Deret aritmetika merupakan salah satu materi matematika yang sering muncul dalam ujian sekolah, ujian nasional, maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Materi ini membahas tentang barisan bilangan yang setiap dua sukunya memiliki selisih tetap, yang disebut beda (d). Memahami deret aritmetika penting tidak hanya untuk mengerjakan soal ujian, tetapi juga untuk memahami pola angka, menyelesaikan soal cerita, serta memodelkan berbagai fenomena dalam kehidupan sehari-hari. Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal deret aritmetika beserta pembahasannya, mulai dari soal dasar, menengah, hingga tingkat lanjutan, sehingga pembaca dapat belajar secara menyeluruh dan sistematis.
Sebelum masuk ke soal, mari kita tinjau kembali rumus dasar deret aritmetika. Jika a₁ adalah suku pertama dan d adalah beda tetap, maka:
- Suku ke-n (aₙ) dari barisan aritmetika dapat dihitung dengan rumus aₙ = a₁ + (n-1)d.
- Jumlah n suku pertama (Sₙ) dapat dihitung dengan rumus Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ) atau Sₙ = n/2 [2a₁ + (n-1)d].
Dengan pemahaman rumus dasar ini, kita dapat menyelesaikan berbagai tipe soal deret aritmetika, baik soal hitungan langsung maupun soal cerita.
Contoh soal pertama, tentukan suku ke-7 dari barisan aritmetika 4, 7, 10, 13, …
Pembahasan, suku pertama a₁ = 4, beda d = 7 – 4 = 3. Suku ke-7: a₇ = a₁ + (7-1)d = 4 + 6·3 = 22.
Contoh soal kedua, tentukan jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika 3, 6, 9, …
Pembahasan, a₁ = 3, d = 3, n = 12. Gunakan rumus Sₙ = n/2 [2a₁ + (n-1)d] → S₁₂ = 12/2 [2·3 + 11·3] = 6 (6 + 33) = 6·39 = 234.
Contoh soal ketiga, jika jumlah 15 suku pertama barisan aritmetika adalah 345 dan suku pertama adalah 5, tentukan beda (d).
Pembahasan, S₁₅ = n/2 [2a₁ + (n-1)d] → 345 = 15/2 [2·5 + 14d] → 345 = 7,5 (10 +14d) → 10 +14d = 345/7,5 = 46 → 14d = 36 → d = 36/14 = 18/7 ≈ 2,571.
Contoh soal keempat, tentukan jumlah 20 suku pertama barisan aritmetika jika suku pertama 2 dan suku ke-20 adalah 59.
Pembahasan, S₂₀ = n/2 (a₁ + a₂₀) → S₂₀ = 20/2 (2 + 59) = 10·61 = 610.
Contoh soal kelima, suku ke-5 dan suku ke-12 suatu deret aritmetika berturut-turut 18 dan 45. Tentukan suku pertama dan beda.
Pembahasan, misal a₁ = ?, d = ?. a₅ = a₁ +4d = 18 → a₁ +4d=18. a₁₂ = a₁ +11d =45 → a₁+11d=45. Kurangi persamaan: 7d=27 → d=27/7 ≈3,857. Substitusi: a₁+4·27/7=18 → a₁+108/7=18 → a₁=18-108/7=18-15,428≈2,572.
Contoh soal keenam, jumlah 25 suku pertama deret aritmetika adalah 625 dan suku pertama 5, tentukan suku terakhir.
Pembahasan, S₂₅ = n/2 (a₁ + a₂₅) → 625 = 25/2 (5 + a₂₅) → 625 =12,5 (5 + a₂₅) → 5 + a₂₅ =50 → a₂₅ =45.
Contoh soal ketujuh, tentukan jumlah semua bilangan genap dari 2 hingga 100.
Pembahasan, deret: 2,4,6,…,100. a₁=2, aₙ=100, d=2. Tentukan n: aₙ=a₁ + (n-1)d → 100=2+(n-1)2 → 100-2=2(n-1) → 98=2(n-1) → n-1=49 → n=50. Jumlah: S₅₀=n/2 (a₁ + aₙ) = 50/2 (2+100) =25·102=2550.
Contoh soal kedelapan, seorang siswa menabung Rp10.000 pada minggu pertama dan menambah Rp5.000 setiap minggu. Tentukan total tabungan setelah 12 minggu.
Pembahasan, a₁=10.000, d=5.000, n=12. S₁₂ = 12/2 [2·10.000 +11·5.000] =6 [20.000 +55.000]=6·75.000=450.000.
Contoh soal kesembilan, suku pertama suatu deret aritmetika adalah 6 dan beda 3. Tentukan jumlah 30 suku pertama.
Pembahasan, S₃₀ = 30/2 [2·6 +29·3]=15 [12+87]=15·99=1485.
Contoh soal kesepuluh, jika jumlah 10 suku pertama adalah 220 dan suku pertama 12, tentukan suku ke-10.
Pembahasan, S₁₀ = n/2 (a₁ + a₁₀) → 220=10/2 (12 + a₁₀)=5(12 + a₁₀) → 12 + a₁₀=44 → a₁₀=32.
Contoh soal kesebelas, suku ke-3 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Tentukan suku pertama dan beda.
Pembahasan, a₃ = a₁ +2d =14 → a₁+2d=14, a₈=a₁+7d=29 → a₁+7d=29. Kurangi: 5d=15 → d=3. Substitusi: a₁+6=14 → a₁=8.
Contoh soal keduabelas, jumlah 50 suku pertama deret aritmetika adalah 3250, tentukan suku pertama jika beda 5.
Pembahasan, S₅₀=50/2 [2a₁ + (50-1)5]=25 [2a₁ +245]=3250 → 2a₁ +245=3250/25=130 → 2a₁=130-245=-115 → a₁=-57,5.
Contoh soal ketigabelas, jumlah semua bilangan ganjil dari 1 hingga 99.
Pembahasan, deret: 1,3,5,…,99, a₁=1, aₙ=99, d=2, tentukan n: aₙ=a₁ + (n-1)d → 99=1 + (n-1)2 → 98=2(n-1) → n-1=49 → n=50. Jumlah S₅₀=50/2 (1+99)=25·100=2500.
Contoh soal keempatbelas, seorang karyawan menerima gaji Rp1.500.000 pada bulan pertama dan setiap bulan naik Rp200.000. Tentukan total gaji selama 12 bulan.
Pembahasan, a₁=1.500.000, d=200.000, n=12. S₁₂=12/2 [2·1.500.000 +11·200.000]=6 [3.000.000 +2.200.000]=6·5.200.000=31.200.000.
Contoh soal kelimabelas, suku pertama suatu deret aritmetika adalah 7 dan jumlah 20 suku pertama 570, tentukan suku terakhir.
Pembahasan, S₂₀ = n/2 (a₁ + a₂₀) → 570=20/2 (7 + a₂₀)=10 (7 + a₂₀) → 7 + a₂₀=57 → a₂₀=50.
Contoh soal keenambelas, jika jumlah 8 suku pertama 64 dan suku pertama 5, tentukan suku ke-8.
Pembahasan, S₈=8/2 [2·5 +7d]=4 (10 +7d)=64 → 10 +7d=16 → 7d=6 → d=6/7. Suku ke-8: a₈ = a₁ +7d=5 +7·6/7=5+6=11.
Contoh soal ketujuhbelas, suku pertama 2, beda 5. Tentukan jumlah 40 suku pertama.
Pembahasan, S₄₀=40/2 [2·2 +39·5]=20 [4 +195]=20·199=3980.
Contoh soal kedelapanbelas, jumlah 15 suku pertama adalah 360 dan suku pertama 10, tentukan beda.
Pembahasan, S₁₅ = 15/2 [2·10 +14d]=7,5 (20+14d)=360 → 20 +14d=360/7,5=48 → 14d=28 → d=2.
Contoh soal kesembilanbelas, tentukan suku ke-12 jika suku pertama 5 dan suku ke-8 adalah 29.
Pembahasan, a₈ = a₁ +7d=29 → 5 +7d=29 → 7d=24 → d=24/7 ≈3,429. Suku ke-12: a₁₂ =5 +11·3,429≈5+37,719≈42,719.
Contoh soal keduapuluh, jumlah semua bilangan kelipatan 3 dari 3 hingga 150.
Pembahasan, deret: 3,6,9,…,150, a₁=3, aₙ=150, d=3, tentukan n: 150=3+(n-1)3 → 147=3(n-1) → n-1=49 → n=50. Jumlah: S₅₀=50/2 (3+150)=25·153=3825.
Latihan soal deret aritmetika membantu siswa memahami pola angka, menghitung cepat, serta menyelesaikan soal cerita dan soal ujian dengan mudah. Pembahasan langkah demi langkah memungkinkan siswa belajar secara sistematis, memahami logika perhitungan, dan mengaplikasikan rumus dengan benar.
Baca juga:Mahasiswa Universitas Teknokrat Indonesia Borong Juara Nasional di ANFEST 2026
Kesimpulannya, deret aritmetika sangat berguna dalam matematika dan kehidupan sehari-hari. Dengan memahami rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama, serta berlatih soal dasar, menengah, hingga lanjutan, siswa dapat menguasai materi dengan baik. Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal deret aritmetika beserta pembahasannya, sehingga menjadi referensi belajar lengkap dan efektif. Dengan latihan rutin, siswa akan mampu menyelesaikan soal hitungan maupun soal cerita deret aritmetika dengan cepat, tepat, dan percaya diri, baik untuk ujian sekolah, ujian nasional, maupun seleksi masuk perguruan tinggi.
Penulis:Loveytha
Post Comment