Klasik

Selain mempunyai deret$${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}$$Leonhard Euler memberikan representasi deret^[6]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$$pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.^[7]

Konvergensi cepat

Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal ζ(3). Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890,^[8] kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,^[9] dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:^[3]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.}$$Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:^[10]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:^[11]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:^[12]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}$$Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.^[13]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:^[14]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}$$

Perhitungan menggunakan digit

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.^[15]

Representasi deret lainnya

Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:^[16]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:^[17]$${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$$

(Srivastava 2000) mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

Rumus yang lebih rumit

Terdapat rumus lain, yaitu^[18]$${\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx,}$$dan^[19]$${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{\,xy\,}}\,dx\,dy.}$$

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:^[20]$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx.\end{aligned}}}$$Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gamma$${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1),}$$dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.^[21]