Contoh Soal Matematika Barisan Geometri Lengkap dengan Pembahasan

Matematika sering menjadi momok bagi sebagian siswa, terutama saat membahas materi barisan geometri. Namun, dengan pemahaman yang tepat dan latihan soal yang cukup, materi ini bisa menjadi mudah dan menyenangkan. Artikel ini akan membahas pengertian barisan geometri, rumus-rumus penting, serta contoh soal lengkap dengan pembahasan agar pembaca bisa menguasai topik ini dengan baik.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal Bakteriologi untuk SMA dan Mahasiswa

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku yang berurutan. Artinya, jika kita membagi suatu suku dengan suku sebelumnya, hasilnya selalu sama. Rasio tetap ini biasanya dilambangkan dengan huruf r.

Secara matematis, barisan geometri bisa ditulis sebagai:$$a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots$$a,ar,ar2,ar3,ar4,…

di mana:

• a = suku pertama
• r = rasio atau perbandingan tetap
• ar^n = suku ke-(n+1)

Contoh sederhana: 2, 4, 8, 16, 32…

• Di sini suku pertama a = 2
• Rasio r = 2 (karena 4 ÷ 2 = 2, 8 ÷ 4 = 2, dst.)

Rumus-rumus Penting dalam Barisan Geometri

Agar bisa mengerjakan soal barisan geometri dengan lancar, ada beberapa rumus penting yang harus diingat:

1. Rumus Suku ke-n (Un)

Suku ke-n dari barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$Un​=a⋅rn−1

Keterangan:

• $U_n$Un​ = suku ke-n
• $a$a = suku pertama
• $r$r = rasio
• $n$n = nomor suku

2. Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Jumlah n suku pertama barisan geometri tergantung pada nilai rasio r.

a. Jika r ≠ 1:

$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​

b. Jika r = 1:

$$S_n = n \cdot a$$Sn​=n⋅a

Rumus ini sangat berguna untuk menghitung total dari beberapa suku pertama barisan geometri.

3. Rumus Suku Tengah

Jika barisan geometri memiliki jumlah suku ganjil, suku tengah dapat dihitung menggunakan:$$U_t = \sqrt{U_k \cdot U_m}$$Ut​=Uk​⋅Um​​

di mana $U_k$Uk​ dan $U_m$Um​ adalah suku yang simetris terhadap suku tengah.

Contoh Soal Barisan Geometri dan Pembahasannya

Berikut ini beberapa contoh soal barisan geometri lengkap dengan pembahasan untuk mempermudah pemahaman.

Contoh Soal 1: Menentukan Suku ke-n

Soal:
Sebuah barisan geometri dimulai dengan suku pertama 3 dan rasio 2. Tentukan suku ke-5.

Pembahasan:
Diketahui:

• a = 3
• r = 2
• n = 5

Rumus suku ke-n: $U_n = a \cdot r^{n-1}$Un​=a⋅rn−1$$U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$$U5​=3⋅25−1=3⋅24=3⋅16=48

Jawaban: Suku ke-5 adalah 48.

Contoh Soal 2: Menentukan Rasio Barisan Geometri

Soal:
Diketahui tiga suku berturut-turut dari barisan geometri adalah 5, x, 20. Tentukan nilai x.

Pembahasan:
Rumus barisan geometri: $\frac{U_2}{U_1} = r$U1​U2​​=r dan $\frac{U_3}{U_2} = r$U2​U3​​=r

• U1 = 5
• U2 = x
• U3 = 20

Maka:$$r = \frac{x}{5} = \frac{20}{x}$$r=5x​=x20​

Sehingga:$$x^2 = 5 \cdot 20 = 100 \implies x = 10$$x2=5⋅20=100⟹x=10

Jawaban: x = 10

Contoh Soal 3: Menentukan Jumlah n Suku Pertama

Soal:
Hitung jumlah 6 suku pertama dari barisan geometri 2, 6, 18, …

Pembahasan:
Diketahui:

• a = 2
• r = 3
• n = 6

Rumus jumlah n suku pertama:$$S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}$$Sn​=ar−1rn−1​ $$S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 – 1}{3 – 1} = 2 \cdot \frac{729 – 1}{2} = 2 \cdot \frac{728}{2} = 728$$S6​=2⋅3−136−1​=2⋅2729−1​=2⋅2728​=728

Jawaban: Jumlah 6 suku pertama adalah 728

Contoh Soal 4: Menentukan Suku Tengah

Soal:
Suku ke-1 hingga suku ke-5 dari barisan geometri adalah 2, 6, 18, … Tentukan suku tengah.

Pembahasan:

• Diketahui: a = 2, r = 3, n = 5 (jumlah suku ganjil)
• Suku tengah adalah suku ke-3

$$U_3 = a \cdot r^{3-1} = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$$U3​=a⋅r3−1=2⋅32=2⋅9=18

Jawaban: Suku tengah adalah 18

Contoh Soal 5: Soal Cerita

Soal:
Seorang investor menaruh uang Rp1.000.000 di bank dengan bunga yang membuat jumlah uangnya bertambah 20% setiap bulan. Tentukan jumlah uang setelah 6 bulan.

Pembahasan:
Barisan geometri:

• a = 1.000.000
• r = 1 + 20% = 1,2
• n = 6

$$U_6 = 1.000.000 \cdot 1,2^{6-1} = 1.000.000 \cdot 1,2^5$$U6​=1.000.000⋅1,26−1=1.000.000⋅1,25

Hitung $1,2^5$1,25:

• 1,2 × 1,2 = 1,44
• 1,44 × 1,2 = 1,728
• 1,728 × 1,2 = 2,0736
• 2,0736 × 1,2 ≈ 2,48832

$$U_6 = 1.000.000 \cdot 2,48832 ≈ 2.488.320$$U6​=1.000.000⋅2,48832≈2.488.320

Jawaban: Jumlah uang setelah 6 bulan ≈ Rp2.488.320

Tips Belajar Barisan Geometri

1. Pahami konsep dasar rasio – Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami hubungan antar suku.
2. Latihan soal bertahap – Mulai dari soal sederhana hingga soal cerita.
3. Gunakan rumus dengan benar – Selalu cek apakah r ≠ 1 sebelum memakai rumus jumlah suku pertama.
4. Visualisasi dengan tabel – Membuat tabel suku barisan bisa membantu melihat pola.
5. Latihan soal campuran – Gabungkan soal menentukan suku, rasio, jumlah suku, dan suku tengah agar lebih mahir.

baca juga:Nasrullah Yusuf Serahkan Cenderamata Khas Lampung Karya Mahasiswa Teknokrat kepada Menteri Koperasi RI di Silaknas ICMI 2025

Kesimpulan

Barisan geometri adalah salah satu materi matematika yang mudah dipelajari jika memahami konsep rasio dan rumus dasar. Kunci utama menguasai materi ini adalah:

• Menghafal rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama
• Latihan soal secara rutin
• Memahami konsep, bukan sekadar menghafal

Dengan memahami contoh-contoh soal di atas, siswa dapat lebih percaya diri menghadapi soal barisan geometri di ujian atau tugas matematika.

penulis:putra