Contoh Soal dan Pembahasan Luas Tembereng Lingkaran Secara MudahContoh Soal dan Pembahasan Luas Tembereng Lingkaran Secara MudahContoh Soal dan Pembahasan Luas Tembereng Lingkaran Secara Mudah

Tembereng lingkaran merupakan salah satu materi penting dalam geometri lingkaran yang biasanya diajarkan di tingkat SMA. Materi ini sangat penting untuk dikuasai karena sering muncul dalam soal ujian sekolah, ujian nasional, hingga seleksi masuk perguruan tinggi. Pemahaman tentang tembereng lingkaran memungkinkan siswa untuk menghitung luas bagian lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur secara tepat.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Bekali Guru SMA Muhammadiyah 1 Kotaagung Pemanfaatan AI dalam Perangkat Ajar

Artikel ini menyajikan contoh soal dan pembahasan luas tembereng lingkaran secara mudah agar siswa dapat belajar mandiri, memahami konsep, dan menguasai teknik penyelesaian soal dengan benar. Semua pembahasan disusun secara sistematis dan mudah dipahami.

Pengertian Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur lingkaran dan tali busur yang menghubungkan dua titik ujung busur tersebut. Tembereng bisa dianggap sebagai “irisan” lingkaran yang berada di antara busur dan tali busur.

Elemen Penting Tembereng Lingkaran

1. Jari-jari lingkaran (r): jarak dari pusat lingkaran ke titik pada keliling.
2. Tali busur (c): garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
3. Sudut pusat (θ): sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang menyinggung ujung-ujung busur.
4. Tinggi tembereng (h): jarak tegak lurus dari tali busur ke busur.

Rumus Luas Tembereng Lingkaran

Ada dua rumus umum yang digunakan:

1. Jika diketahui sudut pusat θ (dalam radian):

$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta)$$L=21​r2(θ−sinθ)

2. Jika diketahui tinggi tembereng h dan jari-jari r:

$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Sudut dalam derajat harus dikonversi ke radian terlebih dahulu:$$\theta (\text{radian}) = \theta (\text{derajat}) \times \frac{\pi}{180}$$θ(radian)=θ(derajat)×180π​

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Hitung luas tembereng jika sudut pusat yang membentuk tembereng adalah 60°.

Pembahasan
Langkah 1: Konversi sudut ke radian$$\theta = 60° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1,0472 \text{ rad}$$θ=60°×180π​=3π​≈1,0472 rad

Langkah 2: Gunakan rumus luas tembereng$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 10^2 (1,0472 – \sin 1,0472)$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×102(1,0472−sin1,0472)

$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = 50 \times (1,0472 – 0,866) = 50 \times 0,1812 \approx 9,06 \text{ cm²}$$L=50×(1,0472−0,866)=50×0,1812≈9,06 cm²

Soal 2
Sebuah lingkaran jari-jari 12 cm memiliki tembereng dengan tinggi 3 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Gunakan rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2}$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​

Substitusi $r = 12, h = 3$r=12,h=3$$\frac{r-h}{r} = \frac{12-3}{12} = 0,75$$rr−h​=1212−3​=0,75

$\arccos 0,75 \approx 0,7227 \text{ rad}$arccos0,75≈0,7227 rad$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 144 \times 0,7227 \approx 103,91$$r2arccos(rr−h​)=144×0,7227≈103,91 $$(r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 9 \sqrt{72 – 9} = 9 \times \sqrt{63} \approx 9 \times 7,94 = 71,46$$(r−h)2rh−h2​=972−9​=9×63​≈9×7,94=71,46 $$L = 103,91 – 71,46 \approx 32,45 \text{ cm²}$$L=103,91−71,46≈32,45 cm²

Soal 3
Sebuah tembereng terbentuk dari busur dengan panjang 8 cm dan jari-jari lingkaran 5 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
Sudut pusat:
$\theta = s / r = 8 / 5 = 1,6 \text{ rad}$θ=s/r=8/5=1,6 rad
$\sin 1,6 \approx 0,9996$sin1,6≈0,9996$$L = \frac{1}{2} r^2 (\theta – \sin \theta) = \frac{1}{2} \times 25 (1,6 – 0,9996) = 12,5 \times 0,6004 \approx 7,50 \text{ cm²}$$L=21​r2(θ−sinθ)=21​×25(1,6−0,9996)=12,5×0,6004≈7,50 cm²

Soal 4
Tentukan tinggi tembereng jika luas tembereng 50 cm² dan jari-jari 10 cm.

Pembahasan
Rumus:$$L = r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) – (r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 50$$L=r2arccos(rr−h​)−(r−h)2rh−h2​=50

Substitusi $r = 10$r=10$$100 \arccos\left(\frac{10-h}{10}\right) – (10-h)\sqrt{20h – h^2} = 50$$100arccos(1010−h​)−(10−h)20h−h2​=50

Persamaan ini diselesaikan dengan pendekatan numerik. Dicoba $h = 4,5$h=4,5 → luas mendekati 50 cm².

Soal 5
Lingkaran jari-jari 8 cm memiliki tembereng dengan sudut pusat 120°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\theta = 120° \times \frac{\pi}{180} = 2\pi/3 \approx 2,094 \text{ rad}$θ=120°×180π​=2π/3≈2,094 rad
$\sin 2,094 \approx 0,866$sin2,094≈0,866$$L = \frac{1}{2} 64 (2,094 – 0,866) = 32 \times 1,228 \approx 39,30 \text{ cm²}$$L=21​64(2,094−0,866)=32×1,228≈39,30 cm²

Soal 6
Lingkaran jari-jari 15 cm memiliki tembereng tinggi 5 cm. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\frac{r-h}{r} = 10/15 \approx 0,6667$rr−h​=10/15≈0,6667
$\arccos 0,6667 \approx 0,8411 \text{ rad}$arccos0,6667≈0,8411 rad$$r^2 \arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) = 225 \times 0,8411 \approx 189,23$$r2arccos(rr−h​)=225×0,8411≈189,23

((r-h)\sqrt{2rh – h^2} = 10 \times \sqrt{150 – 25} = 10 \times \sqrt{125} \approx 111,8
]$$L = 189,23 – 111,8 \approx 77,43 \text{ cm²}$$L=189,23−111,8≈77,43 cm²

Soal 7 (Variasi SMP)
Lingkaran jari-jari 7 cm, sudut pusat 60°. Hitung luas tembereng.

Pembahasan
$\theta = 60° \times \pi /180 = \pi /3 \approx 1,0472$θ=60°×π/180=π/3≈1,0472
$\sin 1,0472 \approx 0,866$sin1,0472≈0,866$$L = \frac{1}{2} 49 (1,0472 – 0,866) = 24,5 \times 0,1812 \approx 4,44 \text{ cm²}$$L=21​49(1,0472−0,866)=24,5×0,1812≈4,44 cm²

Tips Menguasai Soal Tembereng Lingkaran

1. Tentukan elemen penting tembereng: jari-jari, tinggi, busur, sudut pusat.
2. Gunakan rumus sesuai informasi yang tersedia.
3. Konversi sudut ke radian bila diperlukan.
4. Latihan dari soal mudah ke soal sulit agar terbiasa dengan variasi soal.
5. Gunakan kalkulator untuk soal inversi atau numerik agar hasil lebih akurat.

baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara

Kesimpulan

Tembereng lingkaran adalah konsep penting dalam geometri lingkaran yang harus dikuasai siswa SMP dan SMA. Dengan latihan contoh soal dan pembahasan luas tembereng lingkaran secara mudah, siswa dapat memahami hubungan antara busur, tali busur, jari-jari, dan sudut pusat. Artikel ini membantu siswa belajar secara sistematis dan mempersiapkan diri menghadapi ujian dengan percaya diri.

penulis : dinda rahma wati