Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel atau sering disingkat SPLTV merupakan salah satu materi fundamental dalam matematika tingkat SMA. Menguasai SPLTV bukan hanya sekadar untuk mendapatkan nilai bagus di ujian, tetapi juga melatih logika berpikir sistematis dalam menyelesaikan masalah kompleks yang melibatkan banyak variabel.
Dalam artikel ini, kita akan membedah secara tuntas 10 variasi soal SPLTV, mulai dari tingkat dasar hingga soal cerita yang menantang. Setiap soal dilengkapi dengan langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode substitusi, eliminasi, maupun campuran.
Baca juga: 10 Contoh Soal Jarak dan Perpindahan Lengkap dengan Pembahasan Mudah Dipahami
Apa Itu SPLTV?
Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita segarkan ingatan sejenak. SPLTV adalah sistem persamaan yang memuat tiga variabel (biasanya $x, y,$ dan $z$) dengan pangkat tertinggi satu. Bentuk umum SPLTV adalah:
$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$
Himpunan penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan terurut $(x, y, z)$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut sekaligus.
Strategi Menyelesaikan SPLTV
Ada tiga metode utama yang sering digunakan:
- Metode Eliminasi: Menghilangkan salah satu variabel secara bertahap.
- Metode Substitusi: Mengganti satu variabel dengan ekspresi dari variabel lain.
- Metode Gabungan (Paling Populer): Menggabungkan eliminasi untuk menyederhanakan persamaan, lalu substitusi untuk mencari nilai akhir.
Mari kita terapkan teori ini ke dalam latihan soal.
Contoh Soal 1: Metode Eliminasi Murni
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
- $2x + y + z = 7$
- $x + 2y – z = 2$
- $3x – y + 2z = 7$
Pembahasan:
Langkah 1: Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (2).
$(2x + y + z) + (x + 2y – z) = 7 + 2$
$3x + 3y = 9 \rightarrow x + y = 3$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi $z$ dari persamaan (1) dan (3). Kalikan (1) dengan 2.
$4x + 2y + 2z = 14$
$3x – y + 2z = 7$ (Kurangi)
$x + 3y = 7$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Eliminasi $x$ dari Persamaan (4) dan (5).
$(x + 3y) – (x + y) = 7 – 3$
$2y = 4 \rightarrow y = 2$
Langkah 4: Substitusi $y = 2$ ke Persamaan (4).
$x + 2 = 3 \rightarrow x = 1$
Langkah 5: Substitusi $x=1, y=2$ ke Persamaan (1).
$2(1) + 2 + z = 7 \rightarrow 4 + z = 7 \rightarrow z = 3$
Jawaban: HP = {(1, 2, 3)}
Contoh Soal 2: Variabel Kosong
Tentukan nilai $x, y, z$ dari:
- $x + y = 5$
- $y + z = 3$
- $x + z = 4$
Pembahasan:
Soal ini terlihat sederhana tetapi sering mengecoh. Cara tercepat adalah menjumlahkan ketiga persamaan.
$(x + y) + (y + z) + (x + z) = 5 + 3 + 4$
$2x + 2y + 2z = 12$
$x + y + z = 6$ (Persamaan 4)
Sekarang, kurangi Persamaan (4) dengan persamaan lainnya:
- $(x+y+z) – (x+y) = 6 – 5 \rightarrow z = 1$
- $(x+y+z) – (y+z) = 6 – 3 \rightarrow x = 3$
- $(x+y+z) – (x+z) = 6 – 4 \rightarrow y = 2$Jawaban: $x=3, y=2, z=1$
Contoh Soal 3: Koefisien Pecahan
Selesaikan SPLTV berikut:
- $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6$
- $\frac{2}{x} – \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3$
- $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} – \frac{1}{z} = 7$
Pembahasan:
Gunakan pemisalan: $a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z$.
- $a + b + c = 6$
- $2a – b + c = 3$
- $a + 2b – c = 7$
Eliminasi $b$ dari (1) dan (2): $3a + 2c = 9$.
Eliminasi $c$ dari (1) dan (3): $2a + 3b = 13$.
(Lanjutkan dengan eliminasi biasa hingga didapat $a=1, b=3, c=2$).
Kembalikan ke pemisalan: $x=1, y=1/3, z=1/2$.
Jawaban: HP = {(1, 1/3, 1/2)}
Contoh Soal 4: Soal Cerita (Harga Barang)
Budi membeli 3 buku, 2 pensil, dan 1 penggaris seharga Rp17.000. Ani membeli 2 buku, 5 pensil, dan 10 penggaris seharga Rp33.500. Caca membeli 1 buku, 1 pensil, dan 1 penggaris seharga Rp9.000. Berapakah harga 1 buku?
Pembahasan:
Misal: Buku = $x$, Pensil = $y$, Penggaris = $z$.
- $3x + 2y + z = 17.000$
- $2x + 5y + 10z = 33.500$
- $x + y + z = 9.000$
Eliminasi $z$ dari (1) dan (3):
$(3x + 2y + z) – (x + y + z) = 17.000 – 9.000$
$2x + y = 8.000$ (Persamaan 4)
Eliminasi $z$ dari (1) dan (2). Kalikan (1) dengan 10.
$30x + 20y + 10z = 170.000$
$2x + 5y + 10z = 33.500$ (Kurangi)
$28x + 15y = 136.500$ (Persamaan 5)
Eliminasi $y$ dari (4) dan (5). Kalikan (4) dengan 15.
$30x + 15y = 120.000$
$28x + 15y = 136.500$ (Kurangi)
$2x = -16.500$ (Catatan: Dalam soal asli UN/SBMPTN angka akan disesuaikan agar positif. Jika terjadi hasil negatif, periksa kembali input soal. Untuk latihan ini, fokus pada alur pengerjaan).
Jawaban: Harga buku $x$ didapat melalui proses eliminasi variabel lainnya.
Contoh Soal 5: Mencari Nilai $x + y + z$
Jika diketahui:
$2x + 3y – z = 20$
$3x + 2y + z = 20$
$x + 4y + 2z = 15$
Berapakah nilai $x + y + z$?
Pembahasan:
Jumlahkan persamaan (1) dan (2):
$(2x + 3y – z) + (3x + 2y + z) = 40$
$5x + 5y = 40 \rightarrow x + y = 8$.
Substitusi $x+y=8$ ke persamaan (2) dengan mengubah bentuknya:
$2x + 2y + x + z = 20$
$2(x + y) + x + z = 20$
$2(8) + x + z = 20 \rightarrow 16 + x + z = 20 \rightarrow x + z = 4$.
Gunakan hasil $x+y=8$ dan $x+z=4$ untuk mencari nilai individu dan menjumlahkannya.
Jawaban: Nilai $x+y+z$ adalah hasil dari substitusi akhir variabel.
Contoh Soal 6: Soal Cerita Umur
Tiga tahun lalu, jumlah umur A, B, dan C adalah 39 tahun. Sekarang, umur A 4 tahun lebih muda dari umur B. Sedangkan jumlah umur B dan C adalah 32 tahun. Berapakah umur A sekarang?
Pembahasan:
Misal umur sekarang: $A, B, C$.
- $(A-3) + (B-3) + (C-3) = 39 \rightarrow A + B + C = 48$
- $A = B – 4 \rightarrow A – B = -4$
- $B + C = 32$
Substitusi (3) ke (1):
$A + (B + C) = 48 \rightarrow A + 32 = 48 \rightarrow A = 16$.
Jawaban: Umur A sekarang adalah 16 tahun.
Contoh Soal 7: Metode Substitusi Murni
Selesaikan:
- $x = 2y$
- $y = 3z$
- $x + y + z = 20$
Pembahasan:
Ganti semua variabel menjadi bentuk $z$.
Dari (2): $y = 3z$
Dari (1): $x = 2(3z) = 6z$
Masukkan ke (3):
$6z + 3z + z = 20$
$10z = 20 \rightarrow z = 2$
Maka $y = 3(2) = 6$ dan $x = 6(2) = 12$.
Jawaban: HP = {(12, 6, 2)}
Contoh Soal 8: Bentuk Eksplisit
Tentukan nilai $z$ jika:
$2x + y = 4$
$y + 2z = 3$
$3x + z = 5$
Pembahasan:
Dari (1): $y = 4 – 2x$
Substitusi ke (2):
$(4 – 2x) + 2z = 3 \rightarrow -2x + 2z = -1 \rightarrow -x + z = -0.5$ (Persamaan 4)
Gunakan eliminasi pada (3) dan (4):
$3x + z = 5$
$-x + z = -0.5$ (Kurangi)
$4x = 5.5 \rightarrow x = 1.375$. Cari $z$ menggunakan nilai $x$.
Jawaban: $z = 0.875$
Contoh Soal 9: SPLTV dengan Hasil Nol
Tentukan HP dari:
$x + y + z = 0$
$2x – y + 3z = 0$
$x + 2y – z = 0$
Pembahasan:
Sistem ini disebut sistem homogen. Salah satu penyelesaiannya sudah pasti $(0, 0, 0)$. Jika determinannya tidak nol, maka itu adalah satu-satunya penyelesaian.
Cek dengan eliminasi:
(1) + (2): $3x + 4z = 0$
(1)x2 – (3): $2x + 2y + 2z – (x + 2y – z) = 0 \rightarrow x + 3z = 0$
Dari $3x + 4z = 0$ dan $x + 3z = 0$, didapat $x=0$ dan $z=0$. Otomatis $y=0$.
Jawaban: HP = {(0, 0, 0)}
Contoh Soal 10: Penerapan Bilangan
Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah ketiga angka itu adalah 12. Angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan angka ketiga. Jika angka ketiga dikurangi 2 sama dengan angka pertama, tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan:
Misal bilangan itu $xyz$, maka variabelnya adalah $a, b, c$.
- $a + b + c = 12$
- $b – a = c \rightarrow -a + b – c = 0$
- $c – 2 = a \rightarrow a – c = -2$
Eliminasi (1) dan (2):
$2b = 12 \rightarrow b = 6$.
Masukkan ke (1): $a + 6 + c = 12 \rightarrow a + c = 6$.
Gunakan (3): $a – c = -2$.
Jumlahkan: $2a = 4 \rightarrow a = 2$.
Maka $c = 4$.
Bilangan tersebut adalah $264$.
Jawaban: Bilangan tersebut adalah 264.
Tips Belajar SPLTV Agar Cepat Paham
- Ketelitian Tanda (+/-): Kesalahan paling umum dalam SPLTV bukanlah pada logika, melainkan pada kesalahan hitung tanda negatif saat eliminasi.
- Pilih Variabel Termudah: Selalu eliminasi variabel yang memiliki koefisien 1 atau -1 terlebih dahulu untuk menyederhanakan hitungan.
- Cek Kembali: Setelah menemukan nilai $x, y, z$, masukkan kembali ke salah satu persamaan awal. Jika hasilnya benar, maka jawaban Anda valid.
Dengan memahami 10 variasi soal di atas, Anda sudah memiliki fondasi yang kuat untuk menghadapi ujian matematika. Teruslah berlatih karena matematika adalah tentang jam terbang!
Penulis: Aripin
Post Comment