Permutasi siklis merupakan salah satu topik penting dalam matematika kombinatorik, khususnya di jenjang SMA dan perguruan tinggi awal. Konsep ini digunakan untuk menghitung banyaknya susunan atau urutan elemen tertentu dalam bentuk siklis, di mana posisi relatif antar elemen diperhatikan tetapi rotasi dianggap sama.
Memahami permutasi siklis sangat penting karena topik ini sering muncul pada soal ujian, latihan kompetisi matematika, dan aplikasi masalah nyata seperti penyusunan kursi, penjadwalan, atau distribusi objek. Artikel ini menyajikan contoh soal permutasi siklis dari tingkat mudah hingga sulit, lengkap dengan pembahasan yang mudah dipahami.
Baca juga : 10 Contoh Soal Keadilan Sosial Beserta Pembahasan
Pengertian Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah cara menyusun objek dalam lingkaran atau urutan melingkar, di mana susunan yang dapat diputar dianggap sama. Misalnya, jika kita memiliki tiga orang A, B, dan C duduk melingkar di meja bundar, maka susunan ABC sama dengan BCA atau CAB karena posisi relatif tetap sama.
Rumus dasar permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)!
]
Di mana:
- (n) = jumlah elemen
- ((n-1)!) = faktorial dari (n-1)
Rumus ini berlaku untuk objek berbeda yang disusun melingkar tanpa memperhatikan rotasi.
Sifat-Sifat Permutasi Siklis
- Rotasi dianggap sama: Susunan yang dapat diperoleh dari rotasi dianggap identik.
- Objek berbeda: Biasanya permutasi siklis diterapkan pada objek yang berbeda, bukan identik.
- Faktor reduksi: Karena rotasi identik, jumlah permutasi total dikurangi faktor (n) dibandingkan permutasi linear.
Contoh sederhana:
Jika 4 orang duduk melingkar, jumlah susunan berbeda adalah ((4-1)! = 3! = 6).
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Mudah
Soal 1
Terdapat 3 teman duduk melingkar di meja bundar. Berapa banyak susunan berbeda yang bisa dibuat?
Pembahasan:
Gunakan rumus permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)! = (3-1)! = 2! = 2
]
Jawaban: 2 susunan berbeda
Soal 2
4 orang duduk melingkar di meja. Hitung banyak susunan berbeda.
Pembahasan:
[
P_{siklis} = (4-1)! = 3! = 6
]
Jawaban: 6 susunan berbeda
Soal 3
5 orang berbeda duduk melingkar. Tentukan banyak permutasi berbeda.
Pembahasan:
[
P_{siklis} = (5-1)! = 4! = 24
]
Jawaban: 24 susunan berbeda
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sedang
Soal 4
6 orang duduk melingkar, namun dua orang harus duduk bersebelahan. Berapa banyak susunan berbeda?
Pembahasan:
- Anggap dua orang yang harus bersebelahan sebagai satu blok.
- Sekarang ada (6 – 2 + 1 = 5) objek yang disusun melingkar.
[
P_{siklis} = (5-1)! = 4! = 24
] - Dua orang dalam blok bisa bertukar tempat: (2! = 2)
- Total permutasi = (24 \times 2 = 48)
Jawaban: 48 susunan berbeda
Soal 5
5 anak duduk melingkar, dengan satu kursi tetap ditempati oleh seorang anak tertentu. Berapa banyak susunan berbeda?
Pembahasan:
- Jika kursi anak tertentu tetap, permutasi menjadi linear untuk 4 anak lainnya.
[
P = 4! = 24
]
Jawaban: 24 susunan berbeda
Soal 6
3 pria dan 2 wanita duduk melingkar, tetapi wanita tidak boleh duduk bersebelahan. Hitung jumlah susunan berbeda.
Pembahasan:
- Susun pria terlebih dahulu: 3 pria → ((3-1)! = 2!) susunan = 2
- Ada 3 ruang di antara pria untuk menempatkan 2 wanita: (\binom{3}{2} = 3) cara
- Wanita bisa bertukar tempat: (2! = 2)
- Total = (2 \times 3 \times 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Contoh Soal Permutasi Siklis Tingkat Sulit
Soal 7
8 orang duduk melingkar, tetapi 2 orang tertentu tidak boleh bersebelahan. Hitung banyak permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Total permutasi tanpa batasan: ((8-1)! = 7! = 5040)
- Perlakukan dua orang yang harus berpisah sebagai satu blok:
- Jika dianggap bersebelahan → blok + 6 orang lain = 7 objek → permutasi siklis ((7-1)! = 6! = 720)
- Dua orang dalam blok bisa bertukar: (2! = 2)
- Total permutasi yang dilarang = (720 \times 2 = 1440)
- Permutasi valid = (5040 – 1440 = 3600)
Jawaban: 3600 susunan berbeda
Soal 8
7 orang duduk melingkar, namun 3 orang harus duduk berurutan. Hitung banyak permutasi berbeda.
Pembahasan:
- Anggap 3 orang sebagai satu blok → 5 objek (blok + 4 orang lainnya)
[
P_{siklis} = (5-1)! = 4! = 24
] - Dalam blok, 3 orang bisa bertukar tempat: (3! = 6)
- Total permutasi = (24 \times 6 = 144)
Jawaban: 144 susunan berbeda
Soal 9
5 anak duduk melingkar. Berapa banyak susunan berbeda jika rotasi 180° dianggap identik?
Pembahasan:
- Untuk rotasi normal: ((5-1)! = 4! = 24)
- Jika rotasi 180° dianggap sama, setiap pasangan posisi identik → bagi 2
[
24 / 2 = 12
]
Jawaban: 12 susunan berbeda
Soal Permutasi Siklis Berbasis Masalah Kehidupan Nyata
Soal 10
Sebuah meja bundar untuk rapat di sekolah memiliki 6 kursi. Kepala sekolah duduk di kursi tertentu. Berapa banyak susunan berbeda guru yang bisa duduk di kursi lainnya?
Pembahasan:
- Kepala sekolah tetap → permutasi linear untuk 5 guru lain: (5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Soal 11
4 anggota tim duduk melingkar saat rapat. Dua anggota senior tidak boleh duduk bersebelahan. Hitung jumlah susunan berbeda.
Pembahasan:
- Total permutasi siklis 4 orang: ((4-1)! = 3! = 6)
- Permutasi larangan: anggap 2 senior bersebelahan → blok + 2 anggota lain = 3 objek → permutasi siklis ((3-1)! = 2! = 2)
- Dua senior dalam blok bisa bertukar: (2! = 2)
- Total permutasi larangan = (2 \times 2 = 4)
- Permutasi valid = (6 – 4 = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Soal 12
5 orang duduk melingkar. Hitung permutasi jika dua orang A dan B harus duduk berseberangan.
Pembahasan:
- Pilih posisi A → tetap
- Posisi B → tepat berseberangan → 1 cara
- 3 orang lainnya → permutasi siklis untuk sisa: ((3-1)! = 2! = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Strategi Mengerjakan Soal Permutasi Siklis
- Tentukan jumlah objek ((n))
- Identifikasi kondisi khusus (harus bersebelahan, tidak boleh bersebelahan, posisi tetap, dsb.)
- Gunakan rumus ((n-1)!) untuk permutasi melingkar
- Gunakan kombinasi dan faktorial tambahan jika ada batasan khusus
- Jika ada identifikasi rotasi tertentu (misal rotasi 180° sama), sesuaikan dengan pembagian yang tepat
Baca juga : Universitas Teknokrat Indonesia Raih Juara Umum Pada Pekan Olahraga Mahasiswa Provinsi Lampung 2025
Manfaat Memahami Permutasi Siklis
- Membantu menyelesaikan soal ujian SMA atau seleksi kompetitif
- Meningkatkan kemampuan berpikir logis dan sistematis
- Mempermudah menyelesaikan masalah nyata seperti penjadwalan dan susunan tempat duduk
- Melatih kemampuan kombinatorik dan analisis kasus kompleks
Penulis : Lina wati
Post Comment