20 huruf, ia hanya akan mempunyai peluang 1 di antara 26²⁰ = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 (hampir 2 x 10²⁸). Dalam kasus keseluruhan teks Hamlet, probabilitasnya adalah sangat-sangat kecil. Teks Hamlet mengandung sekitar 130.000 huruf.^[4] Sehingga terdapat probabilitas 1 di antara 3,4 × 10^183.946 untuk mendapatkan teks ini benar pada usaha pertama. Jumlah rata-rata huruf yang perlu diketik sampai teks ini muncul juga adalah 3,4 × 10^183.946.^[5]

Bahkan jika seluruh alam semesta dipenuhi oleh monyet-monyet yang mengetik setiap saat, probabilitas total mereka untuk menghasilkan Hamlet masih lebih kecil dari 1 di antara 10^183,800.

Mekanika statistis

Dalam salah satu bentuk yang mana para pakar probabilitas mengenal teorema ini dengan "dactylographic"-nya (monyet yang mengetik), muncul di artikel "Mécanique Statistique et Irréversibilité" (Mekanika statistis dan ireversibilitas)^[6] tahun 1913 dan buku "Le Hasard" tahun 1914 oleh Émile Borel. "Monyet" ini bukanlah monyet yang sebenarnya; ia adalah metafora untuk sebuah cara imajiner untuk menghasilkan barisan acak huruf-huruf yang banyak. Borel mengatakan bahwa jika satu juta monyet mengetik 10 jam per hari, adalah sangat tidak mungkin keluaran mereka akan persis sama dengan seluruh buku perpustakaan paling lengkap di dunia; tetapi, dalam perbandingan, adalah lebih tidak mungkin lagi bahwa hukum-hukum mekanika statistis akan pernah dilanggar.

Fisikawan Arthur Eddington dalam tulisannya The Nature of the Physical World (1928) lebih lanjut:

If I let my fingers wander idly over the keys of a typewriter it might happen that my screed made an intelligible sentence. If an army of monkeys were strumming on typewriters they might write all the books in the British Museum. The chance of their doing so is decidedly more favourable than the chance of the molecules returning to one half of the vessel.

Gambaran ini mengundang para pembaca untuk memperhatikan ketidakmungkinan yang sangat besar dari sejumlah besar namun terhingga monyet yang bekerja dengan sejumlah besar namun terhingga waktu untuk menghasilkan hasil kerja yang signifikan dan membandingkannya dengan ketidakmungkinan yang lebih besar dari kejadian-kejadian fisika tertentu. Proses fisika apapun yang kemungkinannya lebih kecil dari kesuksesan monyet-monyet ini secara efektif adalah tidak mungkin, dan adalah aman untuk mengatakan proses seperti ini tidak akan pernah terjadi.^[8]

Evolusi

Pada buku tahun 1931-nya, The Mysterious Universe, rival Eddington James Jeans mengalamatkan monyet ini ke seorang "Huxley", kemungkinan merujuk pada Thomas Henry Huxley. Pengalamatan ini tidaklah benar.^[9] Sampai sekarang, kadang-kadang masih dilaporkan bahwa Huxley menerapkan contoh ini pada sebuah perdebatan evolusi tahun 1860 di Oxford yang terkenal. Cerita ini tidak memiliki bukti yang kuat, bahkan pada tahun 1860, mesin ketik itu sendiri belum diciptakan.^[10] Hewan primata masih merupakan topik yang sensitif karena alasan lainnya, dan debat Huxley-Wilberforce sebenarnya juga melibatkan hal yang tidak perlu mengenai kera: uskup menanyakan apakah Huxley merupakan keturunan dari seekor kera dari pihak neneknya atau dari pihak kakeknya, dan Huxley merespon bahwa ia lebih baik merupakan keturunan dari seekor kera daripada keturunan dari seseorang yang berargumen tidak jujur seperti uskup tersebut.^[11]

Terlepas dari kesimpangsiurannya, argumen monyet dan mesin ketik sekarang merupakan argumen yang umum terhadap evolusi. Sebagai contoh, Doug Powell berargumen sebagai seorang apologet Kristen bahwa bahkan apabila seekor monyet tidak sengaja mengetik huruf-huruf Hamlet, ia telah gagal untuk menghasilkan Hamlet karena ia tidak memiliki maksud untuk berkomunikasi. Implikasi paralelnya adalah bahwa hukum-hukum alam tidak dapat memproduksi kandungan informasi dalam DNA.^[12] Argumen yang lebih umum diberikan oleh John F. MacArthur, yang mengklaim bahwa mutasi genetika yang diperlukan untuk menghasilkan seekor cacing pita dari amoeba sangatlah tidak memungkinkan seperti halnya seekor monyet yang mengetik solilokui Hamlet, dan karenanya merupakan rintangan terhadap evolusi semua kehidupan yang tidak mungkin diatasi.^[13]

Biologiawan evolusioner, Richard Dawkins menggunakan konsep monyet mengetik pada buku tahun 1986-nya, The Blind Watchmaker, untuk mendemonstrasikan kemampuan seleksi alam menghasilkan kompleksitas biologis dari mutasi acak. Dalam eksperimen simulasi yang dia jelaskan ini, Dawkins menggunakan program Weasel untuk menghasilkan frasa Hamlet METHINKS IT IS LIKE A WEASEL dengan mengetikkan frasa-frasa acak, tetapi secara konstan menghentikan bagian keluaran yang telah sesuai dengan tujuan program. Intinya adalah bahwa penghasilan untai acak hanyalah berperan memoles bahan-bahan mentah, sedangkan seleksi menanamkan informasi.^[14]

Alasan lainnya untuk menolak analogi antara evolusi dengan monyet mengetik ini terdapat pada masalah bahwa monyet tersebut hanya mengetik satu huruf setiap kalinya, independen dari huruf-huruf lainnya. Hugh Petrie berargumen bahwa sebuah rancangan yang lebih canggih diperlukan, dalam kasus ini bukan evolusi biologis, namun evolusi pemikiran:

In order to get the proper analogy, we would have to equip the monkey with a more complex typewriter. It would have to include whole Elizabethan sentences and thoughts. It would have to include Elizabethan beliefs about human action patterns and the causes, Elizabethan morality and science, and linguistic patterns for expressing these. It would probably even have to include an account of the sorts of experiences which shaped Shakespeare's belief structure as a particular example of an Elizabethan. Then, perhaps, we might allow the monkey to play with such a typewriter and produce variants, but the impossibility of obtaining a Shakespearean play is no longer obvious. What is varied really does encapsulate a great deal of already-achieved knowledge.

James W. Valentine, manakala mengakui bahwa pekerjaan monyet ini tidaklah mungkin, menemukan bahwa terdapat analogi yang berguna antara Bahasa Inggris tertulis dengan genom metazoa dalam pengertian bahwa keduanya memiliki "struktur kombinasi dan hirarkis" yang dengan sangat kuat mengekang jumlah kombinasi alfabet yang sangat besar.^[16]