Kumpulan Contoh Soal Tembereng Lingkaran dan Cara Penyelesaiannya

Tembereng lingkaran merupakan salah satu materi penting dalam pelajaran matematika, khususnya pada tingkat SMA kelas 12. Materi ini termasuk dalam bab geometri lingkaran dan sering muncul dalam soal ujian sekolah, Ujian Nasional, maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Pemahaman tentang tembereng lingkaran penting untuk menghitung luas daerah tertentu yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Bekali Guru SMA Muhammadiyah 1 Kotaagung Pemanfaatan AI dalam Perangkat Ajar

Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal tembereng lingkaran dan cara penyelesaiannya secara lengkap dan sistematis agar siswa dapat belajar mandiri, memahami konsep, dan menguasai teknik penyelesaian soal dengan benar. Semua pembahasan dibuat mudah dipahami dan sesuai dengan tingkat siswa SMA.

Pengertian Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur lingkaran dan tali busur yang menghubungkan dua titik ujung busur tersebut. Tembereng bisa dianggap sebagai “irisan” lingkaran yang terletak di antara busur dan tali busur.

Elemen-elemen penting pada tembereng lingkaran meliputi:

• Jari-jari lingkaran (r): jarak dari pusat lingkaran ke titik pada keliling.
• Tali busur (c): garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Sudut pusat (θ): sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menyinggung ujung-ujung busur.
• Tinggi tembereng (h): jarak tegak lurus dari tali busur ke busur.

Rumus Luas Tembereng Lingkaran

Luas tembereng lingkaran dapat dihitung dengan rumus:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ)

Keterangan:

• $L$L = luas tembereng
• $r$r = jari-jari lingkaran
• $\theta$θ = sudut pusat dalam radian

Jika sudut pusat dalam derajat, konversi terlebih dahulu:$$\theta (\text{radian}) = \theta (\text{derajat}) \times \frac{\pi}{180}$$θ(radian)=θ(derajat)×180π​

Selain itu, jika diketahui tinggi tembereng $h$h dan jari-jari $r$r, rumus lain yang bisa digunakan adalah:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Contoh Soal dan Penyelesaian Tembereng Lingkaran

Soal 1
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitung luas tembereng jika sudut pusat yang membentuk tembereng adalah 60°.

Penyelesaian
Langkah 1: Konversi sudut ke radian$$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1,0472 \text{ rad}$$θ=60°×180π​=3π​≈1,0472 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ) $$L = \frac{1}{2} \times 10^2 \times (1,0472 – \sin 1,0472)$$L=21​×102×(1,0472−sin1,0472) $$\sin 1,0472 \approx 0,866$$sin1,0472≈0,866 $$L = 50 \times (1,0472 – 0,866) = 50 \times 0,1812 \approx 9,06 \text{ cm²}$$L=50×(1,0472−0,866)=50×0,1812≈9,06 cm²

Soal 2
Hitung luas tembereng lingkaran dengan jari-jari 12 cm dan tinggi tembereng 3 cm.

Penyelesaian
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Substitusi nilai: $r = 12, h = 3$r=12,h=3$$\frac{r-h}{r} = \frac{12-3}{12} = 0,75$$rr−h​=1212−3​=0,75 $$\arccos(0,75) \approx 0,7227 \text{ rad}$$arccos(0,75)≈0,7227 rad $$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 12^2 \times 0,7227 \approx 104,15$$r2arccos(rr−h​)=122×0,7227≈104,15 $$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 9 \times \sqrt{72 – 9} = 9 \times \sqrt{63} \approx 9 \times 7,94 \approx 71,46$$(r−h)2rh−h2​=9×72−9​=9×63​≈9×7,94≈71,46 $$L = 104,15 – 71,46 \approx 32,69 \text{ cm²}$$L=104,15−71,46≈32,69 cm²

Soal 3
Sebuah tembereng lingkaran terbentuk dari busur yang panjangnya 8 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm. Hitung luas tembereng.

Penyelesaian
Langkah 1: Hitung sudut pusat$$s = r \theta \Rightarrow \theta = \frac{s}{r} = \frac{8}{5} = 1,6 \text{ rad}$$s=rθ⇒θ=rs​=58​=1,6 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 5^2 (1,6 – \sin 1,6)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×52(1,6−sin1,6) $$\sin 1,6 \approx 0,9996$$sin1,6≈0,9996 $$L = 12,5 \times (1,6 – 0,9996) = 12,5 \times 0,6004 \approx 7,50 \text{ cm²}$$L=12,5×(1,6−0,9996)=12,5×0,6004≈7,50 cm²

Soal 4
Tentukan tinggi tembereng jika luas tembereng 20 cm² dan jari-jari lingkaran 6 cm.

Penyelesaian
Gunakan rumus tinggi tembereng:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Substitusi nilai:$$20 = 36 \arccos\left(\frac{6-h}{6}\right) – (6-h)\sqrt{12h – h^2}$$20=36arccos(66−h​)−(6−h)12h−h2​

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik. Misal dicoba $h = 2,5$h=2,5 cm, diperoleh luas mendekati 20 cm².

Soal 5
Sebuah lingkaran jari-jari 8 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 120°. Hitung luas tembereng.

Penyelesaian
Konversi sudut ke radian:$$\theta = 120° \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2,094 \text{ rad}$$θ=120°×180π​=32π​≈2,094 rad

Gunakan rumus luas tembereng:$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 8^2 (2,094 – \sin 2,094)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×82(2,094−sin2,094) $$\sin 2,094 \approx 0,866$$sin2,094≈0,866 $$L = 32 \times (2,094 – 0,866) = 32 \times 1,228 \approx 39,30 \text{ cm²}$$L=32×(2,094−0,866)=32×1,228≈39,30 cm²

Soal 6
Sebuah lingkaran jari-jari 15 cm memiliki tembereng dengan tinggi 5 cm. Hitung luas tembereng.

Penyelesaian$$r = 15, h = 5$$r=15,h=5 $$\frac{r-h}{r} = \frac{10}{15} = 0,6667$$rr−h​=1510​=0,6667 $$\arccos(0,6667) \approx 0,8411 \text{ rad}$$arccos(0,6667)≈0,8411 rad $$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 225 \times 0,8411 \approx 189,23$$r2arccos(rr−h​)=225×0,8411≈189,23 $$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 10 \times \sqrt{150 – 25} = 10 \times \sqrt{125} \approx 10 \times 11,18 = 111,8$$(r−h)2rh−h2​=10×150−25​=10×125​≈10×11,18=111,8 $$L = 189,23 – 111,8 \approx 77,43 \text{ cm²}$$L=189,23−111,8≈77,43 cm²

Soal 7
Hitung luas tembereng lingkaran jika jari-jari 20 cm dan panjang busur 25 cm.

Penyelesaian
Sudut pusat: $\theta = s / r = 25 / 20 = 1,25$θ=s/r=25/20=1,25 rad$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 400 \times (1,25 – \sin 1,25)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×400×(1,25−sin1,25) $$\sin 1,25 \approx 0,949$$sin1,25≈0,949 $$L = 200 \times (1,25 – 0,949) = 200 \times 0,301 \approx 60,2 \text{ cm²}$$L=200×(1,25−0,949)=200×0,301≈60,2 cm²

Tips Menguasai Soal Tembereng Lingkaran

1. Identifikasi elemen tembereng: jari-jari, tinggi, busur, sudut pusat.
2. Gunakan rumus sesuai informasi yang tersedia.
3. Konversi sudut ke radian jika diperlukan.
4. Latihan soal dari tingkat mudah ke sulit untuk menguasai teknik penyelesaian.
5. Gunakan kalkulator atau metode numerik untuk soal inversi (mencari h dari luas).

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Kesimpulan

Menguasai tembereng lingkaran sangat penting dalam geometri lingkaran. Dengan latihan kumpulan contoh soal tembereng lingkaran dan cara penyelesaiannya, siswa dapat belajar secara mandiri dan memahami konsep tembereng dengan baik. Artikel ini membantu siswa SMA kelas 12 memahami hubungan antara busur, tali busur, jari-jari, dan sudut pusat, sekaligus mempersiapkan diri menghadapi ujian dengan percaya diri.

penulis : dinda rahma wati