Memahami Polinomial Legendre Lewat Contoh Soal Lengkap

Polinomial Legendre adalah fungsi polinomial ortogonal yang banyak digunakan dalam matematika terapan, fisika, dan rekayasa. Polinomial ini muncul dalam pemecahan persamaan diferensial, teori potensial, dan mekanika kuantum, khususnya pada masalah yang memiliki simetri bola.

Mempelajari polinomial Legendre membantu siswa memahami konsep ortogonalitas, integrasi, dan ekspansi fungsi dalam bentuk deret polinomial. Latihan soal polinomial Legendre penting untuk mengasah kemampuan menghitung koefisien, turunan, dan penggunaan sifat ortogonalitas dalam aplikasi praktis.

Artikel ini menyajikan contoh soal polinomial Legendre lengkap beserta pembahasan sehingga pembaca dapat memahami konsep dan penerapan polinomial Legendre secara menyeluruh.

Baca juga:contoh soal pragmatik pilihan ganda tanpa garis hubung atau simbol pemisah

🔖 Baca juga:

Tips Lulus Tes Psikotes Inalum: Contoh Soal dan Jawaban Praktis

Definisi Polinomial Legendre

Polinomial Legendre, dilambangkan $P_n(x)$Pn​(x), adalah polinomial derajat $n$n yang memenuhi persamaan diferensial Legendre:$$(1 – x^2) \frac{d^2y}{dx^2} – 2x \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0$$(1−x2)dx2d2y​−2xdxdy​+n(n+1)y=0

Polinomial Legendre memiliki sifat ortogonal pada interval $[-1, 1]$[−1,1] dengan bobot 1, yaitu:$$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = 0 \quad \text{jika } m \neq n$$∫−11​Pm​(x)Pn​(x)dx=0jika m=n

Sifat ortogonal ini sangat berguna dalam ekspansi fungsi menjadi deret Legendre.

Polinomial Legendre Rendah

Beberapa polinomial Legendre pertama adalah:$$P_0(x) = 1$$P0​(x)=1 $$P_1(x) = x$$P1​(x)=x $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$P2​(x)=21​(3×2−1) $$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$P3​(x)=21​(5×3−3x) $$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 – 30x^2 + 3)$$P4​(x)=81​(35×4−30×2+3)

Polinomial ini dapat digunakan untuk ekspansi fungsi atau dalam pemecahan masalah fisika dan teknik.

Contoh Soal Polinomial Legendre 1

Soal
Tentukan $P_2(x)$P2​(x) dan verifikasi ortogonalitasnya dengan $P_0(x)$P0​(x) menggunakan integral dari -1 hingga 1.

Pembahasan$$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$P2​(x)=21​(3×2−1)

Verifikasi ortogonalitas:$$\int_{-1}^{1} P_0(x) P_2(x) dx = \int_{-1}^{1} 1 \cdot \frac{1}{2}(3x^2 – 1) dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{-1}^{1} 3x^2 dx – \int_{-1}^{1} 1 dx \right]$$∫−11​P0​(x)P2​(x)dx=∫−11​1⋅21​(3×2−1)dx=21​[∫−11​3x2dx−∫−11​1dx] $$\frac{1}{2} \left[ 3 \cdot \frac{2}{3} – 2 \right] = \frac{1}{2} (2 – 2) = 0$$21​[3⋅32​−2]=21​(2−2)=0

Hasil 0 menunjukkan ortogonalitas.

Contoh Soal Polinomial Legendre 2

Soal
Hitung $P_3(0.5)$P3​(0.5).

Pembahasan$$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$P3​(x)=21​(5×3−3x) $$P_3(0.5) = \frac{1}{2}[5(0.5)^3 – 3(0.5)] = \frac{1}{2}[5(0.125) – 1.5] = \frac{1}{2}[0.625 – 1.5] = \frac{1}{2}(-0.875) = -0.4375$$P3​(0.5)=21​[5(0.5)3−3(0.5)]=21​[5(0.125)−1.5]=21​[0.625−1.5]=21​(−0.875)=−0.4375

Contoh Soal Polinomial Legendre 3

Soal
Tentukan turunan pertama $P_2′(x)$P2′​(x) dan evaluasi pada $x = 1$x=1.

Pembahasan$$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1) \implies P_2′(x) = \frac{1}{2}(6x) = 3x$$P2​(x)=21​(3×2−1)⟹P2′​(x)=21​(6x)=3x $$P_2′(1) = 3 \cdot 1 = 3$$P2′​(1)=3⋅1=3

Contoh Soal Polinomial Legendre 4

Soal
Verifikasi relasi rekurensi:$$(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1)x P_n(x) – n P_{n-1}(x)$$(n+1)Pn+1​(x)=(2n+1)xPn​(x)−nPn−1​(x)

untuk $n = 2$n=2.

Pembahasan$$3 P_3(x) = 5x P_2(x) – 2 P_1(x)$$3P3​(x)=5xP2​(x)−2P1​(x) $$3 \cdot \frac{1}{2}(5x^3 – 3x) = 5x \cdot \frac{1}{2}(3x^2 – 1) – 2x$$3⋅21​(5×3−3x)=5x⋅21​(3×2−1)−2x $$\frac{3}{2}(5x^3 – 3x) = \frac{5x}{2}(3x^2 – 1) – 2x = \frac{15x^3 – 5x}{2} – 2x = \frac{15x^3 – 5x – 4x}{2} = \frac{15x^3 – 9x}{2}$$23​(5×3−3x)=25x​(3×2−1)−2x=215×3−5x​−2x=215×3−5x−4x​=215×3−9x​

Sisi kiri: $\frac{3}{2}(5x^3 – 3x) = \frac{15x^3 – 9x}{2}$23​(5×3−3x)=215×3−9x​
Sisi kanan sama dengan sisi kiri, relasi terbukti.

Contoh Soal Polinomial Legendre 5

Soal
Hitung integral $\int_{-1}^{1} P_1(x)^2 dx$∫−11​P1​(x)2dx.

Pembahasan$$P_1(x) = x \implies \int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} – (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$$P1​(x)=x⟹∫−11​x2dx=[3×3​]−11​=31​−(−31​)=32​

Baca juga:Mahasiswa Universitas Teknokrat Indonesia Juara Nasional Lomba Karya Ilmiah RnDC 2025

Contoh Soal Polinomial Legendre 6

Soal
Ekspansi fungsi $f(x) = x^2$f(x)=x2 dalam deret Legendre hingga $n = 2$n=2.

Pembahasan$$f(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x)$$f(x)=a0​P0​(x)+a1​P1​(x)+a2​P2​(x)

Koefisien:$$a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx$$an​=22n+1​∫−11​f(x)Pn​(x)dx $$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 1 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$a0​=21​∫−11​x2⋅1dx=21​⋅32​=31​ $$a_1 = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot x dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^3 dx = 0$$a1​=23​∫−11​x2⋅xdx=23​∫−11​x3dx=0 $$a_2 = \frac{5}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2}(3x^2 – 1) dx = \frac{5}{4} \int_{-1}^{1} (3x^4 – x^2) dx = \frac{5}{4} ( \frac{6}{5} – \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$$a2​=25​∫−11​x2⋅21​(3×2−1)dx=45​∫−11​(3×4−x2)dx=45​(56​−32​)=32​

Jadi ekspansi:$$x^2 = \frac{1}{3} P_0(x) + 0 \cdot P_1(x) + \frac{2}{3} P_2(x)$$x2=31​P0​(x)+0⋅P1​(x)+32​P2​(x)

Manfaat Menguasai Polinomial Legendre

• Aplikasi Fisika dan Teknik
  Digunakan pada teori potensial, medan listrik, gravitasi, dan solusi persamaan Laplace.
• Analisis Deret
  Mempermudah representasi fungsi dalam bentuk deret polinomial ortogonal.
• Latihan Integrasi dan Turunan
  Polinomial Legendre melatih keterampilan integrasi dan turunan dengan fungsi kompleks.
• Meningkatkan Kemampuan Logika dan Analisis
  Memahami ortogonalitas dan relasi rekurensi meningkatkan kemampuan berpikir analitis.

Penutup

Polinomial Legendre merupakan alat penting dalam matematika terapan dan fisika. Dengan memahami contoh soal polinomial Legendre, siswa dapat menguasai konsep dasar, sifat ortogonal, relasi rekurensi, dan ekspansi fungsi. Latihan soal secara rutin membantu meningkatkan kemampuan analisis, integrasi, dan penerapan polinomial Legendre dalam masalah nyata. Menguasai polinomial Legendre mempersiapkan siswa menghadapi ujian, kompetisi, maupun aplikasi praktis dalam penelitian dan teknik.

Penulis:kiara salsabilla