Contoh Soal Bentuk Rasional Akar Lengkap dengan Pembahasan

Pendahuluan

Materi bentuk rasional akar merupakan salah satu topik penting dalam matematika yang sering dipelajari di SMP kelas 9 dan SMA kelas 10–11. Materi ini berkaitan erat dengan operasi aljabar, khususnya menyederhanakan bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Tidak hanya muncul dalam ujian sekolah, soal bentuk rasional akar juga sering menjadi dasar untuk memahami materi lanjutan seperti fungsi irasional, limit, dan integral.

Baca juga:Contoh Soal Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Lengkap dengan

Oleh karena itu, memahami konsep melalui contoh soal bentuk rasional akar lengkap dengan pembahasan sangat diperlukan agar siswa tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami langkah penyelesaiannya secara logis dan sistematis.

Artikel ini akan membahas:

• Pengertian bentuk rasional akar
• Konsep merasionalkan penyebut
• Rumus dan prinsip dasar
• Contoh soal dari tingkat mudah hingga menengah
• Tips mengerjakan soal bentuk rasional akar

Pengertian Bentuk Rasional Akar

Bentuk rasional akar adalah bentuk aljabar yang melibatkan akar (radikal), baik di pembilang, penyebut, maupun keduanya. Suatu bentuk dikatakan rasional jika penyebutnya tidak mengandung akar.

Contoh bentuk yang belum rasional:

• $\frac{3}{\sqrt{2}}$2​3​
• $\frac{5}{2+\sqrt{3}}$2+3​5​

Contoh bentuk yang sudah rasional:

• $\frac{3\sqrt{2}}{2}$232​​
• $5(2-\sqrt{3})$5(2−3​)

Proses menghilangkan akar di penyebut disebut merasionalkan penyebut.

Prinsip Merasionalkan Bentuk Akar

Tujuan merasionalkan adalah menghilangkan akar di penyebut dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk tertentu tanpa mengubah nilai pecahan.

1. Penyebut Berbentuk Akar Tunggal

Jika penyebut berbentuk $\sqrt{a}$a​, maka dikalikan dengan $\sqrt{a}$a​.

Contoh:$$\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$3​1​×3​3​​=33​​

2. Penyebut Berbentuk Penjumlahan atau Pengurangan Akar

Gunakan sekawan, yaitu bentuk yang tanda operasinya dibalik.

Contoh:

• Sekawan dari $2 + \sqrt{5}$2+5​ adalah $2 – \sqrt{5}$2−5​

Rumus Penting Bentuk Akar

1. $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$a​×b​=ab​
2. $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2
3. $\sqrt{a^2} = a$a2​=a (untuk $a \geq 0$a≥0)

Rumus-rumus ini sangat sering digunakan dalam pembahasan soal bentuk rasional akar.

Contoh Soal Bentuk Rasional Akar dan Pembahasan

Contoh Soal 1 (Dasar)

Soal:
Sederhanakan bentuk berikut:$$\frac{5}{\sqrt{3}}$$3​5​

Pembahasan:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$3​:$$\frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$3​5​×3​3​​=353​​

Jawaban: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$353​​

Contoh Soal 2

Soal:
Rasionalkan bentuk:$$\frac{4}{\sqrt{5}}$$5​4​

Pembahasan:$$\frac{4}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$5​4​×5​5​​=545​​

Jawaban: $\frac{4\sqrt{5}}{5}$545​​

Contoh Soal 3 (Akar di Pembilang dan Penyebut)

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$2​8​​

Pembahasan:$$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$$2​8​​=28​​=4​=2

Jawaban: 2

Contoh Soal 4

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{3\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$3​312​​

Pembahasan:$$\frac{3\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{\frac{12}{3}} = 3\sqrt{4} = 6$$3​312​​=3312​​=34​=6

Jawaban: 6

Contoh Soal 5 (Sekawan)

Soal:
Rasionalkan penyebut dari:$$\frac{2}{3 + \sqrt{5}}$$3+5​2​

Pembahasan:
Sekawan dari $3 + \sqrt{5}$3+5​ adalah $3 – \sqrt{5}$3−5​.$$\frac{2}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 – \sqrt{5}}{3 – \sqrt{5}}$$3+5​2​×3−5​3−5​​

Penyebut:$$(3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5}) = 9 – 5 = 4$$(3+5​)(3−5​)=9−5=4

Pembilang:$$2(3 – \sqrt{5}) = 6 – 2\sqrt{5}$$2(3−5​)=6−25​

Hasil:$$\frac{6 – 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 – \sqrt{5}}{2}$$46−25​​=23−5​​

Jawaban: $\frac{3 – \sqrt{5}}{2}$23−5​​

Contoh Soal 6

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{5}{2 – \sqrt{3}}$$2−3​5​

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan $2 + \sqrt{3}$2+3​:$$\frac{5(2 + \sqrt{3})}{(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$$(2−3​)(2+3​)5(2+3​)​

Penyebut:$$4 – 3 = 1$$4−3=1

Hasil:$$5(2 + \sqrt{3}) = 10 + 5\sqrt{3}$$5(2+3​)=10+53​

Jawaban: $10 + 5\sqrt{3}$10+53​

Contoh Soal 7 (Campuran Koefisien)

Soal:
Rasionalkan:$$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$$8​32​​

Pembahasan:$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$8​=22​ $$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$$22​32​​=23​

Jawaban: $\frac{3}{2}$23​

Contoh Soal 8 (Operasi Penjumlahan)

Soal:
Hitung hasil:$$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}}$$2​1​+8​1​

Pembahasan:$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{dan} \quad \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{8}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$2​1​=22​​dan8​1​=88​​=42​​ $$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$22​​+42​​=432​​

Jawaban: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$432​​

Contoh Soal 9 (Bentuk Pecahan Kompleks)

Soal:
Sederhanakan:$$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\sqrt{12}}$$12​3​2​​

Pembahasan:$$\frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{36}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$3​⋅12​2​=36​2​=62​=31​

Jawaban: $\frac{1}{3}$31​

Contoh Soal 10 (Tingkat Menengah)

Soal:
Rasionalkan dan sederhanakan:$$\frac{4}{\sqrt{5} – \sqrt{2}}$$5​−2​4​

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan $\sqrt{5} + \sqrt{2}$5​+2​:$$\frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 – 2}$$5−24(5​+2​)​ $$= \frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$$=34(5​+2​)​

Jawaban: $\frac{4(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$34(5​+2​)​

Kesalahan Umum dalam Soal Bentuk Rasional Akar

Beberapa kesalahan yang sering terjadi:

• Tidak mengalikan pembilang dan penyebut
• Salah menentukan sekawan
• Kesalahan operasi aljabar
• Tidak menyederhanakan bentuk akhir
• Lupa menyederhanakan akar

Tips Mengerjakan Soal Bentuk Rasional Akar

1. Pastikan penyebut akhir tidak mengandung akar
2. Gunakan sekawan jika penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan
3. Sederhanakan akar terlebih dahulu jika memungkinkan
4. Kerjakan langkah demi langkah
5. Periksa kembali hasil akhir

Manfaat Mempelajari Bentuk Rasional Akar

• Melatih ketelitian dalam aljabar
• Dasar penting untuk materi matematika lanjutan
• Sering muncul dalam ujian sekolah dan seleksi masuk
• Membantu memahami konsep irasional

Baca juga:Afan Alfian Prodi S1 Sastra Inggris Raih Juara 1 Kategori Scrabble Intermediate English Proficiency Awards (EPA) 2025

Kesimpulan

Materi bentuk rasional akar menuntut pemahaman konsep dan ketelitian dalam perhitungan. Dengan mempelajari contoh soal bentuk rasional akar lengkap dengan pembahasan, siswa dapat memahami cara merasionalkan penyebut, menggunakan sekawan, serta menyederhanakan hasil akhir dengan benar.

Latihan yang konsisten akan membuat siswa lebih percaya diri dalam menghadapi soal-soal aljabar, baik di tingkat SMP maupun SMA.

penulis:bagas