Contoh Soal Eliminasi Gauss 3×3 dan 4×4 Beserta Penjelasan Matriks Eselon Baris

Dalam studi aljabar linear, menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) dengan banyak variabel memerlukan metode yang terstruktur agar tidak terjadi kesalahan perhitungan. Salah satu metode yang paling populer dan efektif adalah Eliminasi Gauss. Metode ini bekerja dengan mengubah sistem persamaan menjadi bentuk matriks dan memanipulasinya hingga mencapai bentuk tertentu yang disebut Matriks Eselon Baris.

baca lagi : Latihan Soal Investigasi Statistika: Tips dan Trik Agar Cepat Mahir

Artikel ini akan membahas secara mendalam contoh soal eliminasi Gauss untuk ukuran matriks 3×3 dan 4×4, serta penjelasan mengenai karakteristik utama dari matriks eselon baris yang menjadi kunci penyelesaiannya.

Apa Itu Matriks Eselon Baris?

Sebelum masuk ke contoh soal, kita harus memahami target akhir dari proses eliminasi Gauss. Sebuah matriks dikatakan berada dalam bentuk Eselon Baris jika memenuhi kriteria berikut:

1. Satu Utama (Leading One): Pada setiap baris yang tidak seluruhnya nol, elemen pertama yang bukan nol adalah angka 1.
2. Pola Tangga: Jika ada baris yang seluruhnya nol, maka baris tersebut diletakkan di bagian paling bawah matriks.
3. Posisi Satu Utama: Satu utama pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris di atasnya.

Dengan mencapai bentuk ini, kita dapat melakukan substitusi balik untuk menemukan nilai setiap variabel dengan sangat mudah.

Contoh Soal Eliminasi Gauss 3×3

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut:

1. $x + y + 2z = 9$
2. $2x + 4y – 3z = 1$
3. $3x + 6y – 5z = 0$

Langkah 1: Representasi Matriks Augmented

Ubah SPL menjadi matriks diperbesar (augmented matrix):

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 2 & 4 & -3 & | & 1 \\ 3 & 6 & -5 & | & 0 \end{bmatrix}$$

Langkah 2: Membuat Nol pada Kolom Pertama

Baris pertama sudah memiliki satu utama di posisi (1,1). Gunakan baris ini untuk mengenolkan elemen di bawahnya:

• $R_2 = R_2 – 2R_1$
• $R_3 = R_3 – 3R_1$

Hasilnya:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 0 & 2 & -7 & | & -17 \\ 0 & 3 & -11 & | & -27 \end{bmatrix}$$

Langkah 3: Membuat Satu Utama pada Baris Kedua

Bagi baris kedua ($R_2$) dengan 2:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3.5 & | & -8.5 \\ 0 & 3 & -11 & | & -27 \end{bmatrix}$$

Langkah 4: Membuat Nol di Bawah Satu Utama Kolom Kedua

Gunakan $R_2$ untuk mengenolkan angka 3 di baris ketiga:

• $R_3 = R_3 – 3R_2$

Hasilnya:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3.5 & | & -8.5 \\ 0 & 0 & -0.5 & | & -1.5 \end{bmatrix}$$

Langkah 5: Membuat Satu Utama Terakhir

Bagi $R_3$ dengan -0.5:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3.5 & | & -8.5 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix}$$

Matriks ini kini sudah dalam bentuk Eselon Baris.

Langkah 6: Substitusi Balik

Dari baris ketiga: $z = 3$

Dari baris kedua: $y – 3.5(3) = -8.5 \Rightarrow y – 10.5 = -8.5 \Rightarrow y = 2$

Dari baris pertama: $x + 2 + 2(3) = 9 \Rightarrow x + 8 = 9 \Rightarrow x = 1$

Himpunan Penyelesaian: (1, 2, 3)

Contoh Soal Eliminasi Gauss 4×4

Sistem dengan 4 variabel sering ditemukan dalam masalah optimasi atau teknik. Berikut adalah contohnya:

1. $w + x + y + z = 10$
2. $2w + 3x – y + 4z = 21$
3. $w + 2x + 2y – z = 7$
4. $w + x – y + 2z = 11$

Langkah 1: Matriks Augmented

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 2 & 3 & -1 & 4 & | & 21 \\ 1 & 2 & 2 & -1 & | & 7 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & | & 11 \end{bmatrix}$$

Langkah 2: Operasi Baris untuk Kolom Pertama

• $R_2 = R_2 – 2R_1$
• $R_3 = R_3 – R_1$
• $R_4 = R_4 – R_1$

Hasilnya:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$$

Langkah 3: Operasi Baris untuk Kolom Kedua

Kita sudah punya satu utama di $R_2$ kolom kedua. Sekarang nolkan elemen di bawahnya ($R_3$):

• $R_3 = R_3 – R_2$

Hasilnya:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -4 & | & -4 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$$

Langkah 4: Membuat Satu Utama pada Kolom Ketiga

Bagi $R_3$ dengan 4:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$$

Langkah 5: Mengenolkan Kolom Ketiga dan Keempat

• $R_4 = R_4 + 2R_3$Hasilnya:$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & -1 \end{bmatrix}$$Kalikan $R_4$ dengan -1 untuk mendapatkan satu utama di kolom terakhir.

Langkah 6: Substitusi Balik

1. $z = 1$
2. $y – 1 = -1 \Rightarrow y = 0$
3. $x – 3(0) + 2(1) = 1 \Rightarrow x = -1$
4. $w + (-1) + 0 + 1 = 10 \Rightarrow w = 10$

Himpunan Penyelesaian: (10, -1, 0, 1)

Pentingnya Ketelitian dalam Operasi Baris Elementer (OBE)

Dalam mengerjakan eliminasi Gauss, terutama pada ukuran 4×4, kesalahan pada satu operasi penjumlahan akan mengakibatkan seluruh nilai variabel menjadi salah. Oleh karena itu, sangat disarankan untuk selalu memeriksa kembali hasil setiap baris sebelum melangkah ke kolom berikutnya.

Bentuk eselon baris adalah fondasi utama. Jika Anda diminta untuk melakukan Eliminasi Gauss-Jordan, Anda hanya perlu melangkah lebih jauh dengan mengenolkan elemen-elemen di atas satu utama sehingga membentuk Matriks Eselon Baris Tereduksi.

baca lagi : Mahasiswa Universitas Teknokrat Indonesia Sabet Medali Emas di Sriwijaya International Taekwondo Championship 2025

Kesimpulan

Metode Eliminasi Gauss 3×3 dan 4×4 memberikan kerangka kerja yang solid untuk memecahkan sistem persamaan linear yang kompleks. Dengan fokus pada pembentukan satu utama dan mengenolkan elemen di bawahnya, kita dapat menyederhanakan masalah matematika yang terlihat rumit menjadi rangkaian substitusi sederhana.

penulis : dinda rahma wati