Memasuki jenjang sekolah menengah atas, matematika sering kali menghadirkan tantangan melalui materi fungsi dan grafik. Salah satu topik yang menjadi “langganan” dalam ujian nasional maupun seleksi masuk perguruan tinggi adalah menentukan titik potong antara dua grafik yang berbeda jenis, yaitu parabola (fungsi kuadrat) dan garis lurus (fungsi linear).

Baca juga:Mengapa Persiapan TPU Bank Sumut Sangat Penting

Kemampuan menyelesaikan persoalan ini tidak hanya menguji pemahaman aljabar, tetapi juga ketelitian dalam melakukan substitusi dan analisis diskriminan. Artikel ini akan menjadi panduan lengkap sekaligus bank soal bagi Anda yang sedang mempersiapkan diri menghadapi ujian, lengkap dengan rumus cepat dan pembahasan mendalam.

Memahami Konsep Interaksi Parabola dan Garis Lurus

Secara matematis, sebuah parabola memiliki persamaan umum $y = ax^2 + bx + c$, sedangkan garis lurus memiliki persamaan $y = mx + n$. Ketika kita mencari titik potong, kita sebenarnya sedang mencari koordinat $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan.

Berdasarkan interaksinya, ada tiga kemungkinan kedudukan garis lurus terhadap parabola:

1. Memotong di dua titik: Terjadi jika diskriminan ($D$) dari persamaan gabungan bernilai lebih besar dari nol ($D > 0$).
2. Menyinggung di satu titik: Terjadi jika diskriminan bernilai sama dengan nol ($D = 0$).
3. Tidak memotong maupun menyinggung: Terjadi jika diskriminan bernilai kurang dari nol ($D < 0$).

Langkah-Langkah Menentukan Titik Potong

Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bank soal di bawah ini, gunakanlah metode substitusi yang sistematis:

1. Substitusi Persamaan: Samakan kedua nilai $y$. Jadi, $ax^2 + bx + c = mx + n$.
2. Pindahkan Ruas: Susun ulang persamaan hingga menjadi bentuk kuadrat sempurna $Ax^2 + Bx + C = 0$.
3. Cari Nilai x: Selesaikan persamaan kuadrat tersebut menggunakan metode faktorisasi atau rumus ABC.
4. Cari Nilai y: Substitusikan nilai $x$ yang didapat ke dalam persamaan garis lurus (biasanya lebih mudah daripada ke parabola) untuk mendapatkan koordinat $y$.

Bank Soal Pilihan Ganda dan Pembahasan

Berikut adalah kumpulan soal yang telah dikurasi untuk melatih logika dan kecepatan Anda.

Soal 1: Interaksi Dasar

Tentukan titik potong antara parabola $y = x^2 – 4x + 3$ dengan garis lurus $y = x – 1$.

A. (1, 0) dan (4, 3)

B. (1, 2) dan (3, 4)

C. (0, 1) dan (3, 4)

D. (2, 1) dan (4, 3)

Pembahasan:

Samakan kedua persamaan:

$x^2 – 4x + 3 = x – 1$

$x^2 – 5x + 4 = 0$

$(x – 1)(x – 4) = 0$

Maka $x_1 = 1$ dan $x_2 = 4$.

Substitusi ke persamaan garis ($y = x – 1$):

Untuk $x = 1 \rightarrow y = 1 – 1 = 0$. Titik: (1, 0).

Untuk $x = 4 \rightarrow y = 4 – 1 = 3$. Titik: (4, 3).

Jawaban: A

Soal 2: Garis Menyinggung Parabola

Garis $y = 2x + k$ menyinggung parabola $y = x^2 + 4$. Berapakah nilai $k$?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Pembahasan:

Samakan persamaan: $x^2 + 4 = 2x + k \rightarrow x^2 – 2x + (4 – k) = 0$.

Syarat menyinggung adalah $D = 0$.

$b^2 – 4ac = 0$

$(-2)^2 – 4(1)(4 – k) = 0$

$4 – 16 + 4k = 0$

$4k = 12 \rightarrow k = 3$.

Jawaban: C

Soal 3: Parabola dan Garis Horizontal

Tentukan titik potong parabola $y = x^2 – 6x + 9$ dengan garis lurus $y = 4$.

A. (1, 4) dan (5, 4)

B. (2, 4) dan (6, 4)

C. (0, 4) dan (4, 4)

D. (1, 4) dan (4, 4)

Pembahasan:

$x^2 – 6x + 9 = 4$

$x^2 – 6x + 5 = 0$

$(x – 1)(x – 5) = 0$

Maka $x = 1$ atau $x = 5$.

Karena garisnya $y = 4$, maka koordinatnya adalah (1, 4) dan (5, 4).

Jawaban: A

Soal 4: Analisis Kedudukan Garis

Manakah pernyataan yang benar mengenai garis $y = x – 5$ dan parabola $y = x^2 – 3x + 2$?

A. Garis memotong parabola di dua titik.

B. Garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

C. Garis menyinggung parabola di satu titik.

D. Garis melewati titik puncak parabola.

Pembahasan:

Gabungkan persamaan: $x^2 – 3x + 2 = x – 5 \rightarrow x^2 – 4x + 7 = 0$.

Cek Diskriminan ($D$):

$D = (-4)^2 – 4(1)(7)$

$D = 16 – 28 = -12$.

Karena $D < 0$, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Jawaban: B

Soal 5: Titik Potong dengan Garis Melalui Titik Asal

Parabola $y = -x^2 + 4x$ berpotongan dengan garis $y = x$ di titik…

A. (0, 0) dan (3, 3)

B. (0, 0) dan (4, 4)

C. (1, 1) dan (3, 3)

D. (2, 2) dan (4, 4)

Pembahasan:

$-x^2 + 4x = x$

$0 = x^2 – 3x$

$0 = x(x – 3)$

$x = 0$ atau $x = 3$.

Substitusi ke $y = x$:

Jika $x = 0 \rightarrow y = 0$.

Jika $x = 3 \rightarrow y = 3$.

Jawaban: A

Strategi Cepat Menghadapi Ujian

Agar Anda dapat menyelesaikan soal-soal di atas dalam waktu kurang dari 2 menit per soal, perhatikan tips berikut:

1. Sketsa Arah Buka Parabola: Jika $a$ positif, parabola terbuka ke atas. Jika negatif, terbuka ke bawah. Ini membantu memvalidasi apakah jawaban Anda masuk akal.
2. Gunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar: Jika Anda hanya ditanya jumlah absis ($x_1 + x_2$) dari titik potong, Anda cukup menggunakan rumus $-B/A$ dari persamaan kuadrat gabungan tanpa perlu mencari titiknya satu per satu.
3. Perhatikan Konstanta: Sering kali titik potong sumbu Y ($x=0$) dari kedua grafik bisa memberikan petunjuk cepat jika garis tersebut memotong di area sumbu vertikal.

Baca juga:Universitas Teknokrat Indonesia Pamerkan Cookies Premium Bonava Karya Mahasiswa FEB di Teknokrat Academic Expo 2026

Kesimpulan

Materi titik potong parabola dan garis lurus merupakan perpaduan antara kemampuan manipulasi aljabar dan pemahaman geometri analitis. Dengan menguasai konsep diskriminan, Anda tidak hanya bisa mencari koordinat titik, tetapi juga bisa menganalisis hubungan kedua grafik tanpa harus menggambarnya terlebih dahulu. Bank soal di atas mencakup variasi dasar hingga analisis yang sering muncul di ujian, sehingga sangat baik untuk dijadikan bahan latihan rutin.

Penulis: marfel