Contoh Soal Dilatasi pada Koordinat Kartesius Lengkap dengan Pembahasan

Dilatasi adalah salah satu transformasi geometri yang penting dalam matematika, khususnya dalam materi geometri koordinat. Transformasi ini sering muncul dalam soal matematika SMP, SMA, maupun ujian nasional. Memahami konsep dilatasi dan mampu mengerjakan soal secara tepat akan membantu siswa dalam meningkatkan kemampuan analisis ruang dan koordinat. Pada artikel ini, kita akan membahas pengertian dilatasi, rumus dilatasi pada koordinat kartesius, serta contoh soal dilatasi beserta pembahasan lengkapnya.

baca juga:Kumpulan Contoh Soal MAPSI SD untuk Persiapan Lomba dan Ujian

Pengertian Dilatasi pada Koordinat Kartesius

Dilatasi merupakan transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun, baik memperbesar atau memperkecil, tanpa mengubah bentuknya. Titik-titik pada bangun akan bergerak menjauhi atau mendekati titik pusat dilatasi, tergantung pada faktor skala yang digunakan.

Dalam koordinat kartesius, dilatasi dapat dijelaskan dengan rumus:$$(x’, y’) = (k \cdot (x – x_0) + x_0, \, k \cdot (y – y_0) + y_0)$$(x′,y′)=(k⋅(x−x0​)+x0​,k⋅(y−y0​)+y0​)

Keterangan:

• $(x, y)$(x,y) = koordinat titik awal
• $(x’, y’)$(x′,y′) = koordinat titik hasil dilatasi
• $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) = titik pusat dilatasi
• $k$k = faktor skala (jika $k > 1$k>1, bangun membesar; jika $0 < k < 1$0<k<1, bangun mengecil)

Jika titik pusat dilatasi berada di titik asal (0,0), rumusnya lebih sederhana:$$(x’, y’) = (k \cdot x, k \cdot y)$$(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Sifat-Sifat Dilatasi

Sebelum masuk ke contoh soal, penting memahami sifat-sifat dilatasi, yaitu:

1. Bangun tetap serupa
   Semua sudut tetap sama, dan panjang sisi berubah sesuai faktor skala $k$k.
2. Perbandingan panjang sisi
   Semua sisi baru = sisi lama × faktor skala $k$k.
3. Koordinat titik berubah secara proporsional
   Setiap koordinat berpindah menjauhi atau mendekati titik pusat dilatasi sesuai $k$k.
4. Dilatasi dengan pusat di titik asal memudahkan perhitungan
   Titik pusat di (0,0) membuat rumus lebih sederhana, yaitu mengalikan koordinat dengan $k$k.

Rumus Praktis Dilatasi

1. Dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0)

$$(x’, y’) = (k \cdot x, k \cdot y)$$(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

Contoh:
Titik $A(2,3)$A(2,3) didilatasi dengan faktor skala $k=2$k=2 dari pusat (0,0).$$A’ = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4,6)$$A′=(2⋅2,2⋅3)=(4,6)

2. Dilatasi dengan pusat di titik (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)

$$(x’, y’) = (k(x-x_0)+x_0, \, k(y-y_0)+y_0)$$(x′,y′)=(k(x−x0​)+x0​,k(y−y0​)+y0​)

Contoh:
Titik $B(3,5)$B(3,5) didilatasi dari pusat $P(1,2)$P(1,2) dengan faktor skala $k=3$k=3:$$x’ = 3(3-1)+1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7$$x′=3(3−1)+1=3⋅2+1=7 $$y’ = 3(5-2)+2 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$$y′=3(5−2)+2=3⋅3+2=11

Jadi, $B’ = (7, 11)$B′=(7,11).

Contoh Soal Dilatasi pada Koordinat Kartesius

Untuk memperdalam pemahaman, berikut beberapa contoh soal dilatasi lengkap dengan pembahasannya.

Contoh Soal 1

Soal:
Titik $A(2, 3)$A(2,3), $B(4, 5)$B(4,5), dan $C(6, 1)$C(6,1) membentuk segitiga. Dilatasi dilakukan dari titik pusat (0,0) dengan faktor skala $k=2$k=2. Tentukan koordinat segitiga hasil dilatasi.

Pembahasan:
Gunakan rumus dilatasi dengan pusat di titik asal:$$(x’, y’) = (k \cdot x, k \cdot y)$$(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

• Titik A’:

$$A’ = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4,6)$$A′=(2⋅2,2⋅3)=(4,6)

• Titik B’:

$$B’ = (2 \cdot 4, 2 \cdot 5) = (8,10)$$B′=(2⋅4,2⋅5)=(8,10)

• Titik C’:

$$C’ = (2 \cdot 6, 2 \cdot 1) = (12,2)$$C′=(2⋅6,2⋅1)=(12,2)

Jawaban:$$A'(4,6), B'(8,10), C'(12,2)$$A′(4,6),B′(8,10),C′(12,2)

Contoh Soal 2

Soal:
Segitiga dengan titik $P(1,2)$P(1,2), $Q(3,4)$Q(3,4), dan $R(5,1)$R(5,1) didilatasi dari titik pusat $O(1,1)$O(1,1) dengan faktor skala $k=3$k=3. Tentukan koordinat segitiga hasil dilatasi.

Pembahasan:
Gunakan rumus dilatasi dengan pusat di titik lain:$$(x’,y’) = (k(x-x_0)+x_0, k(y-y_0)+y_0)$$(x′,y′)=(k(x−x0​)+x0​,k(y−y0​)+y0​)

• Titik P’:

$$x’ = 3(1-1)+1 = 1$$x′=3(1−1)+1=1 $$y’ = 3(2-1)+1 = 4$$y′=3(2−1)+1=4

P’ = (1,4)

• Titik Q’:

$$x’ = 3(3-1)+1 = 7$$x′=3(3−1)+1=7 $$y’ = 3(4-1)+1 = 10$$y′=3(4−1)+1=10

Q’ = (7,10)

• Titik R’:

$$x’ = 3(5-1)+1 = 13$$x′=3(5−1)+1=13 $$y’ = 3(1-1)+1 = 1$$y′=3(1−1)+1=1

R’ = (13,1)

Jawaban:$$P'(1,4), Q'(7,10), R'(13,1)$$P′(1,4),Q′(7,10),R′(13,1)

Contoh Soal 3

Soal:
Sebuah persegi panjang memiliki titik $A(2,1)$A(2,1), $B(2,4)$B(2,4), $C(5,4)$C(5,4), dan $D(5,1)$D(5,1). Dilatasi dilakukan dengan faktor skala $k=0.5$k=0.5 dari pusat di titik asal. Tentukan koordinat persegi panjang hasil dilatasi.

Pembahasan:
Rumus untuk pusat di titik asal:$$(x’,y’) = (k \cdot x, k \cdot y)$$(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)

• Titik A’: (2×0.5, 1×0.5) = (1, 0.5)
• Titik B’: (2×0.5, 4×0.5) = (1, 2)
• Titik C’: (5×0.5, 4×0.5) = (2.5, 2)
• Titik D’: (5×0.5, 1×0.5) = (2.5, 0.5)

Jawaban:$$A'(1,0.5), B'(1,2), C'(2.5,2), D'(2.5,0.5)$$A′(1,0.5),B′(1,2),C′(2.5,2),D′(2.5,0.5)

Analisis:
Dilatasi dengan $k<1$k<1 membuat persegi panjang mengecil, tetapi tetap serupa dengan persegi panjang awal.

Contoh Soal 4

Soal:
Segitiga $X(3,2)$X(3,2), $Y(5,6)$Y(5,6), $Z(7,4)$Z(7,4) dilatasi dari titik pusat $C(2,1)$C(2,1) dengan faktor skala $k=2$k=2. Tentukan koordinat segitiga baru.

Pembahasan:

Gunakan rumus:$$(x’,y’) = (k(x-x_0)+x_0, k(y-y_0)+y_0)$$(x′,y′)=(k(x−x0​)+x0​,k(y−y0​)+y0​)

• Titik X’:

$$x’ = 2(3-2)+2 = 4$$x′=2(3−2)+2=4 $$y’ = 2(2-1)+1 = 3$$y′=2(2−1)+1=3

X’ = (4,3)

• Titik Y’:

$$x’ = 2(5-2)+2 = 8$$x′=2(5−2)+2=8 $$y’ = 2(6-1)+1 = 11$$y′=2(6−1)+1=11

Y’ = (8,11)

• Titik Z’:

$$x’ = 2(7-2)+2 = 12$$x′=2(7−2)+2=12 $$y’ = 2(4-1)+1 = 7$$y′=2(4−1)+1=7

Z’ = (12,7)

Jawaban:$$X'(4,3), Y'(8,11), Z'(12,7)$$X′(4,3),Y′(8,11),Z′(12,7)

Tips Cepat Mengerjakan Soal Dilatasi

1. Perhatikan titik pusat dilatasi
   Pastikan menggunakan rumus yang tepat, apakah pusat di titik asal atau titik lain.
2. Identifikasi faktor skala
   • $k > 1$k>1 → bangun membesar
   • $0 < k < 1$0<k<1 → bangun mengecil
   • $k = 1$k=1 → bangun tetap sama
3. Gunakan tabel koordinat
   Buat tabel titik awal dan titik hasil dilatasi agar lebih rapi.
4. Periksa kesamaan bentuk
   Semua sudut tetap sama, jadi jika bentuk terlihat miring atau berubah, cek perhitungan.
5. Gunakan grafik jika perlu
   Menggambar di kertas kotak atau menggunakan software geometri dapat membantu memahami hasil dilatasi.

Manfaat Mempelajari Dilatasi pada Koordinat Kartesius

• Membantu analisis bentuk dan ukuran bangun datar.
• Penting dalam matematika terapan, seperti arsitektur, desain grafis, dan robotika.
• Membantu mengembangkan logika dan keterampilan aljabar.
• Penting untuk ujian matematika nasional dan SBMPTN karena sering muncul pada soal transformasi geometri.

baca juga:Perdana Isra Mi’raj di Masjid Al Hijrah, Hadir Dua Mantan Gubernur Lampung dan Rektor Universitas Teknokrat Indonesia

Kesimpulan

Dilatasi pada koordinat kartesius adalah konsep transformasi yang memperbesar atau memperkecil bangun dengan tetap menjaga bentuknya. Kunci utama dalam mengerjakan soal dilatasi adalah menggunakan rumus yang sesuai dengan titik pusat dan faktor skala. Dengan latihan soal seperti yang telah dibahas, siswa akan lebih mudah memahami pola perubahan koordinat, panjang sisi, dan kesamaan bentuk bangun setelah dilatasi.

penulis:putra