Barisan dan Deret Geometri: Rumus Lengkap, Konsep, dan Contoh Soal Pembahasan

Matematika seringkali dianggap sebagai pelajaran yang menantang, namun sebenarnya ia adalah bahasa pola. Salah satu pola yang paling menarik dan sering muncul dalam kehidupan sehari-hari—mulai dari pembelahan bakteri hingga bunga majemuk di bank—adalah Barisan dan Deret Geometri.

baca juga: Contoh Soal Panjang Gelombang Mirip Brainly Lengkap dengan

Dalam artikel ini, kita akan mengupas tuntas apa itu barisan dan deret geometri, rumus-rumus yang menyertainya, hingga latihan soal yang akan membuat Anda semakin mahir.

Apa Itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah sekumpulan bilangan di mana rasio (perbandingan) antara dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan. Berbeda dengan barisan aritmatika yang memiliki selisih (beda) tetap melalui penjumlahan, barisan geometri berkembang melalui perkalian.

Bilangan tetap tersebut dinamakan rasio, yang biasanya dilambangkan dengan huruf $r$. Jika rasio lebih besar dari 1 ($r > 1$), maka barisan tersebut akan semakin besar (tumbuh). Jika rasio berada di antara 0 dan 1 ($0 < r < 1$), maka barisan tersebut akan semakin kecil (meluruh).

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Untuk mencari nilai suku tertentu dalam barisan geometri, kita tidak perlu mengalikannya satu per satu secara manual. Kita dapat menggunakan rumus berikut:

$$U_n = a \cdot r^{(n-1)}$$

Keterangan:

• $U_n$: Suku ke-n
• $a$: Suku pertama ($U_1$)
• $r$: Rasio (perbandingan antara $U_n / U_{n-1}$)
• $n$: Urutan suku yang dicari

Apa Itu Deret Geometri?

Jika barisan geometri adalah urutan bilangannya, maka deret geometri adalah jumlah dari suku-suku tersebut. Misalnya, jika ada barisan 2, 4, 8, 16, maka deret geometrinya adalah $2 + 4 + 8 + 16$.

Rumus Jumlah n Suku Pertama ($S_n$)

Terdapat dua versi rumus untuk mencari jumlah $n$ suku pertama, tergantung pada nilai rasionya:

1. Jika rasio $r > 1$:

$$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$$

2. Jika rasio $r < 1$:

$$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$

Keterangan:

• $S_n$: Jumlah $n$ suku pertama
• $a$: Suku pertama
• $r$: Rasio
• $n$: Banyaknya suku

Deret Geometri Tak Hingga

Ada kondisi khusus di mana sebuah deret geometri memiliki suku yang jumlahnya tidak terbatas. Ini terjadi jika rasio berada di rentang $-1 < r < 1$ (deret konvergen). Rumusnya sangat sederhana:

$$S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}$$

Contoh Soal Barisan Geometri dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa variasi soal barisan geometri untuk menguji pemahaman Anda.

Soal 1: Mencari Suku ke-n

Diketahui sebuah barisan geometri: 3, 6, 12, 24, … Berapakah suku ke-8 dari barisan tersebut?

Pembahasan:

1. Identifikasi suku pertama ($a$) dan rasio ($r$).$a = 3$$r = 6 / 3 = 2$
2. Gunakan rumus $U_n = a \cdot r^{(n-1)}$.$U_8 = 3 \cdot 2^{(8-1)}$$U_8 = 3 \cdot 2^7$$U_8 = 3 \cdot 128$$U_8 = 384$Jadi, suku ke-8 adalah 384.

Soal 2: Mencari Rasio yang Tidak Diketahui

Suku pertama suatu barisan geometri adalah 5, sedangkan suku ke-3 adalah 45. Berapakah rasio positif dari barisan tersebut?

Pembahasan:

1. Diketahui $a = 5$ dan $U_3 = 45$.
2. Masukkan ke rumus: $U_3 = a \cdot r^{(3-1)}$$45 = 5 \cdot r^2$$r^2 = 45 / 5$$r^2 = 9$$r = \sqrt{9} = 3$Jadi, rasio barisan tersebut adalah 3.

Contoh Soal Deret Geometri dan Pembahasan

Soal 3: Jumlah n Suku Pertama

Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri: $2 + 6 + 18 + …$

Pembahasan:

1. Identifikasi $a$ dan $r$.$a = 2$$r = 6 / 2 = 3$ (karena $r > 1$, gunakan rumus pertama)
2. Masukkan ke rumus $S_n$:$S_6 = \frac{2(3^6 – 1)}{3 – 1}$$S_6 = \frac{2(729 – 1)}{2}$$S_6 = 728$Jadi, jumlah 6 suku pertama adalah 728.

Soal 4: Soal Cerita (Pertumbuhan Bakteri)

Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap 20 menit. Jika awalnya terdapat 10 bakteri, berapakah jumlah bakteri setelah 2 jam?

Pembahasan:

1. Durasi total = 2 jam = 120 menit.
2. Banyak pembelahan ($n$) = $120 / 20 = 6$ kali.Namun, karena kita menghitung dari kondisi awal (suku pertama), maka total suku yang dihitung adalah $n = 7$ (awal, setelah 20 menit, 40 menit, …, 120 menit).
3. $a = 10$, $r = 2$.
4. $U_7 = 10 \cdot 2^{(7-1)}$$U_7 = 10 \cdot 2^6$$U_7 = 10 \cdot 64 = 640$Jadi, jumlah bakteri setelah 2 jam adalah 640.

Tips Menguasai Barisan dan Deret Geometri

1. Pahami Rasio: Selalu pastikan Anda membagi $U_2$ dengan $U_1$ (atau suku sesudahnya dengan sebelumnya) secara teliti. Kesalahan tanda negatif sering terjadi di sini.
2. Hafalkan Eksponen Dasar: Memahami nilai perpangkatan seperti $2^2$ hingga $2^{10}$ atau $3^2$ hingga $3^5$ akan sangat mempercepat proses pengerjaan soal.
3. Analisis Soal Cerita: Dalam soal cerita, tentukan apakah yang ditanyakan adalah nilai pada waktu tertentu ($U_n$) atau total akumulasi ($S_n$).
4. Cek Kondisi Rasio: Sebelum menggunakan rumus deret ($S_n$), cek apakah $r > 1$ atau $r < 1$ agar perhitungan lebih mudah dan menghindari angka negatif yang membingungkan.

baca juga: Mahasiswa Universitas Teknokrat Indonesia Kampus Terbaik di Lampung Tingkatkan Kompetensi Siswa SMK Negeri 5 Bandar Lampung melalui Program Pengabdian Masyarakat

Kesimpulan

Barisan dan deret geometri adalah konsep matematika yang sangat aplikatif. Dengan memahami rumus dasar $U_n$ dan $S_n$, serta sering berlatih variasi soal, Anda akan mampu memecahkan berbagai persoalan pertumbuhan dan peluruhan dengan mudah.

penu;is: ridho