Rumus ABC Persamaan Kuadrat dan Contoh Soal Lengkap untuk SMP

Salah satu cara paling andal untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus abc persamaan kuadrat, yang sering juga disebut rumus kuadrat. Berbeda dari pemfaktoran yang hanya berhasil pada bentuk tertentu, rumus ini dapat dipakai untuk hampir semua persamaan kuadrat, termasuk persamaan yang akarnya bukan bilangan bulat.

Bagi siswa SMP, rumus abc menjadi jembatan penting sebelum mempelajari fungsi kuadrat di jenjang berikutnya. Dengan memahami arti setiap simbol dan langkah pemakaiannya, kamu tidak lagi menggantungkan jawaban pada tebakan.

Apa Itu Rumus ABC?

Rumus abc digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat yang ditulis dalam bentuk baku ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0. Huruf a, b, dan c pada nama rumus ini merujuk langsung pada koefisien dan konstanta di bentuk baku tersebut.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Tanda ± berarti ada dua perhitungan terpisah, yaitu satu dengan penjumlahan dan satu dengan pengurangan. Dari dua perhitungan itu diperoleh dua akar, biasanya ditulis x₁ dan x₂.

Arti Tiap Simbol dan Satuannya

Pada soal matematika murni, akar persamaan tidak memiliki satuan. Satuan baru muncul jika persamaan berasal dari masalah kontekstual, misalnya panjang dalam sentimeter atau waktu dalam detik, dan satuan itu mengikuti besaran yang diwakili variabelnya.

Asal-Usul Singkat Rumus ABC

Rumus abc tidak muncul begitu saja. Rumus ini diperoleh dengan melengkapi kuadrat sempurna pada bentuk baku ax² + bx + c = 0. Kedua ruas dibagi a, konstanta dipindahkan ke ruas kanan, lalu kedua ruas ditambah (b/2a)² agar ruas kiri menjadi kuadrat sempurna.

Setelah kedua ruas ditarik akarnya dan bentuknya disederhanakan, hasilnya tepat sama dengan rumus abc. Memahami asal-usul ini menjelaskan mengapa penyebutnya 2a dan mengapa muncul tanda ± pada pembilang.

Kapan Rumus ABC Sebaiknya Dipakai?

Rumus abc adalah cara yang serbaguna, tetapi bukan berarti selalu menjadi langkah tercepat. Pilihan cara sebaiknya disesuaikan dengan bentuk persamaan yang dihadapi.

• Gunakan pemfaktoran lebih dulu jika koefisien dan konstantanya kecil serta pasangan faktornya mudah ditebak, misalnya x² − 7x + 12 = 0.
• Gunakan rumus abc ketika pemfaktoran sulit dilakukan, misalnya saat nilai a bukan 1.
• Gunakan rumus abc ketika akar persamaannya berbentuk bilangan irasional sehingga tidak bisa ditulis sebagai pecahan sederhana.
• Gunakan rumus abc ketika kamu hanya perlu mengetahui jenis akarnya, karena nilai diskriminan bisa dihitung lebih cepat.

Diskriminan: Penentu Jenis Akar

Bagian di dalam tanda akar, yaitu b² − 4ac, disebut diskriminan dan biasanya disimbolkan dengan D. Nilai D menentukan berapa banyak akar real yang dimiliki sebuah persamaan kuadrat.

Memeriksa diskriminan lebih dahulu sangat membantu. Jika D negatif, kamu bisa langsung menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real tanpa perlu menghitung sampai selesai.

Langkah-Langkah Menggunakan Rumus ABC

1. Susun persamaan ke bentuk baku ax² + bx + c = 0. Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya bernilai nol.
2. Tentukan nilai a, b, dan c beserta tandanya. Tanda negatif adalah bagian dari nilai koefisien, bukan sekadar hiasan.
3. Hitung diskriminan b² − 4ac. Ingat bahwa (−5)² = 25, bukan −25.
4. Substitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus abc.
5. Sederhanakan bentuk akar bila memungkinkan, lalu hitung dua kemungkinan, yaitu dengan tanda tambah dan tanda kurang.
6. Periksa jawaban dengan memasukkannya kembali ke persamaan asal atau dengan pemfaktoran bila akarnya bulat.

Ilustrasi Penerapan Rumus ABC

Sebagai gambaran langkah-langkah di atas, perhatikan persamaan x² − 4x − 5 = 0. Di sini a = 1, b = −4, dan c = −5, sehingga diskriminannya adalah (−4)² − 4(1)(−5) = 16 + 20 = 36.

Akar dari 36 adalah 6. Substitusi ke rumus abc menghasilkan x = (4 ± 6) / 2. Untuk tanda tambah diperoleh x = 10/2 = 5, sedangkan untuk tanda kurang diperoleh x = −2/2 = −1. Jadi akar-akarnya adalah 5 dan −1.

Variasi dan Bentuk Lain yang Berkaitan

Persamaan yang Belum Berbentuk Baku

Banyak soal menyajikan persamaan dalam bentuk yang belum rapi, misalnya 3x² = 5x − 2 atau x(x + 4) = 12. Langkah pertamanya selalu sama, yaitu mengubah ke bentuk baku. Bentuk pertama menjadi 3x² − 5x + 2 = 0, sedangkan bentuk kedua menjadi x² + 4x − 12 = 0.

Saat Diskriminan Bernilai Nol

Jika b² − 4ac = 0, bagian akar menjadi nol sehingga kedua perhitungan menghasilkan nilai yang sama, yaitu x = −b / 2a. Persamaan seperti ini disebut memiliki akar kembar.

Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar

Dari rumus abc dapat diturunkan hubungan x₁ + x₂ = −b/a dan x₁ × x₂ = c/a. Kedua bentuk ini berguna untuk memeriksa jawaban atau menyusun persamaan kuadrat baru dari akar yang sudah diketahui.

Menerapkan Rumus ABC pada Soal Cerita

Dalam soal cerita, rumus abc biasanya dipakai setelah kamu menyusun persamaan dari informasi yang diberikan. Misalnya, luas sebuah persegi panjang diketahui dan hubungan antara panjang serta lebarnya juga diketahui, sehingga terbentuk persamaan kuadrat.

Ada dua kunci pengerjaannya. Pertama, terjemahkan informasi menjadi persamaan dengan satu variabel. Kedua, periksa apakah semua akar yang diperoleh masuk akal untuk konteks soal. Panjang tidak mungkin bernilai negatif, sehingga akar negatif biasanya diabaikan meskipun secara matematis valid.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menuliskan b sebagai bilangan positif padahal pada persamaan nilai b negatif.
• Membagi dengan a, bukan dengan 2a.
• Salah menghitung kuadrat bilangan negatif.
• Lupa menghitung dua kemungkinan sehingga hanya menemukan satu akar.
• Langsung memakai rumus sebelum persamaan disusun ke bentuk baku.
• Menarik akar dari diskriminan yang bernilai negatif dan menganggapnya bilangan real.

Tips Berlatih

Latihan teratur dengan variasi nilai a, b, dan c akan membuat proses ini terasa cepat. Mulailah dari persamaan dengan a = 1, lalu naik ke persamaan dengan a bukan 1 atau koefisien negatif. Setelah itu, coba soal kontekstual agar terbiasa menerjemahkan cerita menjadi persamaan.

Menghafal rumus saja tidak cukup. Yang paling menentukan adalah ketelitian saat menentukan tanda koefisien dan kesabaran saat menyederhanakan bentuk akar.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x² − 5x + 6 = 0 dengan rumus abc.
   1. 1 dan 6
   2. 2 dan 3
   3. −2 dan −3
   4. −1 dan −6
   Lihat jawaban dan pembahasan

   Jawaban: B. 2 dan 3

   Persamaan sudah berbentuk baku dengan a = 1, b = −5, dan c = 6.
   Langkah 1: hitung diskriminan, D = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1.
   Langkah 2: akar dari 1 adalah 1, sehingga x = (5 ± 1) / (2 × 1) = (5 ± 1)/2.
   Langkah 3: untuk tanda tambah, x = 6/2 = 3. Untuk tanda kurang, x = 4/2 = 2.
   Jadi akar-akarnya adalah 2 dan 3.

2. Akar-akar persamaan 2x² + 7x + 3 = 0 adalah ….
   1. −1/2 dan −3
   2. 1/2 dan 3
   3. −1/2 dan 3
   4. 1/2 dan −3
   Lihat jawaban dan pembahasan

   Jawaban: A. −1/2 dan −3

   Diketahui a = 2, b = 7, dan c = 3.
   Langkah 1: D = 7² − 4(2)(3) = 49 − 24 = 25, sehingga akarnya 5.
   Langkah 2: x = (−7 ± 5) / (2 × 2) = (−7 ± 5)/4.
   Langkah 3: untuk tanda tambah, x = (−7 + 5)/4 = −2/4 = −1/2. Untuk tanda kurang, x = (−7 − 5)/4 = −12/4 = −3.
   Jadi akar-akarnya adalah −1/2 dan −3.

3. Nilai diskriminan persamaan x² + 4x + 5 = 0 beserta jenis akarnya adalah ….
   1. D = 4, persamaan memiliki dua akar real berbeda
   2. D = −4, persamaan memiliki dua akar real berbeda
   3. D = −4, persamaan tidak memiliki akar real
   4. D = 4, persamaan memiliki akar kembar
   Lihat jawaban dan pembahasan

   Jawaban: C. D = −4, persamaan tidak memiliki akar real

   Diketahui a = 1, b = 4, dan c = 5.
   Langkah 1: hitung D = b² − 4ac = 4² − 4(1)(5) = 16 − 20 = −4.
   Langkah 2: karena D bernilai negatif, bentuk akar dari b² − 4ac tidak menghasilkan bilangan real.
   Kesimpulannya, persamaan tidak memiliki akar real.

4. Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x − 8 = 0 adalah ….
   1. −2 dan 4
   2. 2 dan 4
   3. −2 dan −4
   4. 2 dan −4
   Lihat jawaban dan pembahasan

   Jawaban: D. 2 dan −4

   Diketahui a = 1, b = 2, dan c = −8.
   Langkah 1: D = 2² − 4(1)(−8) = 4 + 32 = 36, sehingga akarnya 6.
   Langkah 2: x = (−2 ± 6) / (2 × 1) = (−2 ± 6)/2.
   Langkah 3: untuk tanda tambah, x = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2. Untuk tanda kurang, x = (−2 − 6)/2 = −8/2 = −4.
   Jadi akar-akarnya adalah 2 dan −4.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa perbedaan rumus ABC dengan pemfaktoran?

Pemfaktoran mencari akar dengan mengubah persamaan menjadi bentuk perkalian dua kurung, sehingga hanya praktis untuk koefisien tertentu. Rumus abc bekerja untuk semua persamaan kuadrat, termasuk yang akarnya berupa bilangan irasional.

Kapan rumus ABC harus digunakan?

Gunakan rumus abc ketika persamaan sulit difaktorkan, ketika nilai a bukan 1, atau ketika akarnya bukan bilangan bulat. Rumus ini juga efisien saat kamu hanya perlu mengetahui jenis akar melalui nilai diskriminan.

Apa itu diskriminan dalam persamaan kuadrat?

Diskriminan adalah nilai b2 − 4ac yang biasanya disimbolkan D. Nilainya menunjukkan jenis akar: D positif berarti dua akar real berbeda, D nol berarti akar kembar, dan D negatif berarti tidak ada akar real.

Mengapa nilai a tidak boleh sama dengan nol?

Jika a = 0, suku x2 hilang sehingga persamaan berubah menjadi persamaan linear, bukan kuadrat. Karena itu syarat a ≠ 0 wajib dipenuhi agar rumus abc berlaku.

Apakah semua persamaan kuadrat memiliki akar real?

Tidak. Persamaan kuadrat hanya memiliki akar real jika nilai diskriminannya nol atau positif. Jika diskriminannya negatif, persamaan tersebut tidak memiliki akar real pada bilangan real.

Baca Juga

• Rumus ABC Persamaan Kuadrat: Penjelasan Simbol dan Contoh Soal
• Rumus Luas Permukaan Tabung beserta Contoh Soal dan Penjelasannya
• Rumus Molaritas beserta Contoh Soal dan Pembahasan