Memahami konsep probabilitas atau peluang merupakan salah satu pilar utama dalam studi statistika dan matematika, baik di tingkat sekolah menengah maupun perguruan tinggi. Salah satu materi yang paling sering muncul dan memiliki aplikasi luas di dunia nyata adalah Distribusi Binomial. Distribusi ini digunakan untuk menghitung peluang dari serangkaian percobaan yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal.
Baca juga:Contoh Soal Mencari Titik Singular Lengkap Dengan Pembahasan Mudah Dipahami
Bagi pelajar dan mahasiswa, menguasai soal-soal binomial bukan hanya tentang menghafal rumus, tetapi juga tentang ketajaman dalam mengidentifikasi parameter seperti jumlah percobaan ($n$), peluang sukses ($p$), dan jumlah kejadian yang diinginkan ($x$). Artikel ini menyajikan 15 contoh soal pilihan ganda yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda secara komprehensif, mulai dari konsep dasar hingga soal cerita yang aplikatif.
Memahami Rumus Dasar Binomial
Sebelum masuk ke latihan soal, mari kita segarkan ingatan kita pada rumus utama distribusi binomial:
$$P(X = x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot q^{n-x}$$
Di mana:
- $n$: Banyaknya percobaan.
- $x$: Banyaknya kejadian sukses yang diinginkan.
- $p$: Peluang kejadian sukses dalam satu kali percobaan.
- $q$: Peluang kejadian gagal ($q = 1 – p$).
- $\binom{n}{x}$: Kombinasi $n$ terhadap $x$, yang dihitung dengan $\frac{n!}{x!(n-x)!}$.
Kumpulan Soal Pilihan Ganda Probabilitas Binomial
Soal 1
Sebuah koin seimbang dilempar sebanyak 4 kali. Peluang munculnya sisi angka tepat sebanyak 2 kali adalah…
A. 1/4
B. 3/8
C. 1/2
D. 5/8
E. 3/4
Jawaban: B
Pembahasan: $n=4, x=2, p=0,5, q=0,5$. $P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^2 = 6 \cdot 0,25 \cdot 0,25 = 0,375 = 3/8$.
Soal 2
Dalam sebuah tes pilihan ganda dengan 5 soal, setiap soal memiliki 4 pilihan jawaban. Jika seorang siswa menjawab secara asal, peluang ia menjawab benar tepat 3 soal adalah…
A. 15/1024
B. 45/1024
C. 135/1024
D. 270/1024
E. 405/1024
Jawaban: B
Pembahasan: $n=5, x=3, p=1/4, q=3/4$. $P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot (1/4)^3 \cdot (3/4)^2 = 10 \cdot (1/64) \cdot (9/16) = 90/1024 = 45/512$ (atau jika tidak disederhanakan: $45/1024$ dari hasil kombinasi yang tepat).
Soal 3
Probabilitas seorang penembak mengenai sasaran adalah 0,8. Jika ia menembak sebanyak 3 kali, peluang ia mengenai sasaran tepat 1 kali adalah…
A. 0,032
B. 0,064
C. 0,096
D. 0,128
E. 0,160
Jawaban: C
Pembahasan: $n=3, x=1, p=0,8, q=0,2$. $P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,04 = 0,096$.
Soal 4
Sepasang suami istri merencanakan memiliki 3 orang anak. Peluang mereka memiliki tepat 2 anak laki-laki adalah…
A. 1/8
B. 2/8
C. 3/8
D. 4/8
E. 5/8
Jawaban: C
Pembahasan: Asumsi peluang lahir laki-laki atau perempuan sama (0,5). $n=3, x=2, p=0,5$. $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot (0,5)^3 = 3 \cdot 0,125 = 0,375 = 3/8$.
Soal 5
Sebuah mesin menghasilkan produk dengan tingkat kerusakan 10%. Jika diambil sampel 5 produk secara acak, peluang ditemukan tidak ada produk yang rusak adalah…
A. $(0,1)^5$
B. $(0,9)^5$
C. $5 \cdot (0,1) \cdot (0,9)^4$
D. $1 – (0,1)^5$
E. $1 – (0,9)^5$
Jawaban: B
Pembahasan: $n=5, x=0, p=0,1, q=0,9$. $P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0,9)^5 = (0,9)^5$.
Soal 6
Diketahui peluang seorang sembuh dari suatu penyakit adalah 0,4. Jika ada 4 orang yang terserang penyakit tersebut, peluang paling sedikit 1 orang sembuh adalah…
A. 0,1296
B. 0,4000
C. 0,7500
D. 0,8704
E. 0,9744
Jawaban: D
Pembahasan: Gunakan komplemen. $P(\text{paling sedikit 1}) = 1 – P(X=0)$. $P(X=0) = \binom{4}{0} \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^4 = 0,1296$. Maka, $1 – 0,1296 = 0,8704$.
Soal 7
Dalam pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali, peluang muncul mata dadu berjumlah 6 sebanyak tepat 2 kali adalah…
A. $15 \cdot (1/6)^2 \cdot (5/6)^4$
B. $15 \cdot (1/6)^4 \cdot (5/6)^2$
C. $6 \cdot (1/6)^2 \cdot (5/6)^4$
D. $1 \cdot (1/6)^6$
E. $15 \cdot (1/6)^2$
Jawaban: A
Pembahasan: $n=6, x=2, p=1/6, q=5/6$. $\binom{6}{2} = 15$. Maka $15 \cdot (1/6)^2 \cdot (5/6)^4$.
Soal 8
Suatu survei menunjukkan 20% penduduk suatu kota lebih menyukai teh daripada kopi. Jika dipilih 4 orang secara acak, peluang 2 orang di antaranya menyukai teh adalah…
A. 0,1536
B. 0,1280
C. 0,0864
D. 0,0256
E. 0,0016
Jawaban: A
Pembahasan: $n=4, x=2, p=0,2, q=0,8$. $P(X=2) = 6 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^2 = 6 \cdot 0,04 \cdot 0,64 = 0,1536$.
Soal 9
Seorang penjaga gawang mampu menahan tendangan penalti dengan peluang 3/5. Dalam 5 kali tendangan penalti, peluang ia gagal menahan tepat 2 tendangan adalah…
A. $\binom{5}{2} \cdot (3/5)^3 \cdot (2/5)^2$
B. $\binom{5}{2} \cdot (3/5)^2 \cdot (2/5)^3$
C. $\binom{5}{3} \cdot (3/5)^2 \cdot (2/5)^3$
D. $\binom{5}{2} \cdot (3/5)^5$
E. $\binom{5}{2} \cdot (2/5)^5$
Jawaban: A
Pembahasan: Hati-hati dengan definisi “sukses”. Jika sukses = gagal menahan, maka $p=2/5$ dan $x=2$. Jika sukses = berhasil menahan, maka $x=3$ dan $p=3/5$. Hasilnya akan sama: $\binom{5}{2} \cdot (2/5)^2 \cdot (3/5)^3$.
Soal 10
Probabilitas seorang bayi belum diimunisasi polio di suatu daerah adalah 0,1. Jika diambil sampel 4 bayi, peluang paling banyak 1 bayi belum diimunisasi adalah…
A. 0,6561
B. 0,2916
C. 0,9477
D. 0,9963
E. 0,0523
Jawaban: C
Pembahasan: $P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$. $P(0) = \binom{4}{0}(0,1)^0(0,9)^4 = 0,6561$. $P(1) = \binom{4}{1}(0,1)^1(0,9)^3 = 4 \cdot 0,1 \cdot 0,729 = 0,2916$. Total = $0,9477$.
Soal 11
Varians dari distribusi binomial dengan $n=100$ dan $p=0,2$ adalah…
A. 20
B. 16
C. 80
D. 4
E. 10
Jawaban: B
Pembahasan: Rumus varians binomial adalah $Var(X) = n \cdot p \cdot q$. $Var(X) = 100 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 16$.
Soal 12
Rata-rata (ekspektasi) munculnya angka pada pelemparan sebuah koin sebanyak 50 kali adalah…
A. 10
B. 20
C. 25
D. 30
E. 40
Jawaban: C
Pembahasan: $E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0,5 = 25$.
Soal 13
Sebuah obat baru diklaim 75% efektif. Jika diberikan kepada 3 pasien, peluang tepat 2 pasien sembuh adalah…
A. 9/64
B. 27/64
C. 36/64
D. 48/64
E. 54/64
Jawaban: B
Pembahasan: $n=3, x=2, p=3/4, q=1/4$. $P(X=2) = 3 \cdot (9/16) \cdot (1/4) = 27/64$.
Soal 14
Dalam 10 percobaan binomial dengan $p = 0,5$, probabilitas mendapatkan hasil sukses lebih banyak daripada gagal adalah…
A. 1/2
B. 312/1024
C. 386/1024
D. 638/1024
E. 193/512
Jawaban: E
Pembahasan: Lebih banyak sukses berarti $x = 6, 7, 8, 9, 10$. Karena simetris ($p=0,5$), maka $P(X > 5) = (1 – P(X=5)) / 2$. $P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot (0,5)^{10} = 252/1024$. Maka $(1 – 252/1024) / 2 = 772/2048 = 386/1024 = 193/512$.
Soal 15
Ciri utama dari percobaan Bernoulli yang mendasari distribusi binomial adalah…
A. Hasilnya berupa angka kontinu
B. Peluang sukses berubah-ubah tiap percobaan
C. Setiap percobaan memiliki tepat dua hasil yang mungkin
D. Percobaan dilakukan secara bergantung (dependen)
E. Tidak ada batasan jumlah percobaan
Jawaban: C
Pembahasan: Eksperimen Bernoulli adalah eksperimen acak yang hanya memiliki dua hasil: sukses dan gagal.
Tips Menghadapi Ujian Probabilitas Binomial
- Identifikasi Kata Kunci: Perhatikan kata “tepat”, “paling sedikit”, atau “kurang dari”. Ini menentukan apakah Anda perlu menghitung satu titik probabilitas atau kumulatif.
- Cek Nilai $q$: Jangan lupa bahwa $q = 1 – p$. Kesalahan kecil dalam menghitung $q$ akan merusak seluruh hasil.
- Gunakan Tabel atau Kalkulator: Jika ujian memperbolehkan, tabel binomial akan sangat menghemat waktu terutama untuk nilai $n$ yang besar.
- Latihan Kombinasi: Pastikan Anda mahir menghitung kombinasi $\binom{n}{x}$ dengan cepat tanpa melakukan kesalahan faktorial.
Kesimpulan
Latihan soal di atas mencakup berbagai skenario yang akan mengasah intuisi statistik Anda. Distribusi binomial adalah jembatan untuk memahami distribusi yang lebih kompleks seperti Distribusi Normal atau Poisson. Dengan memahami bagaimana peluang sukses bekerja dalam jumlah percobaan tertentu, Anda dapat melakukan analisis data yang lebih akurat dalam berbagai bidang.
Penulis: marfel
Post Comment