Contoh Soal Merasionalkan Bentuk Akar Beserta Jawaban

Pendahuluan

Materi merasionalkan bentuk akar merupakan salah satu topik penting dalam pembelajaran matematika SMA, khususnya pada bab aljabar. Materi ini sering muncul dalam berbagai bentuk soal ujian, baik ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), hingga ujian masuk perguruan tinggi. Oleh karena itu, siswa perlu memahami konsep merasionalkan bentuk akar secara mendalam agar mampu menyelesaikan soal dengan benar dan sistematis.

Artikel ini menyajikan contoh soal merasionalkan bentuk akar beserta jawaban yang disusun secara bertahap dari tingkat dasar hingga menengah. Setiap soal dilengkapi dengan jawaban dan penjelasan yang mudah dipahami, sehingga cocok dijadikan bahan belajar mandiri maupun referensi latihan.

Baca juga:Contoh Soal Hiperboloida Pilihan Ganda dan Esai Lengkap dengan Pembahasan Mudah Dipahami

Pengertian Merasionalkan Bentuk Akar

Merasionalkan bentuk akar adalah proses menghilangkan tanda akar pada penyebut suatu pecahan aljabar. Dalam matematika, hasil akhir suatu pecahan yang mengandung akar diharapkan memiliki penyebut berbentuk bilangan rasional tanpa akar.

Contoh bentuk yang belum rasional:

• $\frac{5}{\sqrt{3}}$3​5​
• $\frac{2}{1 + \sqrt{2}}$1+2​2​

Contoh bentuk yang sudah rasional:

• $\frac{5\sqrt{3}}{3}$353​​
• $2(1 – \sqrt{2})$2(1−2​)

Tujuan merasionalkan bentuk akar adalah untuk mempermudah perhitungan, menyederhanakan bentuk aljabar, dan mengikuti kaidah penulisan matematika yang benar.

Jenis Penyebut dalam Bentuk Akar

Dalam soal-soal matematika SMA, penyebut yang mengandung akar umumnya terbagi menjadi dua jenis:

1. Penyebut berupa satu akar
   • Contoh: $\sqrt{2}, \sqrt{5}$2​,5​
   • Cara merasionalkan: dikalikan dengan akar tersebut
2. Penyebut berupa dua suku (penjumlahan atau pengurangan)
   • Contoh: $2 + \sqrt{3}$2+3​, $\sqrt{7} – \sqrt{2}$7​−2​
   • Cara merasionalkan: dikalikan dengan sekawan

Sekawan adalah pasangan bentuk aljabar yang jika dikalikan menghasilkan selisih kuadrat.

Rumus dan Konsep Penting

Beberapa rumus yang perlu dikuasai sebelum mengerjakan contoh soal merasionalkan bentuk akar:

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$a​×b​=ab​
• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$b​a​​=ba​​
• $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2
• $\sqrt{a^2} = a$a2​=a untuk $a \ge 0$a≥0

Contoh Soal Merasionalkan Bentuk Akar

Contoh Soal 1

Soal:
Rasionalkan penyebut dari:$$\frac{6}{\sqrt{3}}$$3​6​

Jawaban:$$\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$3​6​×3​3​​=363​​=23​

Contoh Soal 2

Soal:
Rasionalkan bentuk:$$\frac{4}{\sqrt{5}}$$5​4​

Jawaban:$$\frac{4}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$5​4​×5​5​​=545​​

Contoh Soal 3

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{10}{\sqrt{2}}$$2​10​

Jawaban:$$\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$2102​​=52​

Contoh Soal 4

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$2​18​​

Jawaban:$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$18​=32​ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$$2​32​​=3

Contoh Soal 5

Soal:
Rasionalkan penyebut dari:$$\frac{3}{2 + \sqrt{5}}$$2+5​3​

Jawaban:
Kalikan dengan sekawan $2 – \sqrt{5}$2−5​:$$\frac{3(2 – \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 – \sqrt{5})}$$(2+5​)(2−5​)3(2−5​)​ $$\frac{6 – 3\sqrt{5}}{4 – 5} = -6 + 3\sqrt{5}$$4−56−35​​=−6+35​

Contoh Soal 6

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{5}{\sqrt{7} – \sqrt{2}}$$7​−2​5​

Jawaban:
Kalikan dengan sekawan $\sqrt{7} + \sqrt{2}$7​+2​:$$\frac{5(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 – 2} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$$7−25(7​+2​)​=7​+2​

Contoh Soal 7

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$6​+2​8​

Jawaban:
Kalikan dengan sekawan $\sqrt{6} – \sqrt{2}$6​−2​:$$\frac{8(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{6 – 2} = 2(\sqrt{6} – \sqrt{2})$$6−28(6​−2​)​=2(6​−2​)

Contoh Soal 8

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{20}}$$20​65​​

Jawaban:$$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$20​=25​ $$\frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 3$$25​65​​=3

Contoh Soal 9

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{7}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}$$3​+7​7​

Jawaban:$$\frac{7(\sqrt{3} – \sqrt{7})}{3 – 7} = -\frac{7}{4}(\sqrt{3} – \sqrt{7})$$3−77(3​−7​)​=−47​(3​−7​)

Contoh Soal 10

Soal:
Hitung nilai dari:$$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{12}}$$3​1​+12​1​

Jawaban:$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$3​1​=33​​ $$\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{12}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$12​1​=1212​​=63​​ $$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$33​​+63​​=23​​

Kesalahan Umum Saat Merasionalkan Bentuk Akar

Beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa:

• Tidak mengalikan pembilang dan penyebut
• Salah memilih sekawan
• Kesalahan operasi aljabar
• Tidak menyederhanakan hasil akhir

Tips Cepat Merasionalkan Bentuk Akar

1. Sederhanakan akar terlebih dahulu
2. Tentukan jenis penyebut
3. Gunakan sekawan dengan benar
4. Periksa kembali hasil akhir
5. Latihan secara rutin

Manfaat Menguasai Materi Merasionalkan Bentuk Akar

Menguasai materi ini memberikan banyak manfaat, antara lain:

• Mempermudah pemahaman aljabar lanjutan
• Meningkatkan ketelitian dan logika matematika
• Menjadi dasar untuk materi fungsi, limit, dan integral
• Membantu penyelesaian soal fisika dan kimia

Baca juga:Mahasiswa S1 Sastra Inggris Universitas Teknokrat Indonesia Borong Juara ALSA ENGLISH CHALLENGE 2025

Kesimpulan

Contoh soal merasionalkan bentuk akar beserta jawaban merupakan sarana belajar yang sangat efektif bagi siswa SMA. Dengan memahami konsep dasar, rumus, dan langkah penyelesaian secara runtut, siswa dapat menyelesaikan berbagai variasi soal dengan lebih percaya diri.

Latihan yang konsisten dan pemahaman konsep yang kuat akan membantu siswa menguasai materi merasionalkan bentuk akar secara optimal.

penulis:bagas