Kumpulan Contoh Soal Barisan Geometri Matematika Disertai Jawaban

Barisan geometri adalah salah satu materi penting dalam matematika yang sering muncul di sekolah menengah pertama maupun tingkat atas. Menguasai konsep ini sangat membantu dalam memahami pola angka dan menyelesaikan soal matematika dengan lebih mudah. Artikel ini akan membahas kumpulan contoh soal barisan geometri mulai dari yang sederhana hingga soal aplikasi, lengkap dengan jawaban dan penjelasan.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal Bakteriologi untuk SMA dan Mahasiswa

Apa Itu Barisan Geometri?

Sebelum masuk ke contoh soal, mari pahami definisinya.

Barisan geometri adalah deret bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap. Rasio ini disebut rasio atau perbandingan tetap (r).

Secara matematis, barisan geometri ditulis sebagai:$$a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots$$a,ar,ar2,ar3,ar4,…

Keterangan:

• $a$a = suku pertama
• $r$r = rasio atau perbandingan tetap
• $ar^n$arn = suku ke-(n+1)

Contoh sederhana:

Jika $a = 2$a=2 dan $r = 3$r=3, barisan geometri adalah:$$2, 6, 18, 54, 162, \dots$$2,6,18,54,162,…

Rumus Penting Barisan Geometri

Untuk menyelesaikan soal, penting mengetahui rumus-rumus barisan geometri:

1. Suku ke-n (UnU_nUn​):

$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$Un​=a⋅rn−1

2. Jumlah n suku pertama (SnS_nSn​):

Jika $r \neq 1$r=1:$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​

Jika $|r| < 1$∣r∣<1 dan jumlah suku tak hingga ($S_\infty$S∞​):$$S_\infty = \frac{a}{1 – r}$$S∞​=1−ra​

Contoh Soal Barisan Geometri Mudah

Soal 1: Menentukan Suku Ke-n

Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, …
Tentukan suku ke-6.

Jawaban:

1. Suku pertama $a = 3$a=3
2. Rasio $r = \frac{6}{3} = 2$r=36​=2
3. Gunakan rumus suku ke-n:

$$U_6 = a \cdot r^{6-1} = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$$U6​=a⋅r6−1=3⋅25=3⋅32=96

Jadi, suku ke-6 adalah 96.

Soal 2: Menentukan Rasio

Diketahui barisan geometri: 5, 15, 45, …
Tentukan rasio barisan tersebut.

Jawaban:

Rasio ($r$r) diperoleh dari perbandingan dua suku berturut-turut:$$r = \frac{15}{5} = 3$$r=515​=3

Jadi, rasio barisan geometri adalah 3.

Soal 3: Menentukan Suku Pertama

Diketahui suku ke-3 barisan geometri adalah 24 dan rasio $r = 2$r=2. Tentukan suku pertama.

Jawaban:

Gunakan rumus suku ke-n:$$U_3 = a \cdot r^{3-1} = a \cdot r^2$$U3​=a⋅r3−1=a⋅r2 $$24 = a \cdot 2^2$$24=a⋅22 $$24 = a \cdot 4 \Rightarrow a = 6$$24=a⋅4⇒a=6

Jadi, suku pertama adalah 6.

Contoh Soal Barisan Geometri Menengah

Soal 4: Menentukan Jumlah Suku Pertama

Diketahui barisan geometri: 2, 6, 18, …
Hitung jumlah 5 suku pertama.

Jawaban:

1. $a = 2$a=2, $r = 3$r=3
2. Jumlah n suku pertama:

$$S_5 = a \frac{r^5 – 1}{r – 1} = 2 \frac{3^5 – 1}{3-1} = 2 \frac{243 – 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242$$S5​=ar−1r5−1​=23−135−1​=22243−1​=2⋅121=242

Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 242.

Soal 5: Menentukan Suku Ke-n dari Jumlah Suku

Jumlah 4 suku pertama sebuah barisan geometri adalah 120. Jika suku pertama 5 dan rasio 2, tentukan suku ke-4.

Jawaban:

1. Gunakan rumus jumlah suku:

$$S_4 = a \frac{r^4 – 1}{r – 1} = 5 \frac{2^4 – 1}{2 – 1} = 5 \cdot (16 – 1) = 5 \cdot 15 = 75$$S4​=ar−1r4−1​=52−124−1​=5⋅(16−1)=5⋅15=75

Catatan: Soal ini dapat disesuaikan, namun jika jumlah sebenarnya 120, berarti rasio berbeda. Ini menandakan pentingnya cek kembali angka soal. Misal kita ubah $r$r menjadi 3:$$S_4 = 5 \frac{3^4 – 1}{3-1} = 5 \frac{81-1}{2} = 5 \cdot 40 = 200$$S4​=53−134−1​=5281−1​=5⋅40=200

• Jadi, pastikan soal dan angka rasio sesuai.

Suku ke-4:$$U_4 = a \cdot r^{4-1} = 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135$$U4​=a⋅r4−1=5⋅33=5⋅27=135

Soal 6: Barisan Geometri Negatif

Diketahui barisan: 16, -8, 4, -2, …
Tentukan suku ke-6.

Jawaban:

1. Suku pertama $a = 16$a=16
2. Rasio $r = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$r=16−8​=−21​
3. Suku ke-6:

$$U_6 = a \cdot r^{6-1} = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{16}{32} = -\frac{1}{2}$$U6​=a⋅r6−1=16⋅(−21​)5=16⋅(−321​)=−3216​=−21​

Jadi, suku ke-6 adalah -½.

Contoh Soal Barisan Geometri Sulit

Soal 7: Aplikasi Barisan Geometri

Seorang investor menanamkan modal awal Rp 1.000.000, dan setiap tahun nilai investasinya bertambah 10% secara geometri. Berapa nilai investasi setelah 5 tahun?

Jawaban:

1. Suku pertama $a = 1.000.000$a=1.000.000
2. Rasio $r = 1 + 10\% = 1,1$r=1+10%=1,1
3. Nilai setelah 5 tahun:

$$U_5 = a \cdot r^{5-1} = 1.000.000 \cdot 1,1^4$$U5​=a⋅r5−1=1.000.000⋅1,14

Hitung:$$1,1^4 = 1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1 = 1,4641$$1,14=1,1⋅1,1⋅1,1⋅1,1=1,4641 $$U_5 = 1.000.000 \cdot 1,4641 = 1.464.100$$U5​=1.000.000⋅1,4641=1.464.100

Jadi, nilai investasi setelah 5 tahun adalah Rp 1.464.100.

Soal 8: Barisan Geometri Tak Hingga

Diketahui barisan geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $|r| < 1$∣r∣<1. Jika r = 0,5, tentukan jumlah suku tak hingga.

Jawaban:

Gunakan rumus jumlah tak hingga:$$S_\infty = \frac{a}{1 – r} = \frac{8}{1 – 0,5} = \frac{8}{0,5} = 16$$S∞​=1−ra​=1−0,58​=0,58​=16

Jadi, jumlah suku tak hingga adalah 16.

Soal 9: Menentukan Rasio dari Suku dan Jumlah Suku

Diketahui suku pertama barisan geometri $a = 2$a=2 dan jumlah 3 suku pertama $S_3 = 26$S3​=26. Tentukan rasio barisan.

Jawaban:

Rumus jumlah suku pertama:$$S_3 = a \frac{r^3 – 1}{r – 1} = 26$$S3​=ar−1r3−1​=26 $$2 \frac{r^3 – 1}{r – 1} = 26 \Rightarrow \frac{r^3 – 1}{r – 1} = 13$$2r−1r3−1​=26⇒r−1r3−1​=13

Faktorkan $r^3 – 1 = (r-1)(r^2 + r +1)$r3−1=(r−1)(r2+r+1), sehingga:$$\frac{(r-1)(r^2 + r +1)}{r-1} = r^2 + r +1 = 13$$r−1(r−1)(r2+r+1)​=r2+r+1=13 $$r^2 + r +1 = 13 \Rightarrow r^2 + r – 12 = 0$$r2+r+1=13⇒r2+r−12=0

Faktorkan:$$(r + 4)(r – 3) = 0$$(r+4)(r−3)=0 $$r = -4 \text{ atau } r = 3$$r=−4 atau r=3

Jadi, rasio barisan adalah 3 atau -4.

Soal 10: Soal Campuran

Barisan geometri memiliki suku pertama $a = 3$a=3. Suku ke-4 adalah 24. Tentukan jumlah 4 suku pertama.

Jawaban:

1. Gunakan suku ke-n untuk menemukan rasio:

$$U_4 = a \cdot r^3 = 24 \Rightarrow 3 \cdot r^3 = 24 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$$U4​=a⋅r3=24⇒3⋅r3=24⇒r3=8⇒r=2

2. Jumlah 4 suku pertama:

$$S_4 = a \frac{r^4 – 1}{r – 1} = 3 \frac{2^4 -1}{2-1} = 3 \cdot 15 = 45$$S4​=ar−1r4−1​=32−124−1​=3⋅15=45

Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 45.

Tips Menguasai Soal Barisan Geometri

1. Selalu cari rasio terlebih dahulu. Rasio adalah kunci menyelesaikan semua soal barisan geometri.
2. Gunakan rumus suku ke-n untuk mencari suku tertentu.
3. Gunakan rumus jumlah suku pertama untuk soal jumlah.
4. Perhatikan tanda negatif pada barisan geometri.
5. Latihan soal dari mudah ke sulit agar pemahaman bertahap.

baca juga:Nasrullah Yusuf Serahkan Cenderamata Khas Lampung Karya Mahasiswa Teknokrat kepada Menteri Koperasi RI di Silaknas ICMI 2025

Kesimpulan

Barisan geometri adalah materi matematika yang sangat penting dan aplikatif, mulai dari pola angka sederhana hingga investasi dan pertumbuhan eksponensial. Dengan menguasai rumus:

• $U_n = a \cdot r^{n-1}$Un​=a⋅rn−1
• $S_n = a \frac{r^n -1}{r-1}$Sn​=ar−1rn−1​
• $S_\infty = \frac{a}{1-r}$S∞​=1−ra​

Kamu bisa menyelesaikan berbagai soal dari mudah hingga kompleks. Latihan soal yang kami sajikan di atas membantu memperkuat konsep dan meningkatkan kemampuan analisis.

penulis:putra