Kumpulan Contoh Soal Rotasi 30 Derajat Terhadap Titik Pusat (0,0) dan (a,b) Lengkap dengan Pembahasan

Transformasi geometri, khususnya rotasi, merupakan materi matematika yang memerlukan ketelitian tinggi dalam penggunaan rumus trigonometri dan manipulasi aljabar. Salah satu sudut yang paling sering diujikan adalah sudut $30^\circ$ karena melibatkan nilai-nilai irasional seperti $\sqrt{3}$. Memahami cara kerja perputaran titik pada koordinat Kartesius bukan hanya soal menghafal rumus, melainkan memahami bagaimana posisi sebuah titik bergeser relatif terhadap titik pusat tertentu.

baca lagi : Bank Soal Model Stokastik Terbaru untuk UTS/UAS Disertai Pembahasan Lengkap

Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal komprehensif mengenai rotasi $30^\circ$, baik dengan pusat di titik asal $(0,0)$ maupun di titik sembarang $(a,b)$. Setiap soal disertai dengan pembahasan langkah demi langkah untuk membantu Anda menguasai konsep ini secara mendalam.

Memahami Logika Rotasi 30 Derajat

Secara matematis, rotasi sejauh $\theta$ derajat berlawanan arah jarum jam didefinisikan melalui hubungan nilai sinus dan kosinus. Untuk sudut $30^\circ$, nilai trigonometri yang harus selalu Anda ingat adalah:

• $\cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Jika sebuah titik dirotasikan berlawanan arah jarum jam, sudutnya dianggap positif. Namun, jika soal menyebutkan rotasi searah jarum jam, maka sudut yang digunakan adalah $-30^\circ$. Perlu diingat bahwa $\cos(-30^\circ) = \cos 30^\circ$ sedangkan $\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ$.

Bagian 1: Rotasi 30 Derajat Terhadap Titik Pusat (0,0)

Rumus standar untuk rotasi titik $A(x,y)$ terhadap pusat $O(0,0)$ sejauh $\theta$ adalah:

$x’ = x \cos \theta – y \sin \theta$

$y’ = x \sin \theta + y \cos \theta$

Soal 1: Rotasi Titik di Kuadran I

Tentukan bayangan titik $P(6, 4)$ jika dirotasikan sejauh $30^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat $(0,0)$!

Pembahasan:

• Langkah 1: Identifikasi variabel. $x = 6$, $y = 4$, dan $\theta = 30^\circ$.
• Langkah 2: Masukkan ke rumus $x’$.$x’ = 6 \cdot \cos 30^\circ – 4 \cdot \sin 30^\circ$$x’ = 6 \cdot (\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 4 \cdot (\frac{1}{2})$$x’ = 3\sqrt{3} – 2$
• Langkah 3: Masukkan ke rumus $y’$.$y’ = 6 \cdot \sin 30^\circ + 4 \cdot \cos 30^\circ$$y’ = 6 \cdot (\frac{1}{2}) + 4 \cdot (\frac{1}{2}\sqrt{3})$$y’ = 3 + 2\sqrt{3}$
• Hasil: Bayangan titik $P$ adalah $P'(3\sqrt{3}-2, 3+2\sqrt{3})$.

Soal 2: Rotasi dengan Nilai Negatif

Tentukan bayangan titik $Q(-2, 8)$ setelah dirotasikan sejauh $30^\circ$ terhadap titik asal $(0,0)$!

Pembahasan:

• $x’ = (-2) \cdot (\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 8 \cdot (\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} – 4$
• $y’ = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) + 8 \cdot (\frac{1}{2}\sqrt{3}) = -1 + 4\sqrt{3}$
• Hasil: Bayangan titik $Q$ adalah $Q'(-\sqrt{3}-4, -1+4\sqrt{3})$.

Bagian 2: Rotasi 30 Derajat Terhadap Titik Pusat (a,b)

Ketika pusat rotasi bergeser ke $M(a,b)$, kita harus melakukan “normalisasi” dengan mengurangkan koordinat titik asal dengan pusat, melakukan rotasi, lalu menjumlahkannya kembali dengan koordinat pusat.

Rumusnya:

$x’ = a + (x – a) \cos \theta – (y – b) \sin \theta$

$y’ = b + (x – a) \sin \theta + (y – b) \cos \theta$

Soal 3: Rotasi Terhadap Titik Pusat (2,2)

Titik $R(4, 6)$ dirotasikan sejauh $30^\circ$ terhadap pusat $M(2, 2)$. Tentukan koordinat hasil rotasinya!

Pembahasan:

• Langkah 1: Identifikasi variabel. $x=4, y=6, a=2, b=2, \theta=30^\circ$.
• Langkah 2: Hitung selisih koordinat terhadap pusat.$(x – a) = 4 – 2 = 2$$(y – b) = 6 – 2 = 4$
• Langkah 3: Hitung $x’$.$x’ = 2 + (2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} – 4 \cdot \frac{1}{2})$$x’ = 2 + (\sqrt{3} – 2)$$x’ = \sqrt{3}$
• Langkah 4: Hitung $y’$.$y’ = 2 + (2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3})$$y’ = 2 + (1 + 2\sqrt{3})$$y’ = 3 + 2\sqrt{3}$
• Hasil: Bayangan titik $R$ adalah $R'(\sqrt{3}, 3+2\sqrt{3})$.

Soal 4: Kasus Rotasi Searah Jarum Jam

Tentukan bayangan titik $S(5, 1)$ yang dirotasikan sejauh $30^\circ$ searah jarum jam terhadap pusat $M(1, 1)$!

Pembahasan:

• Ingat: Searah jarum jam berarti $\theta = -30^\circ$.
• $\cos(-30^\circ) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
• $x-a = 5-1 = 4$; $y-b = 1-1 = 0$.
• $x’ = 1 + (4 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} – 0 \cdot (-\frac{1}{2})) = 1 + 2\sqrt{3}$.
• $y’ = 1 + (4 \cdot (-\frac{1}{2}) + 0 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}) = 1 – 2 = -1$.
• Hasil: Bayangan titik $S$ adalah $S'(1+2\sqrt{3}, -1)$.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Kesimpulan dan Tips Pengerjaan

Mengerjakan soal rotasi $30^\circ$ menuntut ketelitian pada dua hal utama: penggunaan tanda (plus/minus) dan pemahaman bahwa hasil akhirnya seringkali tidak bisa disederhanakan menjadi bilangan bulat (tetap dalam bentuk akar).

penulis ; dinda rahma wati