Permutasi siklis adalah salah satu materi penting dalam kombinatorik yang banyak muncul di ujian matematika SMA, seleksi kompetitif, maupun olimpiade. Pemahaman konsep ini penting karena sering digunakan untuk menghitung jumlah susunan elemen dalam lingkaran, di mana rotasi dianggap identik.
Baca juga : Contoh Soal Energi Potensial Elastisitas dalam Kehidupan Sehari-hari Beserta Penyelesaiannya
Pengertian Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah susunan elemen dalam lingkaran, di mana posisi relatif antar elemen diperhatikan, tetapi rotasi lingkaran dianggap sama.
Contoh:
Tiga orang A, B, C duduk melingkar. Susunan ABC sama dengan BCA atau CAB karena posisi relatif tetap sama.
Rumus dasar permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)!
]
Dimana:
- (n) = jumlah elemen
- ((n-1)!) = faktorial dari (n-1)
Sifat Permutasi Siklis
- Rotasi dianggap identik: Susunan yang hanya berbeda karena rotasi dianggap sama.
- Objek berbeda: Berlaku untuk objek yang berbeda, bukan identik.
- Reduksi jumlah permutasi: Jumlah permutasi dikurangi faktor rotasi dibanding permutasi linear.
Contoh:
4 orang duduk melingkar → permutasi berbeda = ((4-1)! = 6)
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Mudah
Soal 1
Tiga teman duduk melingkar di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
((3-1)! = 2! = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Penjelasan: ABC dan ACB adalah dua susunan berbeda. Rotasi dianggap sama.
Soal 2
Empat orang duduk melingkar. Hitung banyak permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
((4-1)! = 3! = 6)
Jawaban: 6 susunan berbeda
Penjelasan: Posisi relatif yang sama dianggap identik, sehingga jumlah permutasi lebih sedikit dari permutasi linear (4! = 24).
Soal 3
Lima orang duduk melingkar. Tentukan permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
((5-1)! = 4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Penjelasan: Sama seperti sebelumnya, rotasi dianggap identik.
Soal 4
Meja bundar memiliki 6 kursi. Hitung jumlah cara 6 teman bisa duduk.
Jawaban dan Penjelasan:
((6-1)! = 5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sedang
Soal 5
6 orang duduk melingkar, dua orang harus duduk bersebelahan. Berapa banyak susunan berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
- Dua orang dianggap sebagai satu blok → 5 objek → ((5-1)! = 24)
- Dua orang dalam blok bisa bertukar → (2! = 2)
- Total permutasi = (24 \times 2 = 48)
Jawaban: 48 susunan berbeda
Soal 6
5 anak duduk melingkar, satu anak tetap di kursi tertentu. Berapa permutasi berbeda?
Jawaban dan Penjelasan:
- 4 anak lain → permutasi linear → (4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Soal 7
3 pria dan 2 wanita duduk melingkar. Wanita tidak boleh duduk bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Susun 3 pria terlebih dahulu → ((3-1)! = 2)
- Pilih posisi 2 wanita di antara pria → (\binom{3}{2} = 3)
- Tukar posisi wanita → (2! = 2)
- Total = (2 \times 3 \times 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Soal 8
7 orang duduk melingkar, satu kursi tetap untuk ketua. Hitung permutasi orang lain.
Jawaban dan Penjelasan:
- 6 orang tersisa → permutasi linear → (6! = 720)
Jawaban: 720 susunan berbeda
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sulit
Soal 9
8 orang duduk melingkar, dua orang tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Total tanpa batasan → ((8-1)! = 5040)
- Larangan: dua orang bersebelahan → blok + 6 orang → ((7-1)! = 720)
- Dalam blok → (2! = 2)
- Larangan = (720 \times 2 = 1440)
- Permutasi valid = 5040 – 1440 = 3600
Soal 10
7 orang duduk melingkar, tiga harus berurutan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- 3 orang sebagai satu blok → 5 objek → ((5-1)! = 24)
- Dalam blok → (3! = 6)
- Total = 24 × 6 = 144
Soal 11
5 anak duduk melingkar. Rotasi 180° dianggap identik. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Permutasi normal → ((5-1)! = 24)
- Rotasi 180° identik → bagi 2 → (24 / 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Soal 12
Meja bundar rapat sekolah 6 kursi. Kepala sekolah duduk tetap. Hitung permutasi guru lain.
Jawaban dan Penjelasan:
- Kepala sekolah tetap → 5 guru lain → permutasi linear → (5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Soal 13
4 anggota tim duduk melingkar. Dua senior tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Total permutasi 4 orang → ((4-1)! = 6)
- Larangan: dua senior bersebelahan → blok + 2 anggota → ((3-1)! = 2)
- Dalam blok → (2! = 2)
- Larangan = 2 × 2 = 4
- Permutasi valid = 6 – 4 = 2
Soal 14
5 orang duduk melingkar, dua orang A dan B harus berseberangan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- A → posisi tetap
- B → posisi berseberangan → 1 cara
- 3 orang lain → permutasi siklis → ((3-1)! = 2)
- Total = 1 × 2 = 2 susunan berbeda
Soal 15
6 orang duduk melingkar. Dua orang tertentu harus berlawanan, dua lainnya tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Penjelasan:
- Dua orang berlawanan → posisi tetap
- Sisa 4 orang → dua tidak boleh bersebelahan → prinsip inklusi-eksklusi:
- Total 4 orang → ((4-1)! = 6)
- Larangan → dua orang bersebelahan → blok 2 orang → ((3-1)! = 2)
- Tukar blok → 2! = 2
- Larangan = 2 × 2 = 4
- Permutasi valid = 6 – 4 = 2
- Total = 2
Jawaban: 2 susunan berbeda
Strategi Cepat Menyelesaikan Soal Permutasi Siklis
- Tentukan jumlah elemen (n).
- Identifikasi kondisi khusus: harus bersebelahan, tidak bersebelahan, posisi tetap.
- Gunakan rumus ((n-1)!) untuk permutasi dasar.
- Tambahkan faktorial jika ada pertukaran dalam blok.
- Gunakan prinsip inklusi-eksklusi jika ada larangan.
- Sesuaikan jika rotasi tertentu dianggap identik.
Manfaat Menguasai Permutasi Siklis
- Membantu persiapan ujian matematika dan kompetisi.
- Meningkatkan kemampuan logika dan analisis.
- Membiasakan menghadapi soal variasi mudah hingga kompleks.
- Mempermudah aplikasi kehidupan nyata seperti penjadwalan, penyusunan kursi, atau distribusi objek.
Penulis : Lina wati
Post Comment