Pendekatan WKB atau metode WKB dalam fisika matematis merupakan teknik untuk memperoleh solusi hampiran bagi persamaan diferensial linear dengan koefisien yang berubah terhadap posisi. Metode ini digunakan terutama dalam perhitungan semiklasik pada mekanika kuantum, ketika fungsi gelombang dinyatakan sebagai fungsi eksponensial dan diperluas secara semiklasik sehingga amplitudo atau fase fungsi tersebut dianggap mengalami perubahan secara bertahap. Nama metode ini berasal dari inisial Wentzel, Kramers, dan Brillouin, serta dikenal pula sebagai metode Liouville–Green (LG).^[1][2] Variasi lain yang digunakan dalam literatur mencakup JWKB dan WKBJ, dengan huruf “J” merujuk pada Jeffreys.^[3]

Sejarah

Pengembangan metode ini umumnya dikaitkan dengan Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers, dan Léon Brillouin, yang masing-masing mempublikasikan uraian teknis mengenai pendekatan tersebut pada tahun 1926. Sebelumnya, pada tahun 1923,^[4] Harold Jeffreys telah merumuskan metode umum untuk menemukan solusi persamaan diferensial linear orde kedua, yang kemudian mencakup bentuk persamaan Schrödinger. Karena persamaan Schrödinger baru diperkenalkan dua tahun setelah publikasi Jeffreys, hubungan antara kedua kontribusi tersebut tidak langsung dikenali dalam literatur awal. Berbagai kombinasi inisial, seperti WBK, BWK, JWKB, dan WKBJ, digunakan dalam teks mekanika kuantum pada masa awal. Ulasan menyeluruh mengenai sejarah dan formulasi metode ini dikemukakan oleh Robert B. Dingle.^[5]

Metode dengan sifat matematis yang sepadan telah muncul lebih awal, antara lain pada karya Francesco Carlini (1817), Joseph Liouville (1837), ^[6]George Green (1837),^[7] Lord Rayleigh (1912),^[8] dan Richard Gans (1915).^[9] Liouville dan Green sering dianggap sebagai perintis formulasi dasarnya, sehingga metode ini juga dikenal sebagai metode Liouville–Green. Jeffreys, Wentzel, Kramers, dan Brillouin menambahkan prosedur penanganan titik balik (turning points), yaitu wilayah di mana sifat solusi berubah dari berosilasi menjadi meredam atau sebaliknya. Dalam persamaan Schrödinger, kondisi tersebut muncul ketika bentuk potensial menghasilkan perubahan karakter solusi pada titik tertentu.^[10][11]

Formula

Dalam formulasi umumnya, teori WKB digunakan untuk menghampiri solusi persamaan diferensial di mana turunan berorde tertinggi dikalikan dengan parameter kecil ε.

${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0}$

Proses pendekatan dilakukan dengan mengasumsikan solusi dalam bentuk deret asimtotik eksponensial yang bergantung pada parameter δ yang menuju nol.

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$

Substitusi bentuk ini ke dalam persamaan diferensial memungkinkan penyederhanaan terhadap faktor eksponensial sehingga setiap fungsi Sn(x) dalam deret dapat ditentukan secara sistematis. Teori WKB diklasifikasikan sebagai salah satu bentuk analisis multiskala yang diterapkan dalam berbagai kajian fisika teoretis dan matematika terapan.^[12][13][14]

Referensi

1. ↑ "WKB approximation - Knowledge and References". Taylor & Francis (dalam bahasa American English). Diakses tanggal 2025-11-21.
2. ↑ Frost, Brian L. (2024-01-01). "Foundations of the Wentzel-Kramers-Brillouin approximation for models of cochlear mechanics in 1- and 2-D". The Journal of the Acoustical Society of America (dalam bahasa Inggris). 155 (1): 358–379. doi:10.1121/10.0024355. ISSN 0001-4966.
3. ↑ "Approximation Methods". www.sciencedirect.com (dalam bahasa American English). Diakses tanggal 2025-11-21.
4. ↑ Jeffreys, Harold (1925). "On Certain Approximate Solutions of Lineae Differential Equations of the Second Order". Proceedings of the London Mathematical Society (dalam bahasa Inggris). s2-23 (1): 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428. ISSN 1460-244X.
5. ↑ Dingle, Robert B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London, New York: Academic Press. ISBN 978-0-12-216550-4.
6. ↑ Thilliez, Vincent (1997-06). "Sur les fonctions composées ultradifférentiables". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 76 (6): 499–524. doi:10.1016/s0021-7824(97)89960-6. ISSN 0021-7824.
7. ↑ On the Motion of Waves in a variable canal of small depth and width. Cambridge University Press. 2014-02-13. hlm. 223–230. ISBN 978-1-108-06560-3.
8. ↑ Strutt, John William (1997-01). "On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 86 (586): 207–226. doi:10.1098/rspa.1912.0014.
9. ↑ Gans, R. (1915). "Fortpflanzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium". Annalen der Physik (dalam bahasa Inggris). 352 (14): 709–736. doi:10.1002/andp.19153521402. ISSN 1521-3889.
10. ↑ Elaydi, Saber; Győri, I.; Ladas, G. E., ed. (1997). Advances in difference equations: proceedings of the Second International Conference on Difference Equations: Veszprém, Hungary, August 7-11, 1995. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-90-5699-521-8.
11. ↑ Elaydi, Saber N.; Gyori, I.; Ladas, G. (1998-01-29). Advances in Difference Equations: Proceedings of the Second International Conference on Difference Equations (dalam bahasa Inggris). CRC Press. ISBN 978-90-5699-521-8.
12. ↑ Filippi, Paul (1999). Acoustics: Basic Physics, Theory, and Methods (dalam bahasa Inggris). Academic Press. ISBN 978-0-12-256190-0.
13. ↑ Holmes, Mark H. (2013). Introduction to Perturbation Methods. Texts in Applied Mathematics (Edisi 2nd ed. 2013). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-5476-2.
14. ↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (2009). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. 1: Asymptotic methods and perturbation theory (Edisi Nachdr.). New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-98931-0.