Contoh soal deret geometri hingga sering muncul dalam pelajaran matematika SMP, SMA, hingga persiapan UTBK dan ujian masuk perguruan tinggi. Materi ini merupakan bagian penting dari barisan dan deret, khususnya yang membahas pola bilangan dengan rasio tetap. Banyak siswa merasa kesulitan memahami konsep deret geometri karena kurang memahami hubungan antara suku pertama, rasio, dan jumlah n suku pertama.
Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian deret geometri hingga, rumus yang digunakan, perbedaan dengan barisan geometri, serta kumpulan contoh soal deret geometri hingga lengkap dengan pembahasan yang mudah dipahami. Penjelasan dibuat sistematis agar membantu siswa memahami konsep secara menyeluruh.
baca juga:Contoh Soal Panjang Gelombang dan Frekuensi Beserta Jawaban Terbaru untuk Latihan
Pengertian Deret Geometri Hingga
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Jika barisan geometri adalah urutan bilangan dengan perbandingan tetap, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari suku-suku tersebut.
Contoh barisan geometri:
2, 6, 18, 54, …
Rasio r = 3
Jika dijumlahkan menjadi:
2 + 6 + 18 + 54 + …
Maka itu disebut deret geometri.
Deret geometri hingga adalah deret yang memiliki jumlah suku terbatas, misalnya hanya sampai suku ke-n.
Rumus Penting dalam Deret Geometri Hingga
Sebelum mengerjakan contoh soal deret geometri hingga, pahami dulu rumus-rumus berikut.
Rumus suku ke-n barisan geometri:
Un = a × r^(n−1)
Keterangan:
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
Sn = a (r^n − 1) / (r − 1) untuk r ≠ 1
Jika r kurang dari 1 dan ingin menggunakan bentuk alternatif:
Sn = a (1 − r^n) / (1 − r)
Memahami rumus ini adalah kunci dalam menyelesaikan soal deret geometri.
Contoh Soal 1 Menghitung Jumlah Deret Geometri Hingga
Diketahui deret:
3 + 6 + 12 + 24 + …
Hitung jumlah 6 suku pertama.
Pembahasan
Diketahui:
a = 3
r = 6 ÷ 3 = 2
n = 6
Gunakan rumus:
Sn = a (r^n − 1) / (r − 1)
S6 = 3 (2^6 − 1) / (2 − 1)
2^6 = 64
S6 = 3 (64 − 1) / 1
S6 = 3 × 63
S6 = 189
Jadi jumlah 6 suku pertama adalah 189.
Contoh Soal 2 Menentukan Rasio dan Jumlah Deret
Diketahui deret:
5 + 10 + 20 + … + 640
Tentukan jumlah seluruh deret.
Pembahasan
Pertama tentukan rasio:
r = 10 ÷ 5 = 2
Gunakan rumus suku ke-n:
Un = a × r^(n−1)
640 = 5 × 2^(n−1)
640 ÷ 5 = 128
128 = 2^7
Maka:
2^(n−1) = 2^7
n − 1 = 7
n = 8
Gunakan rumus jumlah:
Sn = 5 (2^8 − 1) / (2 − 1)
2^8 = 256
Sn = 5 (256 − 1)
Sn = 5 × 255
Sn = 1275
Jadi jumlah seluruh deret adalah 1275.
Contoh Soal 3 Rasio Kurang dari 1
Hitung jumlah 5 suku pertama dari deret:
81 + 27 + 9 + 3 + …
Pembahasan
a = 81
r = 27 ÷ 81 = 1/3
n = 5
Gunakan rumus:
Sn = a (1 − r^n) / (1 − r)
r^5 = (1/3)^5 = 1/243
S5 = 81 (1 − 1/243) / (1 − 1/3)
1 − 1/243 = 242/243
1 − 1/3 = 2/3
S5 = 81 × (242/243) ÷ (2/3)
S5 = 81 × (242/243) × (3/2)
Sederhanakan:
81 ÷ 243 = 1/3
S5 = (1/3) × 242 × (3/2)
Coret 3:
S5 = 242/2
S5 = 121
Jadi jumlah 5 suku pertama adalah 121.
Contoh Soal 4 Menentukan Suku Pertama
Jumlah 4 suku pertama deret geometri adalah 150. Rasio 2 dan suku pertama adalah a. Tentukan nilai a.
Pembahasan
Gunakan rumus:
Sn = a (r^n − 1) / (r − 1)
150 = a (2^4 − 1) / (2 − 1)
2^4 = 16
150 = a (16 − 1)
150 = 15a
a = 150 ÷ 15
a = 10
Jadi suku pertama adalah 10.
Contoh Soal 5 Soal Cerita Deret Geometri
Sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap 1 jam. Jika awalnya ada 5 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 8 jam?
Pembahasan
Pertumbuhan bakteri mengikuti pola geometri.
a = 5
r = 2
n = 9 suku (termasuk awal)
Gunakan rumus suku ke-n:
Un = 5 × 2^(9−1)
Un = 5 × 2^8
Un = 5 × 256
Un = 1280
Jadi jumlah bakteri setelah 8 jam adalah 1280.
Perbedaan Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah urutan bilangan
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku
Contoh:
Barisan: 2, 4, 8, 16
Deret: 2 + 4 + 8 + 16
Memahami perbedaan ini penting agar tidak salah memilih rumus.
Kesalahan Umum dalam Mengerjakan Soal Deret Geometri
Salah menentukan rasio
Keliru menggunakan rumus jumlah
Tidak menghitung n dengan benar
Salah menghitung pangkat
Tips Menguasai Deret Geometri Hingga
Pahami konsep rasio tetap
Latih penggunaan rumus suku ke-n
Latih penggunaan rumus jumlah n suku
Biasakan mengerjakan soal cerita
Periksa kembali hasil perhitungan
Manfaat Memahami Deret Geometri
Materi deret geometri digunakan dalam:
Perhitungan bunga majemuk
Pertumbuhan populasi
Perhitungan investasi
Analisis keuangan
Model pertumbuhan eksponensial
Kesimpulan
Contoh soal deret geometri hingga lengkap dengan rumus dan pembahasan mudah dipahami sangat membantu siswa memahami konsep matematika secara sistematis. Dengan menguasai rumus suku ke-n dan rumus jumlah n suku pertama, berbagai tipe soal dapat diselesaikan dengan mudah.
penulis:ilham
Post Comment