Transformasi geometri merupakan salah satu materi penting dalam kurikulum matematika tingkat menengah. Salah satu jenis transformasi yang sering dipelajari selain translasi, rotasi, dan refleksi adalah dilatasi. Memahami dilatasi tidak hanya membantu dalam menjawab soal ujian, tetapi juga berguna dalam penerapan teknologi digital seperti pengubahan ukuran gambar (scaling) tanpa mengubah bentuk aslinya.
Artikel ini akan membahas secara tuntas mengenai pengertian dilatasi, rumus-rumus yang digunakan berdasarkan pusat transformasinya, serta kumpulan contoh soal dilatasi yang dapat menjadi referensi belajar.
Baca juga: Memahami Karakteristik Soal Ujian Mandiri Ekonomi
Apa Itu Dilatasi
Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek (memperbesar atau memperkecil) namun tetap mempertahankan bentuk dasar objek tersebut. Perubahan ukuran ini sangat bergantung pada dua faktor utama, yaitu pusat dilatasi dan faktor skala (faktor pengali).
Dalam kehidupan sehari-hari, prinsip dilatasi dapat kita lihat pada cara kerja proyektor film, penggunaan mikroskop, hingga fitur zoom pada kamera ponsel. Objek yang dihasilkan dari proses dilatasi disebut sebagai bayangan.
Komponen Utama Dilatasi
Untuk menyelesaikan soal-soal dilatasi, Anda harus memahami dua komponen berikut:
- Pusat DilatasiPusat dilatasi adalah titik acuan yang digunakan untuk melakukan perubahan ukuran. Pusat ini bisa berada di titik asal (0,0) atau di titik tertentu (a,b).
- Faktor Skala (k)Faktor skala adalah nilai yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran yang terjadi.
- Jika k > 1, maka objek akan diperbesar dan searah dengan pusat dilatasi.
- Jika 0 < k < 1, maka objek akan diperkecil dan searah dengan pusat dilatasi.
- Jika -1 < k < 0, maka objek akan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dilatasi.
- Jika k < -1, maka objek akan diperbesar dan berlawanan arah dengan pusat dilatasi.
Rumus Umum Dilatasi
Secara matematis, rumus dilatasi dibagi menjadi dua kategori utama berdasarkan titik pusatnya.
1. Dilatasi dengan Pusat O(0,0)
Jika sebuah titik P(x, y) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k, maka koordinat bayangannya P'(x’, y’) dapat dihitung dengan rumus:
$$x’ = k \cdot x$$
$$y’ = k \cdot y$$
Atau dalam bentuk notasi: [O, k] : P(x, y) → P'(kx, ky).
2. Dilatasi dengan Pusat A(a,b)
Jika pusat dilatasi bukan di titik nol, melainkan di titik A(a,b), maka rumus yang digunakan sedikit berbeda karena kita harus menghitung selisih jarak terhadap titik pusat terlebih dahulu:
$$x’ = a + k(x – a)$$
$$y’ = b + k(y – b)$$
Kumpulan Contoh Soal Dilatasi
Berikut adalah variasi contoh soal dilatasi dari tingkat dasar hingga menengah yang disusun untuk membantu Anda berlatih.
Contoh Soal 1: Dilatasi Titik terhadap Pusat (0,0)
Tentukan bayangan titik A(3, -5) jika didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 3.
Pembahasan:
Diketahui x = 3, y = -5, dan k = 3.
x’ = k . x = 3 . 3 = 9
y’ = k . y = 3 . (-5) = -15
Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(9, -15).
Contoh Soal 2: Dilatasi Titik terhadap Pusat (a,b)
Titik B(4, 2) didilatasi terhadap titik pusat P(1, 1) dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik B.
Pembahasan:
Diketahui x = 4, y = 2, a = 1, b = 1, dan k = 2.
x’ = a + k(x – a) = 1 + 2(4 – 1) = 1 + 2(3) = 1 + 6 = 7
y’ = b + k(y – b) = 1 + 2(2 – 1) = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3
Jadi, koordinat bayangan titik B adalah B'(7, 3).
Contoh Soal 3: Menentukan Faktor Skala
Bayangan titik C(2, -4) oleh dilatasi [O, k] adalah C'(-4, 8). Tentukan nilai faktor skala k tersebut.
Pembahasan:
Menggunakan rumus x’ = k . x
-4 = k . 2
k = -4 / 2
k = -2
Nilai k juga bisa dicek melalui koordinat y:
8 = k . (-4)
k = 8 / -4 = -2
Jadi, faktor skala k adalah -2.
Contoh Soal 4: Dilatasi Garis
Tentukan persamaan bayangan garis $2x – 3y + 6 = 0$ oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2.
Pembahasan:
Berdasarkan rumus dilatasi pusat O(0,0) dengan k = 2:
$x’ = 2x$ maka $x = \frac{1}{2}x’$
$y’ = 2y$ maka $y = \frac{1}{2}y’$
Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis asal:
$2(\frac{1}{2}x’) – 3(\frac{1}{2}y’) + 6 = 0$
$x’ – \frac{3}{2}y’ + 6 = 0$ (kalikan kedua ruas dengan 2)
$2x’ – 3y’ + 12 = 0$
Jadi, bayangan garisnya adalah $2x – 3y + 12 = 0$.
Contoh Soal 5: Luas Bangun Hasil Dilatasi
Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat A(1, 2), B(4, 2), dan C(1, 5). Segitiga tersebut didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2. Hitunglah luas segitiga bayangannya.
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung luas segitiga awal.
Alas (AB) = 4 – 1 = 3 satuan.
Tinggi (AC) = 5 – 2 = 3 satuan.
Luas awal = 1/2 . alas . tinggi = 1/2 . 3 . 3 = 4,5 satuan luas.
Langkah 2: Menggunakan sifat luas dilatasi.
Luas Bayangan = $k^2 \cdot \text{Luas Awal}$
Luas Bayangan = $2^2 \cdot 4,5$
Luas Bayangan = $4 \cdot 4,5 = 18$ satuan luas.
Tips Mengerjakan Soal Dilatasi
Agar lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal dilatasi, perhatikan beberapa poin berikut:
Selalu identifikasi titik pusatnya terlebih dahulu. Jika pusatnya adalah (0,0), Anda bisa langsung mengalikan koordinat dengan k. Jika pusatnya (a,b), gunakan rumus selisih. Perhatikan tanda positif atau negatif pada faktor skala k. Tanda negatif berarti bayangan akan terbalik atau berlawanan arah dari posisi asli terhadap titik pusat. Untuk soal bangun datar, ingatlah bahwa panjang sisi berubah linear (dikali k), sedangkan luas berubah secara kuadrat (dikali $k^2$).
Baca juga: Rektor Universitas Teknokrat Indonesia Salurkan Donasi untuk Korban Bencana Sumatera melalui ICMI
Kesimpulan
Dilatasi merupakan materi transformasi yang sangat logis dan sistematis. Dengan memahami penggunaan faktor skala dan perbedaan titik pusat, Anda akan dengan mudah menyelesaikan berbagai variasi soal baik dalam bentuk titik, garis, maupun bidang datar. Sering berlatih dengan contoh soal di atas akan memperkuat intuisi Anda dalam memvisualisasikan perubahan ukuran objek pada bidang kartesius.
Demikian pembahasan mengenai contoh soal dilatasi. Materi ini sangat penting sebagai dasar bagi Anda yang ingin mendalami desain grafis, arsitektur, maupun teknik yang banyak melibatkan konsep skala dan transformasi.
Penulis: Aripin
Post Comment