Ensiklopedi – Sekolapedia

Kembali ke Ensiklopedia Arsip Wikipedia Indonesia

Bilangan Liouville

Dalam teori bilangan, bilangan Liouville^[1] ialah suatu bilangan riil $x$ dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ , terdapat suatu pasangan terurut bilangan asli $\left(p,\,q\right)$ dengan $q>1$ sedemikian sehingga $0<\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|<{\dfrac {1}{q^{n}}}$

Pertidaksamaan tersebut mengakibatkan bahwa bilangan Liouville memiliki suatu barisan hampiran bilangan rasional yang sangat baik. Pada tahun 1884, Joseph Liouville membuktikan bahwa terdapat batas pada seberapa baik suatu bilangan aljabar dapat dihampiri oleh bilangan rasional, dan beliau mendefinisikan bilangan Liouville secara spesifik agar bilangan tersebut memiliki hampiran rasional yang lebih baik dibandingkan bilangan lain pada rentang tersebut. Liouville juga memberikan contoh-contoh dari bilangan Liouville^[2] yang membuktikan keberadaan bilangan transendental untuk pertama kalinya.^[3] Salah satu contoh dari bilangan tersebut ialah konstanta Liouville $L=0,\!11000100000000000000000100\ldots$ dimana digit ke- $n$ setelah koma desimal ialah 1 jika $n$ merupakan faktorial dari suatu bilangan asli, dan 0 untuk digit-digit lainnya. Telah diketahui bahwa $π$ dan $e$ —walau merupakan bilangan transendental—bukan merupakan bilangan Liouville.^[4]

Kewujudan bilangan Liouville (konstanta Liouville)

Bilangan Liouville dapat ditunjukkan keberadaannya dengan konstruksi eksplisit.

Diberikan sembarang bilangan bulat $b\geq 2$ dan sembarang barisan $\langle a_{k}\rangle$ sedemikian sehingga

nilai $a_{k}\in \left\{0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,b-1\right\}$ untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ , dan
terdapat takhingga banyaknya nilai $k\in \mathbb {N}$ sedemikian sehingga $a_{k}\neq 0$ .

Didefinisikan bilangan $x:=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\dfrac {a_{n}}{b^{n!}}}$ Pada kasus khusus ketika $b=10$ dan $a_{k}=1$ untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ , bilangan $x$ disebut sebagai konstanta Liouville: $L=0,\!{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}00\ldots$

Berdasarkan definisi dari $x$ , maka representasi $x$ dalam basis $b$ ialah $x=\left(0,\!a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}00\ldots \right)_{b}$ dengan suku ke- $n$ berada pada posisi $n!$ setelah tanda koma. Oleh karena digit-digit dari representasi $x$ dalam basis $b$ tidak periodik, maka $x$ merupakan bilangan irasional. Akibatnya, untuk setiap bilangan rasional ${\tfrac {p}{q}}$ , maka berlaku $\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|>0$

Diambil sembarang $n\in \mathbb {N}$ . Nilai $p$ dan $q$ dapat dipilih sebagai berikut ${\begin{aligned}q&=b^{n!}\\p&=q\sum _{k\,=\,1}^{n}{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}\end{aligned}}$ sehingga didapatkan ${\begin{aligned}\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&=\left|\sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k\,=\,1}^{n}{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\left|\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|\\&=\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 1)}}\\&\leq \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k!}}}&&{\text{(Lihat catatan 2)}}\\&<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k}}}&&{\text{(Lihat catatan 3)}}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k+(n+1)!}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}\\&={\dfrac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\dfrac {b}{b-1}}\\&={\dfrac {b}{b^{(n+1)!}}}\\&\leq {\dfrac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}&&{\text{(Lihat catatan 4)}}\\&={\dfrac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}\\&={\dfrac {1}{b^{n!\,\cdot \,n}}}\\&={\dfrac {1}{\left(b^{n!}\right)^{n}}}\\&={\dfrac {1}{q^{n}}}\end{aligned}}$ yang menunjukkan bahwa $x$ merupakan bilangan Liouville.

Catatan pembuktian

Pada baris kedua, perhatikan bahwa $k$ , $a_{k}$ , dan $b$ bernilai nonnegatif. Akibatnya, setiap suku dari deret takhingga $\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}$ juga bernilai nonnegatif, sehingga tanda mutlak pada baris kedua dapat dihilangkan.
Pada baris ketiga, ingat bahwa $a_{k}\in \left\{0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,b-1\right\}$ untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ . Akibatnya, nilai jumlahan terbesar akan terjadi ketika $a_{k}=b-1$ untuk setiap $k\in \mathbb {N}$ , sehingga diperoleh pertidaksamaan $\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {b-1}{b^{k!}}}$ Deret pada baris ketiga diarahkan menjadi deret pada baris keempat sebab bentuk umum dari suku-suku pada deret $\displaystyle \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {a_{k}}{b^{k!}}}$ mirip dengan deret geometrik $\sum _{k\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}={\dfrac {b}{b-1}}$ sehingga dengan memunculkan deret yang pembilangnya ialah $b-1$ dan menggeser indeks dari jumlahannya dari $k=n+1$ menjadi $k=0$ , maka $b-1$ pada bagian pembilang dan bagian penyebut akan saling mengeliminasi, yang harapannya akan membuat hasil akhir pecahannya mendekati bentuk ${\dfrac {1}{q^{n}}}={\dfrac {1}{b^{{\text{pangkat}}\,\times \,n}}}$
Pada baris keempat, ingat bahwa nilai $b\geq 2$ . Akibatnya, pertidaksamaan $\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}$ merupakan pertidaksamaan sejati, sebab untuk setiap $k\geq n+1$ , terdapat $k(k!)-1$ suku yang bernilai positif di atara ${\dfrac {1}{b^{k!}}}$ dan ${\dfrac {1}{b^{(k+1)!}}}$ yang termuat pada deret $\displaystyle \sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}$ tetapi tidak termuat pada deret $\displaystyle \sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}$ . Dengan kata lain, pertidaksamaan $\sum _{k\,=\,n}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k!}}}<\sum _{k\,=\,(n+1)!}^{\infty }{\dfrac {1}{b^{k}}}$ merupakan pertidaksamaan sejati, sebab barisan $(n+1)!,\,(n+2)!,\,(n+3)!,\,(n+4)!,\,\ldots$ merupakan barisan bagian dari barisan $(n+1)!,\,(n+1)!+1,\,(n+1)!+2,\,(n+1)!+3,\,\ldots$
Pada baris kesembilan, ingat bahwa $n\in \mathbb {N}$ dan $b\geq 2$ . Akibatnya, ${\begin{aligned}1&\leq n!\\b^{1}&\leq b^{n!}\\{\dfrac {b}{b^{(n+1)!}}}&\leq {\dfrac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}\end{aligned}}$ Pertidaksamaan tersebut dipilih sebab pecahan ${\dfrac {b}{b^{(n+1)!}}}$ harus dimanipulasi menjadi sesuatu dengan bentuk ${\dfrac {1}{b^{{\text{pangkat}}\,\times \,n}}}$ . Pertidaksamaan tersebut memungkinkan proses eliminasi dari $(n+1)!$ dan bagian pembilang, menggunakan sifat bahwa $(n+1)!-n!=n(n!)$ , sehingga bagian penyebutnya memiliki bentuk ideal untuk substitusi $q=b^{n!}$ .

Keirasionalan bilangan Liouville

Teorema — Setiap bilangan Liouville merupakan bilangan irasional.

Bukti —

Akan dibuktikan bahwa setiap bilangan Liouville bukanlah bilangan rasional melalui kontradiksi.

Diambil sembarang bilangan Liouville $x$ . Andaikan $x$ merupakan bilangan rasional, maka terdapat $c\in \mathbb {Z}$ dan $d\in \mathbb {N}$ sedemikian sehingga $x={\dfrac {c}{d}}$

Berdasarkan definisi dari bilangan Liouville, maka untuk setiap $n\in \mathbb {N}$ , terdapat $p\in \mathbb {Z}$ dan $q\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}$ sedemikian sehingga ${\begin{aligned}0<\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&<{\dfrac {1}{q^{n}}}\end{aligned}}$

Perhatikan bahwa ${\begin{aligned}\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&=\left|{\dfrac {c}{d}}-{\dfrac {p}{q}}\right|\\&=\left|{\dfrac {c\,q-d\,p}{d\,q}}\right|\\&={\dfrac {\left|c\,q-d\,p\right|}{\left|d\,q\right|}}\\&={\dfrac {\left|c\,q-d\,p\right|}{d\,q}}\end{aligned}}$

Terdapat dua kasus yang mungkin untuk nilai $\left|c\,q-d\,p\right|$ , yaitu:

Kasus $\left|c\,q-d\,p\right|=0$ . Berdasarkan definisi dari bilangan Liouville, maka didapatkan ${\begin{aligned}0&<\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|\\0&<{\dfrac {\left|c\,q-d\,p\right|}{d\,q}}\\0&<{\dfrac {0}{d\,q}}\\0&<0\end{aligned}}$ Dengan kata lain, setiap pasangan terurut bilangan bulat $\left(p,\,q\right)$ akan melanggar pertidaksamaan pertama dari definisi bilangan Liouville, terlepas dari nilai $n$ yang dipilih. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi bahwa $\left|c\,q-d\,p\right|=0$ bernilai salah.
Kasus $\left|c\,q-d\,p\right|>0$ . Oleh karena nilai dari bilangan $c$ , $d$ , $p$ , dan $q$ ialah bilangan bulat, maka dapat disimpulkan bahwa $\left|c\,q-d\,p\right|\geq 1$ . Dengan memilih sembarang bilangan asli $n$ yang nilainya lebih dari $1+\,^{2}\!\log(d)$ , maka berlaku ${\begin{aligned}\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&={\dfrac {\left|c\,q-d\,p\right|}{d\,q}}\\\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&\geq {\dfrac {1}{d\,q}}\\\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&\geq {\dfrac {1}{2^{n-1}q}}\\\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|&\geq {\dfrac {1}{q^{n}}}\end{aligned}}$ Dengan kata lain, setiap pasangan terurut bilangan bulat $\left(p,\,q\right)$ akan melanggar pertidaksamaan kedua dari definisi bilangan Liouville, untuk suatu $n\in \mathbb {N}$ . Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi bahwa $\left|c\,q-d\,p\right|>0$ bernilai salah.

Dari kedua kasus di atas, maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada nilai $p\in \mathbb {Z}$ dan $q\in \mathbb {N}$ (dengan $q>1$ ) yang memenuhi syarat untuk menjadikan $x={\dfrac {c}{d}}$ sebagai bilangan Liouville. Akibatnya, bilangan Liouville tidak mungkin rasional.

Ketransendentalan bilangan Liouville

Teorema — Setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu menyelidiki sifat dari bilangan irasional aljabar. Sifat ini pada dasarnya menyatakan bahwa bilangan aljabar irasional tidak dapat dihampiri dengan baik oleh bilangan rasional, dan syarat untuk "dihampiri dengan baik" akan menjadi lebih sulit untuk penyebut yang lebih besar. Walaupun bilangan Liouville merupakan bilangan irasional, bilangan Liouville tidak memiliki sifat ini, sehingga bukan merupakan bilangan aljabar dan harus bersifat transendental. Lema berikut ini biasanya dikenal sebagai teorema Liouville (mengenai penghampiran Diophantine), meskipun terdapat beberapa hasil yang dikenal sebagai teorema Liouville.

Teorema Liouville (penghampiran diophantus) — Jika $\alpha$ merupakan akar irasional dari polinomial taktereduksi berderajat $n>1$ dengan koefisien bilangan bulat, maka terdapat suatu bilangan riil $A>0$ sedemikian sehingga untuk setiap $p\in \mathbb {Z}$ dan $q\in \mathbb {N}$ , berlaku $\left|\alpha -{\dfrac {p}{q}}\right|>{\dfrac {A}{q^{n}}}$

Bukti —

Misalkan $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots +a_{n}x^{n}$ adalah polinomial minimal dengan koefisien bilangan bulat, dengan $f(\alpha )=0$ .

Berdasarkan teorema dasar aljabar, maka fungsi $f$ memiliki paling banyak $n$ akar riil berbeda. Akibatnya, terdapat suatu $\delta _{1}>0$ sedemikian sehingga untuk setiap nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $0<\left|x-\alpha \right|<\delta _{1}$ maka berlaku $f(x)\neq 0$ .

Oleh karena $f$ adalah polinomial minimal dari $\alpha$ , maka $f'(\alpha )\neq 0$ . Perhatikan bahwa fungsi $f'$ merupakan fungsi kontinu, sehingga berlaku teorema nilai ekstrem. Akibatnya, terdapat suatu $\delta _{2}>0$ dan $M>0$ sedemikian sehingga untuk setiap nilai $x$ yang memenuhi pertidaksaman $\left|x-\alpha \right|<\delta _{2}$ maka berlaku $0<\left|f'(x)\right|\leq M$ .

Dengan memilih nilai $\delta =\min \left\{\delta _{1},\,\delta _{2}\right\}$ , maka kedua kondisi di atas akan terpenuhi.

Misalkan ${\tfrac {p}{q}}\in \left(\alpha -\delta ,\,\alpha +\delta \right)$ merupakan bilangan rasional. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa ${\tfrac {p}{q}}<\alpha$ . Berdasarkan teorema nilai purata, maka terdapat suatu $c\in \left({\tfrac {p}{q}},\,\alpha \right)$ sedemikian sehingga $f'(c)={\dfrac {f(\alpha )-f\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)}{\alpha -{\tfrac {p}{q}}}}$ Oleh karena $f(\alpha )=0$ dan $f\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)\neq 0$ , maka kedua ruas dari persamaan tersebut bernilai tak nol, sehingga $\left|f'(c)\right|>0$ . Akibatnya, ${\begin{aligned}\alpha -{\dfrac {p}{q}}&={\dfrac {f(\alpha )-f\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)}{f'(c)}}\\\alpha -{\dfrac {p}{q}}&=-{\dfrac {1}{f'(c)}}\cdot f\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)\\\left|\alpha -{\dfrac {p}{q}}\right|&={\dfrac {1}{\left|f'(c)\right|}}\left|f\!\left({\tfrac {p}{q}}\right)\right|\\&={\dfrac {1}{\left|f'(c)\right|}}\left|a_{0}+a_{1}{\dfrac {p}{q}}+a_{2}{\dfrac {p^{2}}{q^{2}}}+a_{3}{\dfrac {p^{3}}{q^{3}}}+\ldots +a_{n}{\dfrac {p^{n}}{q^{n}}}\right|\\&={\dfrac {1}{\left|f'(c)\right|q^{n}}}\underbrace {\left|a_{0}q^{n}+a_{1}pq^{n-1}+a_{2}p^{2}q^{n-2}+a_{3}p^{3}q^{n-3}+\ldots +a_{n}p^{n}\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\dfrac {1}{Mq^{n}}}\cdot 1\\&>{\dfrac {A}{q^{n}}}\end{aligned}}$ dengan $0<A<\min \left\{\delta ,\,{\dfrac {1}{M}}\right\}$ .

Akibat dari teorema Liouville —

Diambil sembarang bilangan Liouville $x$ . Telah dibuktikan sebelumnya bahwa $x$ merupakan bilangan irasional. Akan dibuktikan bahwa $x$ merupakan bilangan transendental melalui kontradiksi.

Andaikan $x$ merupakan bilangan aljabar, maka berdasarkan lema sebelumnya, terdapat suatu $n\in \mathbb {N}$ dan bilangan riil $A>0$ sedemikian sehingga untuk setiap $p\in \mathbb {Z}$ dan $q\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}$ , berlaku $\left|x-{\dfrac {p}{q}}\right|>{\dfrac {A}{q^{n}}}$

Diambil sembarang $m\in \mathbb {N}$ dengan $2^{-m}\leq A$ . Perhatikan bahwa $m+n\in \mathbb {N}$ . Oleh karena $x$ adalah bilangan Liouville, maka terdapat suatu $a\in \mathbb {Z}$ dan $b\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}$ sedemikian sehingga ${\begin{aligned}\left|x-{\dfrac {a}{b}}\right|&<{\dfrac {1}{b^{m+n}}}\\&={\dfrac {1}{b^{m}\cdot b^{n}}}\\&\leq {\dfrac {1}{2^{m}\cdot b^{n}}}\\&\leq {\dfrac {A}{b^{n}}}\end{aligned}}$ yang bertentangan dengan hasil dari teorema Liouville. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal—bahwa terdapat suatu bilangan Liouville yang merupakan bilangan aljabar—bernilai salah, sehingga terbukti bahwa setiap bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.

Ketakterhitungan himpunan semua bilangan Liouville

Pandang bilangan ${\begin{aligned}3&.1400010000000000000000050000\ldots \\3&.14\!\left(3\;{\text{nol}}\right)\!1\!\left(17\;{\text{nol}}\right)\!5\!\left(95\;{\text{nol}}\right)\!9\!\left(599\;{\text{nol}}\right)\!2\!\left(4319\;{\text{nol}}\right)\!6\,\ldots \end{aligned}}$ yaitu bilangan yang setiap digitnya setelah koma desimal ialah angka nol, kecuali pada posisi $n!$ , yang nilai digitnya sama dengan digit ke- $n$ dari representasi desimal bilangan $π$ .

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa bilangan tersebut—beserta setiap bilangan desimal takberakhir lainnya, dengan digit-digitnya diatur menyerupai contoh di atas—memenuhi definisi dari bilangan Liouville. Oleh karena himpunan semua bilangan desimal takberakhir memiliki kardinalitas kontinum, maka himpunan semua bilangan Liouville juga demikian.

Lihat juga

Referensi

↑ "Bilangan Liouville". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 1 September 2025.
↑ Liouville, Joseph (Mei 1844). "Mémoires et communications". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (dalam bahasa Prancis). 18 (20, 21): 883–885, 910–911.
↑ Baker, Alan (1990). Transcendental Number Theory [Teori Bilangan Transendental] (dalam bahasa Inggris) (Edisi paperback). Cambridge University Press. hlm. 1. ISBN 978-0-521-39791-9.
↑ Baker 1990, hlm. 86.

Pranalaa luar

(Inggris) The Beginning of Transcendental Numbers