Permutasi siklis adalah salah satu materi penting dalam kombinatorik yang sering muncul pada ujian matematika SMA maupun seleksi kompetitif. Pemahaman topik ini sangat diperlukan karena banyak soal ujian menguji kemampuan siswa untuk menghitung jumlah susunan elemen dalam lingkaran, di mana rotasi dianggap identik.
Baca juga : Prediksi Contoh Soal ANBK SD Literasi Paling Sering Muncul di Asesmen Nasional
Pengertian Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah susunan elemen dalam bentuk lingkaran di mana posisi relatif antar elemen diperhatikan, tetapi rotasi lingkaran dianggap sama.
Contoh sederhana:
Tiga orang A, B, C duduk melingkar. Susunan ABC sama dengan BCA atau CAB karena posisi relatif tetap sama.
Rumus dasar permutasi siklis:
[
P_{siklis} = (n-1)!
]
Dimana:
- (n) = jumlah elemen
- ((n-1)!) = faktorial dari (n-1)
Sifat-Sifat Permutasi Siklis
- Rotasi dianggap identik: Susunan yang hanya berbeda karena rotasi dianggap sama.
- Objek berbeda: Biasanya berlaku untuk objek yang berbeda, bukan identik.
- Reduksi jumlah permutasi: Jumlah permutasi dikurangi faktor rotasi dibanding permutasi linear.
Contoh:
4 orang duduk melingkar → permutasi berbeda = ((4-1)! = 6)
Bank Soal Permutasi Siklis Tingkat Mudah
Soal 1
Tiga orang duduk melingkar. Berapa banyak susunan berbeda?
Jawaban dan Pembahasan:
((3-1)! = 2! = 2)
Jawaban: 2 susunan berbeda
Soal 2
Empat orang duduk melingkar. Hitung banyak permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
((4-1)! = 3! = 6)
Jawaban: 6 susunan berbeda
Soal 3
Lima orang duduk melingkar. Tentukan jumlah permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
((5-1)! = 4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Soal 4
Sebuah meja bundar memiliki 6 kursi. Hitung jumlah cara 6 teman bisa duduk.
Jawaban dan Pembahasan:
((6-1)! = 5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Bank Soal Permutasi Siklis Tingkat Sedang
Soal 5
6 orang duduk melingkar, dua orang harus duduk bersebelahan. Berapa permutasi berbeda?
Jawaban dan Pembahasan:
- Dua orang dianggap sebagai satu blok → 5 objek → ((5-1)! = 24)
- Dalam blok: (2! = 2)
- Total = (24 \times 2 = 48)
Jawaban: 48 susunan berbeda
Soal 6
5 anak duduk melingkar. Satu anak tetap di kursi tertentu. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Sisa 4 anak → permutasi linear → (4! = 24)
Jawaban: 24 susunan berbeda
Soal 7
3 pria dan 2 wanita duduk melingkar. Wanita tidak boleh duduk bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Susun pria terlebih dahulu → ((3-1)! = 2)
- Pilih posisi 2 wanita di antara pria → (\binom{3}{2} = 3)
- Tukar posisi wanita → (2! = 2)
- Total = (2 \times 3 \times 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Soal 8
7 orang duduk melingkar, dengan satu kursi tetap untuk ketua. Hitung permutasi orang lain.
Jawaban dan Pembahasan:
- 6 orang tersisa → permutasi linear → (6! = 720)
Jawaban: 720 susunan berbeda
Bank Soal Permutasi Siklis Tingkat Sulit
Soal 9
8 orang duduk melingkar, dua orang tertentu tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Total tanpa batasan → ((8-1)! = 5040)
- Larangan: dua orang bersebelahan → blok + 6 orang → ((7-1)! = 720)
- Dalam blok → (2! = 2)
- Larangan = (720 \times 2 = 1440)
- Permutasi valid = 5040 – 1440 = 3600
Soal 10
7 orang duduk melingkar, tiga harus berurutan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- 3 orang sebagai satu blok → 5 objek → permutasi siklis → ((5-1)! = 24)
- Dalam blok → (3! = 6)
- Total = 24 × 6 = 144
Soal 11
5 anak duduk melingkar. Rotasi 180° dianggap identik. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Permutasi normal → ((5-1)! = 24)
- Rotasi 180° identik → bagi 2 → (24 / 2 = 12)
Jawaban: 12 susunan berbeda
Soal 12
Meja bundar rapat sekolah 6 kursi. Kepala sekolah duduk tetap, berapa permutasi guru lain?
Jawaban dan Pembahasan:
- Kepala sekolah tetap → 5 guru lain → permutasi linear → (5! = 120)
Jawaban: 120 susunan berbeda
Soal 13
4 anggota tim duduk melingkar. Dua senior tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Total permutasi 4 orang → ((4-1)! = 6)
- Larangan: dua senior bersebelahan → blok + 2 orang lain → ((3-1)! = 2)
- Dalam blok → (2! = 2)
- Larangan = 2 × 2 = 4
- Permutasi valid = 6 – 4 = 2
Soal 14
5 orang duduk melingkar, dua orang A dan B harus berseberangan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- A → posisi tetap
- B → posisi berseberangan → 1 cara
- 3 orang lain → permutasi siklis → ((3-1)! = 2)
- Total = 1 × 2 = 2 susunan berbeda
Soal 15
6 orang duduk melingkar. Dua orang tertentu harus duduk saling berlawanan, dan dua lainnya tidak boleh bersebelahan. Hitung permutasi berbeda.
Jawaban dan Pembahasan:
- Dua orang berlawanan → posisi tetap
- Sisa 4 orang → dua dilarang bersebelahan → gunakan prinsip inklusi-eksklusi:
- Total 4 orang → ((4-1)! = 6)
- Larangan → dua dilarang bersebelahan → blok 2 orang → ((3-1)! = 2)
- Tukar blok → 2! = 2
- Larangan = 2 × 2 = 4
- Permutasi valid = 6 – 4 = 2
- Total permutasi = 2
Jawaban: 2 susunan berbeda
Strategi Efektif Mengerjakan Soal Permutasi Siklis
- Tentukan jumlah objek (n).
- Identifikasi kondisi khusus (harus bersebelahan, tidak bersebelahan, posisi tetap).
- Gunakan rumus ((n-1)!) untuk permutasi siklis dasar.
- Tambahkan faktorial tambahan jika ada pertukaran dalam blok.
- Gunakan prinsip inklusi-eksklusi jika ada larangan.
- Sesuaikan jika rotasi tertentu dianggap identik.
Manfaat Latihan Bank Soal Permutasi Siklis
- Membiasakan siswa menghadapi variasi soal permutasi siklis.
- Meningkatkan kemampuan berpikir logis dan analitis.
- Membantu persiapan ujian SMA maupun seleksi kompetitif.
- Memberikan latihan bertahap dari mudah hingga sulit untuk penguasaan materi menyeluruh.
Penulis : Lina wati
Post Comment