Parabola merupakan salah satu bentuk kurva yang penting dalam geometri analitik. Dalam materi ini, parabola didefinisikan sebagai himpunan titik yang memiliki jarak sama terhadap titik fokus dan garis direktriks. Karena itu, memahami cara menentukan persamaan parabola dari fokus dan direktriks menjadi keterampilan dasar yang wajib dikuasai oleh siswa kelas 10, 11, maupun 12. Pada artikel ini, kamu akan menemukan contoh soal lengkap beserta pembahasannya sehingga bisa dipakai sebagai latihan untuk menghadapi ulangan atau ujian.
Baca juga:Tips Cepat Menguasai Soal Ketinggian Maksimum: Conto
Sebelum masuk ke contoh soal, perlu dipahami bahwa fokus dan direktriks merupakan elemen utama dalam menentukan bentuk persamaan parabola. Fokus adalah titik tetap yang berada di dalam parabola, sedangkan direktriks adalah garis tetap yang berada di luar parabola. Setiap titik pada parabola memiliki jarak yang sama ke fokus dan ke direktriks. Jika fokus berada di titik (F(p, q)) dan direktriks berbentuk garis (ax + by + c = 0), maka persamaan parabola dapat diperoleh dari kondisi:
[
\sqrt{(x-p)^2 + (y-q)^2} = \frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
]
Langkah umum untuk menyelesaikan soal ini adalah menentukan jarak dari titik (P(x, y)) ke fokus, kemudian menentukan jarak dari titik (P(x, y)) ke direktriks. Setelah itu, kedua jarak disamakan, kemudian kuadratkan untuk menghilangkan akar. Terakhir, lakukan penyederhanaan sehingga menghasilkan bentuk persamaan parabola. Biasanya hasil akhir berupa bentuk standar seperti (y = ax^2 + bx + c) atau (x = ay^2 + by + c), tergantung orientasi parabola.
Agar lebih jelas, berikut beberapa contoh soal beserta pembahasannya. Contoh soal ini disusun dari tingkat mudah hingga menengah sehingga cocok untuk pemula maupun yang sudah memahami konsep dasar.
Contoh Soal 1: Fokus di Titik (0, 2) dan Direktriks y = -2
Soal: Tentukan persamaan parabola jika fokus berada di titik (F(0, 2)) dan direktriksnya adalah garis (y = -2).
Pembahasan: Fokus (F(0,2)). Direktriks (y = -2) dapat ditulis menjadi (y + 2 = 0) sehingga (a = 0), (b = 1), (c = 2). Misalkan (P(x, y)) adalah titik pada parabola. Jarak dari (P) ke fokus:
[
\sqrt{(x-0)^2 + (y-2)^2}
]
Jarak dari (P) ke direktriks:
[
\frac{|y + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |y + 2|
]
Karena jarak selalu positif, maka persamaan parabola diperoleh dari:
[
\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = |y + 2|
]
Kuadratkan kedua sisi:
[
x^2 + (y-2)^2 = (y+2)^2
]
[
x^2 + y^2 – 4y + 4 = y^2 + 4y + 4
]
[
x^2 – 4y = 4y
]
[
x^2 = 8y
]
Jadi, persamaan parabola adalah (x^2 = 8y). Bentuk ini menunjukkan parabola membuka ke atas dengan puncak di titik (0,0).
Contoh Soal 2: Fokus di (3, 0) dan Direktriks x = -1
Soal: Tentukan persamaan parabola dengan fokus (F(3, 0)) dan direktriks (x = -1).
Pembahasan: Fokus (F(3,0)). Direktriks (x = -1) ditulis sebagai (x + 1 = 0). Misalkan (P(x, y)) adalah titik pada parabola. Jarak dari (P) ke fokus:
[
\sqrt{(x-3)^2 + y^2}
]
Jarak dari (P) ke direktriks:
[
|x + 1|
]
Maka persamaan parabola:
[
\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = |x + 1|
]
Kuadratkan:
[
(x-3)^2 + y^2 = (x+1)^2
]
[
x^2 – 6x + 9 + y^2 = x^2 + 2x + 1
]
[
y^2 = 8x – 8
]
[
y^2 = 8(x – 1)
]
Jadi persamaan parabola adalah (y^2 = 8(x-1)). Parabola ini membuka ke kanan dengan puncak di titik (1,0).
Contoh Soal 3: Fokus (2, 3) dan Direktriks x + y – 1 = 0
Soal: Tentukan persamaan parabola dengan fokus (F(2, 3)) dan direktriks (x + y – 1 = 0).
Pembahasan: Fokus (F(2,3)). Direktriks (x + y – 1 = 0) sehingga (a = 1), (b = 1), (c = -1). Jarak dari (P(x, y)) ke fokus:
[
\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2}
]
Jarak dari (P) ke direktriks:
[
\frac{|x + y – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y – 1|}{\sqrt{2}}
]
Maka persamaan parabola:
[
\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = \frac{|x + y – 1|}{\sqrt{2}}
]
Kuadratkan kedua sisi:
[
(x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x+y-1)^2}{2}
]
Kalikan 2:
[
2[(x-2)^2 + (y-3)^2] = (x+y-1)^2
]
[
2(x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9) = x^2 + y^2 + 2xy – 2x – 2y + 1
]
[
2x^2 – 8x + 8 + 2y^2 – 12y + 18 = x^2 + y^2 + 2xy – 2x – 2y + 1
]
[
x^2 + y^2 – 2xy – 6x – 10y + 25 = 0
]
Hasil akhir berupa persamaan kuadrat dalam x dan y. Persamaan ini menunjukkan parabola yang tidak sejajar sumbu x maupun y karena direktriksnya miring.
Contoh Soal 4: Fokus (0, -3) dan Direktriks y = 1
Soal: Tentukan persamaan parabola jika fokus (F(0, -3)) dan direktriks (y = 1).
Pembahasan: Fokus (F(0,-3)). Direktriks (y = 1) ditulis sebagai (y – 1 = 0). Jarak titik (P(x, y)) ke fokus:
[
\sqrt{x^2 + (y+3)^2}
]
Jarak ke direktriks:
[
|y – 1|
]
Persamaan parabola:
[
\sqrt{x^2 + (y+3)^2} = |y – 1|
]
Kuadratkan:
[
x^2 + (y+3)^2 = (y-1)^2
]
[
x^2 + y^2 + 6y + 9 = y^2 – 2y + 1
]
[
x^2 + 8y + 8 = 0
]
[
x^2 = -8(y + 1)
]
Jadi, persamaan parabola adalah (x^2 = -8(y+1)). Parabola ini membuka ke bawah dengan puncak di titik (0, -1).
Contoh Soal 5: Fokus (1, 2) dan Direktriks x – y + 1 = 0
Soal: Tentukan persamaan parabola dengan fokus (F(1, 2)) dan direktriks (x – y + 1 = 0).
Pembahasan: Fokus (F(1,2)). Direktriks (x – y + 1 = 0) sehingga (a = 1), (b = -1), (c = 1). Jarak titik (P(x, y)) ke fokus:
[
\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}
]
Jarak ke direktriks:
[
\frac{|x – y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{2}}
]
Persamaan parabola:
[
\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = \frac{|x – y + 1|}{\sqrt{2}}
]
Kuadratkan:
[
(x-1)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x-y+1)^2}{2}
]
Kalikan 2 dan sederhanakan, hasil akhir akan berbentuk persamaan kuadrat yang menunjukkan parabola miring.
Agar kamu lebih cepat mengerjakan soal, ada beberapa tips penting yang bisa dipraktikkan. Pertama, pastikan fokus dan direktriks sudah dituliskan dengan benar. Kedua, gunakan rumus jarak titik ke garis yang benar yaitu (\frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}). Ketiga, kuadratkan kedua sisi dengan hati-hati agar tidak salah dalam mengalikan suku. Keempat, lakukan penyederhanaan secara sistematis sehingga persamaan akhir mudah dibaca. Latihan soal yang konsisten akan membantu kamu menguasai materi ini dengan cepat.
Parabola memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pada reflektor antena parabola, lampu sorot, dan desain jembatan. Konsep fokus dan direktriks juga menjadi dasar dalam memahami sifat pantulan cahaya pada parabola. Karena itu, menguasai materi ini tidak hanya berguna untuk ujian, tetapi juga untuk memahami fenomena fisika dan teknologi.
Jika kamu ingin latihan lebih banyak, kamu bisa mencoba membuat soal dengan fokus dan direktriks yang berbeda, misalnya fokus di ((p,0)) dan direktriks (x = -p), atau fokus di ((0,p)) dan direktriks (y = -p). Selain itu, kamu bisa mencoba soal yang melibatkan parabola miring dengan direktriks berupa garis (y = mx + c). Dengan latihan yang beragam, kemampuanmu dalam menentukan persamaan parabola akan semakin kuat.
Penulis:Loveytha
Post Comment