Bank Soal Unsur Hiperbola dan Pembahasan Lengkap untuk Belajar Matematika

Hiperbola adalah salah satu materi penting dalam geometri analitik yang mencakup pemahaman tentang pusat, titik puncak, fokus, sumbu utama, sumbu minor, eksentrisitas, dan persamaan asimtot. Materi ini sering muncul dalam ujian matematika SMA, SBMPTN, maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Menguasai konsep ini memungkinkan siswa untuk mengerjakan soal secara cepat, tepat, dan sistematis.

baca lagi : Rektor Universitas Teknokrat Indonesia Ikut Tanam Mangrove pada Silaknas ICMI 2025 di Bali

Artikel ini menyajikan bank soal unsur hiperbola lengkap dengan pembahasan yang bisa dijadikan referensi belajar. Setiap soal dilengkapi jawaban dan pembahasan secara rinci agar siswa memahami langkah-langkah penyelesaian, sekaligus menguasai strategi mengerjakan soal hiperbola dengan benar

Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan semua titik $P(x, y)$P(x,y) pada bidang koordinat yang selisih jaraknya terhadap dua titik fokus tetap adalah konstan. Hiperbola memiliki dua cabang terbuka, berbeda dengan lingkaran, elips, atau parabola. Unsur-unsur utama hiperbola meliputi pusat sebagai titik tengah antara fokus, titik puncak sebagai titik potong cabang hiperbola dengan sumbu utama, fokus sebagai acuan jarak, sumbu utama sebagai garis penghubung titik puncak, sumbu minor tegak lurus sumbu utama, eksentrisitas sebagai ukuran kepanjangan hiperbola, dan asimtot sebagai garis mendekati cabang hiperbola ketika x atau y menuju tak hingga

Persamaan Standar Hiperbola

• Hiperbola horizontal: $(x-h)^2 / a^2 – (y-k)^2 / b^2 = 1$(x−h)2/a2−(y−k)2/b2=1
• Hiperbola vertikal: $(y-k)^2 / a^2 – (x-h)^2 / b^2 = 1$(y−k)2/a2−(x−h)2/b2=1

Keterangan:

• $a$a = jarak pusat ke titik puncak
• $b$b = jarak pusat ke sumbu minor
• $c$c = jarak pusat ke fokus, dengan $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2

Persamaan asimtot:

• Hiperbola horizontal: $y – k = \pm \frac{b}{a}(x – h)$y−k=±ab​(x−h)
• Hiperbola vertikal: $y – k = \pm \frac{a}{b}(x – h)$y−k=±ba​(x−h)

Langkah-langkah Mengerjakan Soal Hiperbola

1. Identifikasi jenis hiperbola (horizontal atau vertikal)
2. Tentukan pusat $(h,k)$(h,k) dari persamaan
3. Hitung $a^2$a2 dan $b^2$b2
4. Tentukan titik puncak ($h\pm a, k$h±a,k) untuk horizontal atau ($h, k\pm a$h,k±a) untuk vertikal
5. Hitung fokus dengan $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2
6. Hitung eksentrisitas $e = c/a$e=c/a
7. Tentukan persamaan asimtot
8. Gambarlah hiperbola jika perlu

Soal 1

Hiperbola horizontal dengan persamaan $(x-2)^2 / 9 – (y+1)^2 / 16 = 1$(x−2)2/9−(y+1)2/16=1. Tentukan pusat, titik puncak, fokus, eksentrisitas, dan asimtot

Pembahasan:

• Pusat: $(2,-1)$(2,−1)
• $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$a2=9⇒a=3 → Titik puncak: $(2\pm3,-1) = (-1,-1)$(2±3,−1)=(−1,−1) dan $(5,-1)$(5,−1)
• $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$b2=16⇒b=4
• $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$c2=a2+b2=9+16=25⇒c=5 → Fokus: $(2\pm5,-1) = (-3,-1)$(2±5,−1)=(−3,−1) dan $(7,-1)$(7,−1)
• Eksentrisitas: $e = c/a = 5/3 \approx 1,667$e=c/a=5/3≈1,667
• Asimtot: $y+1 = \pm b/a (x-2) = \pm 4/3 (x-2)$y+1=±b/a(x−2)=±4/3(x−2)

Soal 2

Hiperbola vertikal persamaan $(y-3)^2 / 36 – (x+2)^2 / 16 = 1$(y−3)2/36−(x+2)2/16=1. Tentukan pusat, titik puncak, fokus, eksentrisitas, dan asimtot

Pembahasan:

• Pusat: $(-2,3)$(−2,3)
• $a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$a2=36⇒a=6 → Titik puncak: $(-2,3\pm6) = (-2,9)$(−2,3±6)=(−2,9) dan $(-2,-3)$(−2,−3)
• $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$b2=16⇒b=4
• $c^2 = a^2 + b^2 = 36 + 16 = 52 \Rightarrow c \approx 7,211$c2=a2+b2=36+16=52⇒c≈7,211 → Fokus: $(-2,3\pm7,211) = (-2,10,211)$(−2,3±7,211)=(−2,10,211) dan $(-2,-4,211)$(−2,−4,211)
• Eksentrisitas: $e = c/a \approx 1,202$e=c/a≈1,202
• Asimtot: $y-3 = \pm a/b (x+2) = \pm 6/4 (x+2) = \pm 3/2 (x+2)$y−3=±a/b(x+2)=±6/4(x+2)=±3/2(x+2)

Soal 3

Hiperbola horizontal pusat di $(0,0)$(0,0), $a=2$a=2, $b=5$b=5. Tentukan titik puncak, fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot

Pembahasan:

• Titik puncak: $(\pm a,0) = (\pm2,0)$(±a,0)=(±2,0)
• $c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 25 = 29 \Rightarrow c \approx 5,385$c2=a2+b2=4+25=29⇒c≈5,385 → Fokus: $(\pm5,385,0)$(±5,385,0)
• Eksentrisitas: $e = c/a \approx 2,692$e=c/a≈2,692
• Asimtot: $y = \pm b/a x = \pm 5/2 x$y=±b/ax=±5/2x

Soal 4

Hiperbola vertikal dengan persamaan $(y-1)^2 / 49 – (x+3)^2 / 36 = 1$(y−1)2/49−(x+3)2/36=1. Tentukan fokus

Pembahasan:

• $a^2 = 49 \Rightarrow a = 7$a2=49⇒a=7, $b^2 = 36 \Rightarrow b = 6$b2=36⇒b=6
• $c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 36 = 85 \Rightarrow c \approx 9,220$c2=a2+b2=49+36=85⇒c≈9,220
• Fokus: $(-3,1\pm9,220) = (-3,10,220)$(−3,1±9,220)=(−3,10,220) dan $(-3,-8,220)$(−3,−8,220)

Soal 5

Hiperbola horizontal persamaan $(x-1)^2 / 25 – (y+2)^2 / 16 = 1$(x−1)2/25−(y+2)2/16=1. Tentukan eksentrisitas dan asimtot

Pembahasan:

• $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$a2=25⇒a=5, $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$b2=16⇒b=4
• $c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 16 = 41 \Rightarrow c \approx 6,403$c2=a2+b2=25+16=41⇒c≈6,403
• Eksentrisitas: $e = c/a \approx 1,281$e=c/a≈1,281
• Asimtot: $y+2 = \pm b/a (x-1) = \pm 4/5 (x-1)$y+2=±b/a(x−1)=±4/5(x−1)

Soal 6

Hiperbola vertikal pusat di $(2,-1)$(2,−1), $a = 3$a=3, $b = 4$b=4. Tentukan titik puncak dan fokus

Pembahasan:

• Titik puncak: $(2,-1\pm3) = (2,2)$(2,−1±3)=(2,2) dan $(2,-4)$(2,−4)
• $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$c2=a2+b2=9+16=25⇒c=5 → Fokus: $(2,-1\pm5) = (2,4)$(2,−1±5)=(2,4) dan $(2,-6)$(2,−6)

Soal 7

Hiperbola horizontal persamaan $(x+1)^2 / 16 – (y-3)^2 / 9 = 1$(x+1)2/16−(y−3)2/9=1. Tentukan pusat, titik puncak, fokus, eksentrisitas, dan asimtot

Pembahasan:

• Pusat: $(-1,3)$(−1,3)
• Titik puncak: $(-1\pm4,3) = (-5,3)$(−1±4,3)=(−5,3) dan $(3,3)$(3,3)
• $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$b2=9⇒b=3
• $c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$c2=16+9=25⇒c=5 → Fokus: $(-1\pm5,3) = (-6,3)$(−1±5,3)=(−6,3) dan $(4,3)$(4,3)
• Eksentrisitas: $e = c/a = 5/4 = 1,25$e=c/a=5/4=1,25
• Asimtot: $y-3 = \pm b/a (x+1) = \pm 3/4 (x+1)$y−3=±b/a(x+1)=±3/4(x+1)

Soal 8

Hiperbola vertikal persamaan $(y+2)^2 / 64 – (x-3)^2 / 49 = 1$(y+2)2/64−(x−3)2/49=1. Tentukan eksentrisitas dan fokus

Pembahasan:

• $a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$a2=64⇒a=8, $b^2 = 49 \Rightarrow b = 7$b2=49⇒b=7
• $c^2 = a^2 + b^2 = 64 + 49 = 113 \Rightarrow c \approx 10,630$c2=a2+b2=64+49=113⇒c≈10,630
• Fokus: $(3,-2\pm10,630) = (3,8,630)$(3,−2±10,630)=(3,8,630) dan $(3,-12,630)$(3,−12,630)
• Eksentrisitas: $e = c/a \approx 1,329$e=c/a≈1,329

Tips Belajar Hiperbola

1. Pahami persamaan standar dan jenis hiperbola
2. Kuasai rumus $c^2 = a^2 + b^2$c2=a2+b2 dan eksentrisitas $e = c/a$e=c/a
3. Latih menentukan titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot
4. Gambarlah hiperbola untuk visualisasi
5. Latih soal dari mudah hingga kompleks
6. Catat pusat, titik puncak, fokus, dan eksentrisitas agar lebih sistematis

baca lagi : Mahasiswa Universitas Teknokrat Indonesia Sabet Medali Emas di Sriwijaya International Taekwondo Championship 2025

Kesimpulan

Bank soal unsur hiperbola beserta pembahasan lengkap ini membantu siswa SMA memahami konsep pusat, titik puncak, fokus, sumbu utama, sumbu minor, eksentrisitas, dan persamaan asimtot. Dengan rutin berlatih, siswa dapat menyelesaikan soal secara sistematis, memahami tipe soal yang sering keluar, dan siap menghadapi ujian matematika dengan percaya diri. Bank soal ini mencakup hiperbola horizontal, vertikal, titik puncak, fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot sehingga pembelajaran lebih menyeluruh dan efektif

penulis : dinda rahma wati