Garis singgung lingkaran merupakan salah satu materi penting dalam matematika, khususnya pada pembahasan geometri dan lingkaran. Materi ini sering muncul dalam latihan soal maupun ujian karena membutuhkan pemahaman tentang jari-jari, jarak antarpusat lingkaran, serta hubungan antara garis singgung dan titik pusat.

Secara umum, garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Jika terdapat dua lingkaran, garis singgung dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, salah satunya adalah garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam.

Pada artikel ini, kita akan membahas pengertian garis singgung lingkaran luar dan dalam, rumus yang digunakan, serta beberapa contoh soal lengkap dengan cara mengerjakannya secara bertahap.

Apa Itu Garis Singgung Lingkaran?

Sebelum membahas garis singgung persekutuan luar dan dalam, penting untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran terlebih dahulu.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan sebuah lingkaran. Titik tersebut disebut titik singgung.

Salah satu sifat penting garis singgung adalah garis tersebut tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang ditarik ke titik singgung.

Misalnya, sebuah lingkaran memiliki pusat O dan garis menyinggung lingkaran di titik A. Jika OA merupakan jari-jari lingkaran, maka:

OA ⟂ garis singgung

Artinya, sudut yang terbentuk antara jari-jari dan garis singgung adalah 90°.

Jika terdapat dua lingkaran, konsep garis singgung menjadi lebih luas. Kita dapat mencari panjang garis singgung yang menyentuh kedua lingkaran tersebut.

Pengertian Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyinggung dua lingkaran dan tidak memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Misalnya terdapat dua lingkaran dengan pusat A dan B. Lingkaran pertama memiliki jari-jari R, sedangkan lingkaran kedua memiliki jari-jari r.

Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d dan panjang garis singgung persekutuan luar adalah L, maka rumusnya:

L = √(d² − (R − r)²)

Keterangan:

• L = panjang garis singgung persekutuan luar
• d = jarak antara kedua pusat lingkaran
• R = jari-jari lingkaran yang lebih besar
• r = jari-jari lingkaran yang lebih kecil

Rumus tersebut berasal dari penerapan Teorema Pythagoras.

Pada garis singgung persekutuan luar, yang digunakan dalam perhitungan adalah selisih jari-jari kedua lingkaran.

Pengertian Garis Singgung Persekutuan Dalam

Berbeda dengan garis singgung persekutuan luar, garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung dua lingkaran dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:

L = √(d² − (R + r)²)

Keterangan:

• L = panjang garis singgung persekutuan dalam
• d = jarak antara pusat kedua lingkaran
• R = jari-jari lingkaran pertama
• r = jari-jari lingkaran kedua

Perhatikan bahwa terdapat perbedaan penting antara kedua rumus tersebut.

Untuk garis singgung persekutuan luar digunakan:

R − r

Sedangkan untuk garis singgung persekutuan dalam digunakan:

R + r

Kesalahan membedakan tanda tersebut merupakan salah satu hal yang sering terjadi ketika mengerjakan soal.

Perbedaan Garis Singgung Luar dan Dalam

Agar lebih mudah diingat, berikut perbedaannya.

Jadi, cara cepat mengingatnya adalah:

Luar = kurang

Dalam = tambah

Namun, jangan hanya menghafalkan rumus. Pahami juga posisi garis singgung terhadap kedua lingkaran agar tidak salah memilih rumus.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar

Contoh Soal 1

Dua buah lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 10 cm dan 6 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 20 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut!

Penyelesaian

Diketahui:

• R = 10 cm
• r = 6 cm
• d = 20 cm

Karena yang ditanyakan adalah garis singgung persekutuan luar, gunakan rumus:

L = √(d² − (R − r)²)

Masukkan nilai yang diketahui:

L = √(20² − (10 − 6)²)

L = √(400 − 4²)

L = √(400 − 16)

L = √384

L = 8√6 cm

Jika dibulatkan:

L ≈ 19,60 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 8√6 cm atau sekitar 19,60 cm.

Contoh Soal 2

Dua lingkaran memiliki jari-jari 15 cm dan 9 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 25 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya?

Penyelesaian

Diketahui:

R = 15 cm

r = 9 cm

d = 25 cm

Gunakan rumus garis singgung persekutuan luar:

L = √(d² − (R − r)²)

L = √(25² − (15 − 9)²)

L = √(625 − 6²)

L = √(625 − 36)

L = √589

Jadi:

L = √589 cm

Jika menggunakan nilai pendekatan, panjangnya sekitar:

24,27 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah √589 cm atau sekitar 24,27 cm.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam

Contoh Soal 3

Dua buah lingkaran mempunyai jari-jari 8 cm dan 5 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran!

Penyelesaian

Diketahui:

• R = 8 cm
• r = 5 cm
• d = 17 cm

Karena yang dicari adalah garis singgung persekutuan dalam, gunakan rumus:

L = √(d² − (R + r)²)

Substitusikan nilai:

L = √(17² − (8 + 5)²)

L = √(289 − 13²)

L = √(289 − 169)

L = √120

L = 2√30 cm

Jika dibulatkan:

L ≈ 10,95 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 2√30 cm atau sekitar 10,95 cm.

Contoh Soal 4

Dua lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 12 cm dan 7 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 30 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Penyelesaian

Diketahui:

R = 12 cm

r = 7 cm

d = 30 cm

Gunakan rumus:

L = √(d² − (R + r)²)

L = √(30² − (12 + 7)²)

L = √(900 − 19²)

L = √(900 − 361)

L = √539

Jadi:

L = √539 cm

Jika dibulatkan, panjang garis singgung tersebut sekitar 23,22 cm.

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah √539 cm atau sekitar 23,22 cm.

Contoh Soal Mencari Jarak Antarpusat Lingkaran

Selain mencari panjang garis singgung, soal juga dapat meminta kita menentukan jarak antara pusat kedua lingkaran.

Contoh Soal 5

Dua lingkaran mempunyai jari-jari 10 cm dan 4 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm. Tentukan jarak antara pusat kedua lingkaran!

Penyelesaian

Diketahui:

R = 10 cm

r = 4 cm

L = 24 cm

d = ?

Gunakan rumus:

L = √(d² − (R − r)²)

Kuadratkan kedua ruas:

L² = d² − (R − r)²

Maka:

d² = L² + (R − r)²

Substitusi:

d² = 24² + (10 − 4)²

d² = 576 + 6²

d² = 576 + 36

d² = 612

d = √612

d = 6√17 cm

Jika dibulatkan:

d ≈ 24,74 cm

Jadi, jarak antara pusat kedua lingkaran adalah 6√17 cm atau sekitar 24,74 cm.

Contoh Soal Gabungan Garis Singgung Luar dan Dalam

Contoh Soal 6

Dua lingkaran memiliki jari-jari 13 cm dan 5 cm serta jarak antarpusat 25 cm.

Tentukan:

1. Panjang garis singgung persekutuan luar.
2. Panjang garis singgung persekutuan dalam.

Penyelesaian

Diketahui:

R = 13 cm

r = 5 cm

d = 25 cm

1. Garis Singgung Persekutuan Luar

Gunakan rumus:

L = √(d² − (R − r)²)

L = √(25² − (13 − 5)²)

L = √(625 − 8²)

L = √(625 − 64)

L = √561

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah:

√561 cm ≈ 23,69 cm

2. Garis Singgung Persekutuan Dalam

Gunakan rumus:

L = √(d² − (R + r)²)

L = √(25² − (13 + 5)²)

L = √(625 − 18²)

L = √(625 − 324)

L = √301

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:

√301 cm ≈ 17,35 cm

Dari soal tersebut terlihat bahwa garis singgung luar dan dalam menghasilkan panjang yang berbeda karena menggunakan selisih dan jumlah jari-jari.

Cara Mudah Mengerjakan Soal Garis Singgung Lingkaran

Agar tidak mengalami kesulitan ketika mengerjakan soal, terdapat beberapa langkah yang dapat digunakan.

1. Identifikasi jenis garis singgung

Pertama, perhatikan apakah soal meminta garis singgung persekutuan luar atau dalam.

Jika luar, gunakan selisih jari-jari:

R − r

Jika dalam, gunakan jumlah jari-jari:

R + r

2. Tuliskan informasi yang diketahui

Sebelum menghitung, tuliskan nilai:

• jari-jari pertama,
• jari-jari kedua,
• jarak antarpusat,
• atau panjang garis singgung jika diketahui.

Cara ini dapat mengurangi risiko salah memasukkan angka ke dalam rumus.

3. Pilih rumus yang sesuai

Untuk garis singgung luar:

L = √(d² − (R − r)²)

Untuk garis singgung dalam:

L = √(d² − (R + r)²)

4. Masukkan angka secara bertahap

Jangan langsung menghitung semuanya sekaligus. Kerjakan bagian dalam tanda kurung terlebih dahulu.

Misalnya:

R − r = 10 − 6 = 4

Kemudian:

d² = 20² = 400

Setelah itu:

L = √(400 − 16)

Cara bertahap seperti ini membuat perhitungan lebih mudah diperiksa.

5. Sederhanakan bentuk akar

Jika hasilnya berupa akar, sederhanakan apabila memungkinkan.

Contohnya:

√120

= √(4 × 30)

= 2√30

Dengan demikian, jawaban dapat ditulis dalam bentuk paling sederhana.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Ada beberapa kesalahan umum dalam mengerjakan soal garis singgung persekutuan dua lingkaran.

Salah Memilih Rumus

Kesalahan paling sering adalah menggunakan rumus garis singgung luar untuk soal garis singgung dalam, atau sebaliknya.

Ingat:

Garis singgung luar → R − r

Garis singgung dalam → R + r

Lupa Mengkuadratkan

Rumus mengandung bentuk:

d² − (R ± r)²

Jadi, baik jarak pusat maupun hasil penjumlahan atau pengurangan jari-jari harus dikuadratkan.

Contohnya:

(10 − 6)² = 4² = 16

Bukan hanya 10 − 6 = 4.

Salah Menghitung Akar

Setelah mendapatkan hasil di bawah tanda akar, periksa kembali apakah bilangan tersebut masih dapat disederhanakan.

Misalnya:

√144 = 12

Sementara:

√150 tidak dapat menjadi bilangan bulat.

Tidak Memperhatikan Satuan

Jika jari-jari dan jarak antarpusat menggunakan satuan sentimeter, maka panjang garis singgung juga menggunakan sentimeter.

Latihan Soal Garis Singgung Lingkaran

Untuk menguji pemahaman, cobalah mengerjakan soal-soal berikut.

Soal 1

Dua lingkaran memiliki jari-jari 14 cm dan 8 cm. Jarak kedua pusatnya 30 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Jawaban:

L = √(30² − (14 − 8)²)

L = √(900 − 36)

L = √864

L = 12√6 cm

Soal 2

Dua lingkaran mempunyai jari-jari 10 cm dan 6 cm. Jarak antarpusatnya 26 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Jawaban:

L = √(26² − (10 + 6)²)

L = √(676 − 256)

L = √420

L = 2√105 cm

Soal 3

Diketahui dua lingkaran mempunyai jari-jari 9 cm dan 3 cm. Jarak antara kedua pusatnya 15 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Jawaban:

L = √(15² − (9 − 3)²)

L = √(225 − 36)

L = √189

L = 3√21 cm

Kesimpulan

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang menyentuh lingkaran tepat pada satu titik. Dalam pembahasan dua lingkaran, terdapat garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalam.

Untuk garis singgung persekutuan luar, rumus yang digunakan adalah:

L = √(d² − (R − r)²)

Sedangkan untuk garis singgung persekutuan dalam, rumusnya adalah:

L = √(d² − (R + r)²)

Perbedaan utama kedua rumus tersebut terletak pada operasi jari-jari. Garis singgung luar menggunakan selisih jari-jari, sedangkan garis singgung dalam menggunakan jumlah jari-jari.

Dalam mengerjakan soal, langkah yang paling penting adalah memahami informasi yang diberikan, menentukan jenis garis singgung, memilih rumus yang tepat, kemudian melakukan perhitungan secara bertahap.

Dengan memahami konsep tersebut, berbagai contoh soal garis singgung lingkaran luar dan dalam dapat dikerjakan dengan lebih mudah dan sistematis. Materi ini juga dapat menjadi dasar untuk memahami pembahasan geometri lingkaran yang lebih kompleks.

Penulis: W.S