Contoh Soal Limit Bentuk Akar Menggunakan Perkalian Sekawan (Plus Tips Cepat)

Limit fungsi adalah salah satu materi penting dalam matematika SMA, khususnya kelas 11. Salah satu bentuk limit yang sering muncul adalah limit bentuk akar kuadrat, yang biasanya menimbulkan bentuk tak tentu 0/0. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, salah satu metode paling efektif adalah perkalian sekawan.

Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal limit bentuk akar, langkah-langkah penyelesaian menggunakan perkalian sekawan, serta tips cepat agar lebih mudah dikuasai dan diingat.

Pengertian Limit Bentuk Akar

Limit bentuk akar adalah limit fungsi yang mengandung akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau bentuk akar lainnya. Limit ini menjadi penting karena bentuk akar sering muncul dalam soal kalkulus awal, terutama untuk menghitung nilai mendekati suatu titik.

Contoh bentuk limit akar:$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}, \quad \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$$x→4lim​x−4x​−2​,x→1lim​x−1x+3​−2​,x→0lim​x1+2x​−1​

Jika langsung disubstitusi, semua contoh di atas menghasilkan 0/0, sehingga perlu teknik aljabar untuk menyelesaikannya.

Apa Itu Metode Perkalian Sekawan?

Metode perkalian sekawan adalah teknik aljabar untuk menghilangkan akar kuadrat pada pembilang atau penyebut. Metode ini menggunakan konjugat dari bentuk akar kuadrat.

Konjugat dari $\sqrt{a}-\sqrt{b}$a​−b​ adalah $\sqrt{a}+\sqrt{b}$a​+b​.

Rumusnya:$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$$(a​−b​)(a​+b​)=a−b

Dengan teknik ini, bentuk 0/0 dapat disederhanakan menjadi bentuk yang mudah dihitung.

Langkah-Langkah Menggunakan Perkalian Sekawan

1. Identifikasi bentuk limit. Jika menghasilkan 0/0, lanjut ke langkah berikut.
2. Tentukan konjugat pembilang atau penyebut yang mengandung akar.
3. Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat tersebut.
4. Sederhanakan hasil perkalian hingga faktor $x-a$x−a dapat dibatalkan.
5. Substitusi nilai limit $x \to a$x→a setelah disederhanakan.

Kumpulan Contoh Soal Limit Bentuk Akar

Berikut 10 contoh soal limit bentuk akar dengan perkalian sekawan, lengkap dengan pembahasan step by step.

Soal 1

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$x→4lim​x−4x​−2​

Pembahasan:

Kalikan konjugat pembilang:$$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2}$$x−4x​−2​⋅x​+2x​+2​=(x−4)(x​+2)x−4​=x​+21​

Substitusi $x=4$x=4:$$\frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$$2+21​=41​

Soal 2

$$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$$x→9lim​x−9x​−3​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} = \frac{x-9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}$$x−9x​−3​⋅x​+3x​+3​=(x−9)(x​+3)x−9​=x​+31​

Substitusi $x=9$x=9:$$\frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$$3+31​=61​

Baca Juga : Contoh Soal Tes Masuk S2 Lengkap dengan Pembahasan Ter

Soal 3

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$$x→1lim​x−1x+3​−2​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$$x−1x+3​−2​⋅x+3​+2x+3​+2​=(x−1)(x+3​+2)(x+3)−4​=(x−1)(x+3​+2)x−1​=x+3​+21​

Substitusi $x=1$x=1:$$\frac{1}{4}$$41​

Soal 4

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$x→0lim​xx+1​−1​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$xx+1​−1​⋅x+1​+1x+1​+1​=x(x+1​+1)x​=x+1​+11​

Substitusi $x=0$x=0:$$\frac{1}{2}$$21​

Soal 5

$$\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x}-4}{x-16}$$x→16lim​x−16x​−4​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x}-4}{x-16} \cdot \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+4} = \frac{x-16}{(x-16)(\sqrt{x}+4)} = \frac{1}{\sqrt{x}+4}$$x−16x​−4​⋅x​+4x​+4​=(x−16)(x​+4)x−16​=x​+41​

Substitusi $x=16$x=16:$$\frac{1}{8}$$81​

Soal 6

$$\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x}-5}{x-25}$$x→25lim​x−25x​−5​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x}-5}{x-25} \cdot \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \frac{x-25}{(x-25)(\sqrt{x}+5)} = \frac{1}{\sqrt{x}+5}$$x−25x​−5​⋅x​+5x​+5​=(x−25)(x​+5)x−25​=x​+51​

Substitusi $x=25$x=25:$$\frac{1}{10}$$101​

Soal 7

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$$x→0lim​x1+2x​−1​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+1}{\sqrt{1+2x}+1} = \frac{2x}{x(\sqrt{1+2x}+1)} = \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}$$x1+2x​−1​⋅1+2x​+11+2x​+1​=x(1+2x​+1)2x​=1+2x​+12​

Substitusi $x=0$x=0:

$$1$$1

Soal 8

Baca Juga : Universitas Teknokrat Indonesia Masuk 10 Besar Kampus Swasta Terbaik Nasional Versi AppliedHE ASEAN 2026

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$$x→4lim​x−4x+5​−3​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3} = \frac{x+5-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$$x−4x+5​−3​⋅x+5​+3x+5​+3​=(x−4)(x+5​+3)x+5−9​=(x−4)(x+5​+3)x−4​=x+5​+31​

Substitusi $x=4$x=4:$$\frac{1}{6}$$61​

Soal 9

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}$$x→1lim​x−13x+1​−2​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{3x+1}+2}{\sqrt{3x+1}+2} = \frac{3x+1-4}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)} = \frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}$$x−13x+1​−2​⋅3x+1​+23x+1​+2​=(x−1)(3x+1​+2)3x+1−4​=(x−1)(3x+1​+2)3(x−1)​=3x+1​+23​

Substitusi $x=1$x=1:$$\frac{3}{4}$$43​

Soal 10

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+5x}-1}{x}$$x→0lim​x1+5x​−1​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{1+5x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+5x}+1}{\sqrt{1+5x}+1} = \frac{5x}{x(\sqrt{1+5x}+1)} = \frac{5}{\sqrt{1+5x}+1}$$x1+5x​−1​⋅1+5x​+11+5x​+1​=x(1+5x​+1)5x​=1+5x​+15​

Substitusi $x=0$x=0:$$\frac{5}{2}$$25​

Tips Cepat Menguasai Limit Bentuk Akar

1. Kenali bentuk tak tentu 0/0 – Jika muncul, pakai perkalian sekawan.
2. Gunakan konjugat dengan tepat – Pembilang atau penyebut yang mengandung akar kuadrat dikalikan konjugatnya.
3. Sederhanakan faktor x−ax-ax−a – Agar bisa dibatalkan sebelum substitusi.
4. Latihan soal rutin – Semakin sering latihan, semakin cepat mengenali pola.
5. Ingat pola umum – Bentuk $\sqrt{ax+b}-c$ax+b​−c sering muncul dalam soal limit SMA.

Kesimpulan

Limit bentuk akar sering menimbulkan bentuk tak tentu 0/0, sehingga memerlukan metode perkalian sekawan untuk menyelesaikannya. Dari 10 contoh soal di atas, terlihat pola yang sama: bentuk 0/0 → kalikan konjugat → sederhanakan → substitusi → hasil limit.

Menguasai teknik ini sangat membantu dalam menghadapi soal ujian matematika, termasuk ujian sekolah dan ujian nasional. Dengan latihan rutin dan pemahaman konsep, siswa akan mampu menyelesaikan soal limit bentuk akar dengan cepat dan akurat.

Penulis : Reyfeen Andrian