Latihan Contoh Soal Tembereng Lingkaran untuk Siswa SMP dan SMA

Tembereng lingkaran adalah salah satu materi penting dalam geometri lingkaran yang sering muncul dalam pelajaran matematika tingkat SMP dan SMA. Pemahaman tentang tembereng sangat diperlukan karena konsep ini menjadi dasar untuk menghitung luas daerah tertentu yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur. Materi ini juga sering muncul pada soal ujian sekolah, ujian nasional, serta seleksi masuk perguruan tinggi.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Artikel ini menyajikan latihan contoh soal tembereng lingkaran untuk siswa SMP dan SMA beserta pembahasan lengkap dan sistematis. Semua contoh soal dibuat mulai dari tingkat mudah hingga menengah dan sulit agar siswa dapat memahami konsep tembereng secara menyeluruh dan mampu mengerjakan soal dengan percaya diri.

Pengertian Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang menghubungkan dua titik ujung busur tersebut. Dalam bentuk sederhana, tembereng bisa dianggap sebagai “irisan” lingkaran yang terletak di antara busur dan tali busur.

Elemen Penting Tembereng Lingkaran

1. Jari-jari lingkaran (r): jarak dari pusat lingkaran ke titik pada keliling.
2. Tali busur (c): garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
3. Sudut pusat (θ): sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menyinggung ujung-ujung busur.
4. Tinggi tembereng (h): jarak tegak lurus dari tali busur ke busur.

Rumus Luas Tembereng Lingkaran

Rumus umum untuk menghitung luas tembereng lingkaran adalah:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ)

Keterangan:

• $L$L = luas tembereng
• $r$r = jari-jari lingkaran
• $\theta$θ = sudut pusat dalam radian

Jika sudut pusat diberikan dalam derajat, konversi terlebih dahulu:$$\theta (\text{radian}) = \theta (\text{derajat}) \times \frac{\pi}{180}$$θ(radian)=θ(derajat)×180π​

Rumus lain yang sering digunakan jika diketahui tinggi tembereng $h$h dan jari-jari $r$r adalah:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Latihan Contoh Soal Tembereng Lingkaran

Soal 1 (Mudah)
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitung luas tembereng jika sudut pusat adalah 60°.

Pembahasan
Langkah 1: Konversi sudut ke radian$$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1,0472 \text{ rad}$$θ=60°×180π​=3π​≈1,0472 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 10^2 (1,0472 – \sin 1,0472)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×102(1,0472−sin1,0472)

$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = 50 \times (1,0472 – 0,866) = 50 \times 0,1812 \approx 9,06 \text{ cm²}$$L=50×(1,0472−0,866)=50×0,1812≈9,06 cm²

Soal 2 (Mudah-Menengah)
Sebuah lingkaran jari-jari 8 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 90°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\theta = 90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \approx 1,5708$θ=90°×180π​=2π​≈1,5708
$\sin 1,5708 \approx 1$sin1,5708≈1$$L = \frac{1}{2} 8^2 (1,5708 – 1) = 32 \times 0,5708 \approx 18,27 \text{ cm²}$$L=21​82(1,5708−1)=32×0,5708≈18,27 cm²

Soal 3 (Menengah)
Hitung luas tembereng lingkaran dengan jari-jari 12 cm dan tinggi tembereng 3 cm.

Pembahasan
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Substitusi: $r = 12, h = 3$r=12,h=3
$\frac{r-h}{r} = \frac{9}{12} = 0,75$rr−h​=129​=0,75
$\arccos 0,75 \approx 0,7227$arccos0,75≈0,7227 rad$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 144 \times 0,7227 \approx 103,91$$r2arccos(rr−h​)=144×0,7227≈103,91

$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 9 \sqrt{72 – 9} = 9 \times \sqrt{63} \approx 9 \times 7,94 = 71,46$(r−h)2rh−h2​=972−9​=9×63​≈9×7,94=71,46$$L = 103,91 – 71,46 \approx 32,45 \text{ cm²}$$L=103,91−71,46≈32,45 cm²

Soal 4 (Menengah-Sulit)
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 15 cm. Panjang busur tembereng 20 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Langkah 1: Tentukan sudut pusat
$\theta = s / r = 20 / 15 \approx 1,3333$θ=s/r=20/15≈1,3333 rad
Langkah 2: Gunakan rumus:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 225 \times (1,3333 – \sin 1,3333)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×225×(1,3333−sin1,3333)

$\sin 1,3333 \approx 0,972$sin1,3333≈0,972$$L = 112,5 \times (1,3333 – 0,972) = 112,5 \times 0,3613 \approx 40,64 \text{ cm²}$$L=112,5×(1,3333−0,972)=112,5×0,3613≈40,64 cm²

Soal 5 (Sulit)
Tentukan tinggi tembereng jika luas tembereng 50 cm² dan jari-jari lingkaran 10 cm.

Pembahasan
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 50$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​=50

Substitusi $r = 10$r=10:$$100 \arccos\left(\frac{10-h}{10}\right) – (10-h)\sqrt{20h – h^2} = 50$$100arccos(1010−h​)−(10−h)20h−h2​=50

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik. Dicoba $h = 4,5$h=4,5 → luas mendekati 50 cm².

Soal 6 (Variasi SMP)
Sebuah lingkaran jari-jari 7 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 60°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Konversi sudut ke radian:
$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \pi/3 \approx 1,0472$θ=60°×180π​=π/3≈1,0472
$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = \frac{1}{2} 49 (1,0472 – 0,866) = 24,5 \times 0,1812 \approx 4,44 \text{ cm²}$$L=21​49(1,0472−0,866)=24,5×0,1812≈4,44 cm²

Soal 7 (Variasi SMA)
Sebuah lingkaran jari-jari 18 cm memiliki tembereng dengan tinggi 5 cm. Hitung luas tembereng.

Penyelesaian$$r=18, h=5$$r=18,h=5

$\frac{r-h}{r} = 13/18 \approx 0,7222$rr−h​=13/18≈0,7222
$\arccos 0,7222 \approx 0,764$arccos0,7222≈0,764 rad$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 324 \times 0,764 \approx 247,2$$r2arccos(rr−h​)=324×0,764≈247,2

((r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 13 \sqrt{180 – 25} = 13 \sqrt{155} \approx 13 \times 12,45 = 161,85
]$$L = 247,2 – 161,85 \approx 85,35 \text{ cm²}$$L=247,2−161,85≈85,35 cm²

Tips Menguasai Soal Tembereng Lingkaran

1. Identifikasi elemen penting tembereng: jari-jari, tinggi, busur, dan sudut pusat.
2. Pilih rumus yang sesuai dengan informasi yang diberikan.
3. Konversi sudut ke radian jika diperlukan.
4. Latihan secara bertahap dari soal mudah hingga sulit.
5. Gunakan kalkulator untuk soal inversi atau numerik agar hasil lebih akurat.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Bekali Guru SMA Muhammadiyah 1 Kotaagung Pemanfaatan AI dalam Perangkat Ajar

Kesimpulan

Menguasai tembereng lingkaran sangat penting bagi siswa SMP dan SMA karena konsep ini sering muncul dalam soal ujian dan latihan matematika. Dengan latihan soal dari tingkat mudah hingga sulit, siswa dapat memahami hubungan antara busur, tali busur, jari-jari, dan sudut pusat. Artikel ini menyajikan latihan contoh soal tembereng lingkaran untuk siswa SMP dan SMA lengkap dengan pembahasan yang dapat digunakan sebagai panduan belajar mandiri maupun referensi guru untuk pengajaran.

penulis : dinda rahma wati