Dalam studi matematika tingkat lanjut, khususnya pada materi irisan kerucut dan fungsi kuadrat, kita sering kali dihadapkan pada situasi di mana dua kurva saling berinteraksi. Salah satu topik yang paling menantang sekaligus menarik adalah menentukan titik potong antara dua parabola. Memahami konsep ini bukan hanya sekadar menyelesaikan persamaan, tetapi juga mengasah kemampuan visualisasi spasial dan logika aljabar kita.

Baca juga:Mengapa Persiapan TPU Bank Sumut Sangat Penting

Artikel ini akan membahas tuntas strategi mencari titik potong dua parabola, mulai dari konsep dasar, langkah-langkah sistematis, hingga kumpulan latihan soal yang disertai kunci jawaban serta pembahasan mendalam.

Mengapa Titik Potong Dua Parabola Itu Penting?

Interaksi antara dua fungsi kuadrat sering ditemukan dalam berbagai aplikasi nyata, seperti:

• Ekonomi: Menentukan titik keseimbangan antara dua model pertumbuhan atau biaya.
• Fisika: Menganalisis lintasan dua proyektil yang mungkin bertabrakan.
• Arsitektur: Menghitung titik temu dua struktur lengkung untuk memastikan stabilitas bangunan.

Secara matematis, dua parabola dapat memiliki tiga kemungkinan interaksi:

1. Dua Titik Potong: Parabola saling berpotongan di dua lokasi berbeda.
2. Satu Titik Potong (Menyinggung): Parabola hanya bersentuhan di satu titik puncak atau sisi.
3. Tidak Ada Titik Potong: Kedua kurva tidak pernah bertemu dalam bidang Kartesius (akar imajiner).

Langkah Sistematis Mencari Titik Potong

Untuk mencari titik potong antara dua fungsi kuadrat $y = f(x)$ dan $y = g(x)$, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Berikut adalah panduannya:

Langkah 1: Menyamakan Kedua Persamaan

Karena pada titik potong nilai $y$ dari kedua parabola adalah sama, maka kita buat persamaan:

$$f(x) = g(x)$$

$$a_1x^2 + b_1x + c_1 = a_2x^2 + b_2x + c_2$$

Langkah 2: Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga membentuk persamaan kuadrat dalam bentuk standar $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Langkah 3: Mencari Nilai x (Absis)

Selesaikan persamaan kuadrat tersebut menggunakan metode faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus ABC ($x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$).

Langkah 4: Mencari Nilai y (Ordinat)

Substitusikan nilai $x$ yang telah ditemukan ke salah satu persamaan asli (pilih yang paling sederhana) untuk mendapatkan pasangan nilai $y$.

Kumpulan Latihan Soal dan Pembahasan

Berikut adalah bank soal yang disusun untuk membantu Anda menguasai materi ini dari berbagai tingkat kesulitan.

Soal 1: Dua Parabola Terbuka ke Atas

Tentukan titik potong antara parabola $y = x^2 – 4x + 3$ dan $y = 2x^2 – 8x + 6$.

Pembahasan:

• Samakan kedua fungsi:$x^2 – 4x + 3 = 2x^2 – 8x + 6$
• Pindahkan ke ruas kanan:$0 = x^2 – 4x + 3$
• Faktorkan:$(x – 1)(x – 3) = 0$Didapat $x_1 = 1$ dan $x_2 = 3$.
• Substitusi ke $y = x^2 – 4x + 3$:Untuk $x = 1 \rightarrow y = 1^2 – 4(1) + 3 = 0$.Untuk $x = 3 \rightarrow y = 3^2 – 4(3) + 3 = 0$.
• Kunci Jawaban: Titik potongnya adalah (1, 0) dan (3, 0).

Soal 2: Parabola Terbuka ke Atas dan ke Bawah

Tentukan titik potong antara parabola $y = x^2 – 2$ dan $y = -x^2 + 6$.

Pembahasan:

• Samakan kedua fungsi:$x^2 – 2 = -x^2 + 6$
• Sederhanakan:$2x^2 = 8$$x^2 = 4$$x = \pm 2$
• Substitusi ke $y = x^2 – 2$:Untuk $x = 2 \rightarrow y = 2^2 – 2 = 2$.Untuk $x = -2 \rightarrow y = (-2)^2 – 2 = 2$.
• Kunci Jawaban: Titik potongnya adalah (2, 2) dan (-2, 2).

Soal 3: Parabola yang Saling Menyinggung

Cari titik potong dari $y = x^2 + 2x + 1$ dan $y = -x^2 – 2x – 1$.

Pembahasan:

• Samakan kedua fungsi:$x^2 + 2x + 1 = -x^2 – 2x – 1$
• Sederhanakan:$2x^2 + 4x + 2 = 0$$x^2 + 2x + 1 = 0$
• Faktorkan:$(x + 1)^2 = 0 \rightarrow x = -1$.
• Substitusi ke $y = x^2 + 2x + 1$:$y = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0$.
• Kunci Jawaban: Kedua parabola menyinggung di satu titik, yaitu (-1, 0).

Soal 4: Parabola dengan Pergeseran Horizontal

Tentukan titik potong antara $y = x^2 – 6x + 9$ dan $y = x^2 – 2x + 1$.

Pembahasan:

• Samakan kedua fungsi:$x^2 – 6x + 9 = x^2 – 2x + 1$
• Karena $x^2$ di kedua ruas sama, maka suku kuadrat habis (ini akan membentuk garis lurus):$-6x + 9 = -2x + 1$$8 = 4x$$x = 2$
• Substitusi ke $y = x^2 – 2x + 1$:$y = 2^2 – 2(2) + 1 = 1$.
• Kunci Jawaban: Hanya ada satu titik potong yaitu (2, 1).

Tips dan Trik Menguasai Titik Potong Parabola

1. Gunakan Diskriminan Sebagai Detektif: Saat Anda membentuk persamaan $f(x) – g(x) = 0$, hitung nilai $D = b^2 – 4ac$ dari persamaan baru tersebut. Jika $D$ negatif, Anda tidak perlu repot mencari nilai $x$ karena itu berarti kedua parabola tidak akan pernah bertemu di koordinat real.
2. Sketsa Visual: Sebelum menghitung, cobalah bayangkan arah buka parabola (dilihat dari nilai $a$). Jika satu terbuka ke atas dan satu ke bawah, kemungkinan besar mereka akan berpotongan di dua titik.
3. Cek Kembali: Selalu masukkan koordinat titik potong yang Anda temukan ke kedua persamaan asli. Jika hasilnya sama, maka jawaban Anda valid.

Baca juga:Universitas Teknokrat Indonesia Pamerkan Cookies Premium Bonava Karya Mahasiswa FEB di Teknokrat Academic Expo 2026

Kesimpulan

Mencari titik potong dua parabola memerlukan ketelitian dalam operasi aljabar, terutama saat memindahkan ruas dan melakukan faktorisasi. Dengan langkah-langkah sistematis—menyamakan persamaan, menyederhanakan, mencari absis, dan mencari ordinat—masalah yang terlihat rumit ini dapat diselesaikan dengan mudah.

Penulis: marfel