Contoh-Contoh Soal Permutasi Lengkap dengan Pembahasan Mudah Dipahami

Permutasi adalah salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya dalam kombinatorika. Banyak siswa sering merasa bingung ketika pertama kali mempelajarinya. Namun, dengan contoh soal dan pembahasan yang tepat, konsep permutasi menjadi lebih mudah dipahami dan diterapkan. Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian permutasi, rumus, jenis-jenis soal, serta contoh-contoh soal beserta pembahasannya yang bisa membantu meningkatkan pemahaman Anda.

Apa Itu Permutasi?

Permutasi adalah susunan atau pengaturan ulang dari sejumlah objek atau elemen tertentu. Permutasi berbeda dengan kombinasi, karena urutan objek dalam permutasi memiliki arti penting.

Contoh sederhana: Misalkan ada 3 huruf, A, B, dan C. Jika kita ingin menyusunnya, maka semua urutan yang mungkin adalah:

Baca juga:Kumpulan Contoh Soal Uji Lanjut BNT Beserta Pembahasan Lengkap

🔖 Baca juga:

Kumpulan Contoh Soal Duopoli Ekonomi Mikro dan Jawabannya

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CBA

Total ada 6 kemungkinan susunan. Inilah yang disebut permutasi.

Rumus Permutasi

Secara umum, permutasi dari $n$n objek yang diambil $r$r sekaligus dapat dihitung menggunakan rumus:$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$P(n,r)=(n−r)!n!​

Keterangan:

• $n!$n! = faktorial dari n, yaitu $n \times (n-1) \times … \times 2 \times 1$n×(n−1)×…×2×1
• $r$r = jumlah objek yang diambil dari n objek
• $P(n, r)$P(n,r) = jumlah permutasi dari n objek yang diambil r

Jika semua objek digunakan (r = n), maka rumusnya menjadi:$$P(n) = n!$$P(n)=n!

Jenis-Jenis Permutasi

Permutasi dapat dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu:

1. Permutasi Biasa
   Susunan elemen tanpa adanya pengulangan. Contoh: Susunan huruf A, B, C → ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
2. Permutasi dengan Pengulangan
   Beberapa elemen bisa digunakan lebih dari sekali. Contoh: Menyusun kata “ANA” → AAN, ANA, NAA
3. Permutasi Siklis
   Susunan yang mempertimbangkan urutan dalam lingkaran atau sirkuler. Contoh: Meja bundar yang diisi 4 orang, urutan yang berputar dianggap sama → $(n-1)! = 3! = 6$(n−1)!=3!=6

Contoh-Contoh Soal Permutasi dan Pembahasannya

Berikut ini beberapa contoh soal permutasi dari tingkat mudah hingga sulit, lengkap dengan pembahasan.

Contoh 1: Permutasi Sederhana

Soal:
Berapa banyak susunan yang bisa dibuat dari huruf-huruf A, B, dan C?

Pembahasan:
Jumlah huruf = 3, semua huruf digunakan → $n = 3$n=3

Rumus permutasi: $P(n) = n! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$P(n)=n!=3!=3×2×1=6

Jawaban: 6 susunan.

Contoh 2: Permutasi Sebagian

Soal:
Dari 5 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk duduk berurutan di barisan depan?

Pembahasan:
Jumlah siswa = 5, jumlah yang dipilih = 3 → $n = 5, r = 3$n=5,r=3

Rumus:$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$$P(n,r)=(n−r)!n!​=(5−3)!5!​=2120​=60

Jawaban: 60 cara

Contoh 3: Permutasi dengan Pengulangan

Soal:
Berapa banyak kata 3 huruf yang bisa dibentuk dari huruf-huruf A, B, A?

Pembahasan:
Jika huruf ada pengulangan (A muncul 2 kali), rumus permutasi dengan pengulangan:$$\text{Permutasi} = \frac{n!}{p_1! \times p_2! \times …}$$Permutasi=p1​!×p2​!×…n!​

Di sini, $n = 3$n=3, $p_1 = 2$p1​=2 untuk huruf A, $p_2 = 1$p2​=1 untuk huruf B:$$\text{Permutasi} = \frac{3!}{2! \times 1!} = \frac{6}{2} = 3$$Permutasi=2!×1!3!​=26​=3

Kata yang terbentuk: AAB, ABA, BAA

Jawaban: 3 susunan

Contoh 4: Permutasi Siklis

Soal:
Empat teman duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara mereka bisa duduk?

Pembahasan:
Untuk permutasi sirkuler: $(n-1)!$(n−1)!$$(n-1)! = (4-1)! = 3! = 6$$(n−1)!=(4−1)!=3!=6

Jawaban: 6 cara

Contoh 5: Permutasi dengan Kondisi Tertentu

Soal:
Dari huruf-huruf P, Q, R, S, T, berapa banyak susunan 3 huruf yang diawali dengan huruf P?

Pembahasan:
Posisi pertama sudah ditentukan → 1 pilihan (P)
Sisa huruf yang bisa dipilih = Q, R, S, T → 4 huruf, memilih 2 → $P(4,2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12$P(4,2)=(4−2)!4!​=224​=12

Jawaban: 12 susunan

Contoh 6: Permutasi Huruf Sama dan Berbeda

Soal:
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf dalam kata “BANANA”?

Pembahasan:
Jumlah huruf = 6 (B, A, N, A, N, A)
Huruf yang berulang: A muncul 3 kali, N muncul 2 kali, B muncul 1 kali

Rumus permutasi dengan pengulangan:$$\frac{6!}{3! \times 2! \times 1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$$3!×2!×1!6!​=6×2×1720​=12720​=60

Jawaban: 60 susunan

Contoh 7: Permutasi dalam Kehidupan Sehari-Hari

Soal:
Seorang guru ingin menyusun 4 siswa dari 10 siswa berbeda untuk tugas piket. Berapa banyak susunan yang mungkin?

Pembahasan:
Jumlah siswa = 10, jumlah yang dipilih = 4 → $n = 10, r = 4$n=10,r=4$$P(10,4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{3628800}{720} = 5040$$P(10,4)=(10−4)!10!​=7203628800​=5040

Jawaban: 5040 cara

Contoh 8: Permutasi dengan Beberapa Kondisi

Soal:
Dari 5 buku berbeda, 3 buku akan disusun di rak. Jika buku A harus selalu di posisi pertama, berapa banyak susunan yang mungkin?

Pembahasan:
Posisi pertama sudah diisi A → 1 pilihan
Sisa buku = 4 buku, pilih 2 untuk susunan → $P(4,2) = 12$P(4,2)=12

Jawaban: 12 susunan

Contoh 9: Permutasi dengan Dua Kondisi

Soal:
Dari huruf A, B, C, D, berapa banyak susunan 3 huruf di mana huruf A selalu ada dan huruf B tidak boleh ada?

Pembahasan:
Syarat: huruf A ada → 1 huruf sudah terpilih
Huruf yang tersisa = C, D (B dilarang) → 2 huruf
Pilih 2 huruf untuk melengkapi susunan → $P(2,2) = 2! = 2$P(2,2)=2!=2
Susunan yang mungkin:

• A C D
• A D C

Jawaban: 2 susunan

Contoh 10: Permutasi dalam Kompetisi atau Lomba

Soal:
Dalam lomba lari 100 meter, 8 peserta akan mendapatkan posisi 1, 2, dan 3. Berapa banyak kemungkinan urutan pemenang?

Pembahasan:
Posisi yang diperebutkan = 3 dari 8 peserta → $P(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{40320}{120} = 336$P(8,3)=(8−3)!8!​=12040320​=336

Jawaban: 336 kemungkinan

Tips Mudah Mengerjakan Soal Permutasi

1. Pahami perbedaan permutasi dan kombinasi: Urutan penting → permutasi, urutan tidak penting → kombinasi.
2. Perhatikan pengulangan: Jika ada elemen yang sama, gunakan rumus permutasi dengan pengulangan.
3. Gunakan faktorial: Biasakan menghitung faktorial secara cepat untuk mempercepat penyelesaian soal.
4. Gunakan pola: Pada soal dengan kondisi tertentu, pisahkan langkahnya → tentukan posisi yang sudah pasti, kemudian hitung sisanya.

Baca juga:Universitas Teknokrat Indonesia Masuk Daftar Kampus Terbaik Nasional 2025 Versi UniRanks

Kesimpulan

Permutasi adalah konsep penting dalam matematika yang sering muncul di soal ujian maupun kehidupan sehari-hari. Dengan memahami rumus dasar, jenis-jenis permutasi, dan strategi penyelesaian soal, Anda dapat menyelesaikan soal permutasi dengan mudah. Artikel ini telah memberikan berbagai contoh soal mulai dari tingkat mudah hingga menengah, termasuk soal dengan kondisi khusus dan permutasi dengan pengulangan.

Penulis:ilham