Memasuki tahun 2026, kurikulum matematika semakin menekankan pada kemampuan visualisasi spasial dan pemahaman konseptual yang mendalam. Salah satu topik yang paling sering muncul dan memiliki nilai estetika matematis tinggi adalah hubungan antara bola dan tabung. Archimedes, salah satu matematikawan terbesar sepanjang sejarah, bahkan menganggap penemuan hubungan ini sebagai pencapaian terbaiknya.
baca lagi : Contoh Soal Report Text Tentang Teknologi dan Fenomena Alam untuk SMA Kelas 11
Artikel ini akan mengupas tuntas 15 contoh soal yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda mengenai hubungan volume dan luas permukaan ketika sebuah bola berada tepat di dalam sebuah tabung.
Konsep Kunci: Geometri Presisi
Sebelum masuk ke latihan soal, kita harus memahami “Syarat Presisi”. Kondisi di mana bola menyinggung alas, tutup, dan selimut tabung mengakibatkan:
- Jari-jari bola ($r$) = Jari-jari tabung ($r$).
- Tinggi tabung ($t$) = Diameter bola ($2r$).
Rumus Utama yang Digunakan:
- Volume Bola: $V_b = \frac{4}{3} \pi r^3$
- Volume Tabung: $V_t = 2 \pi r^3$ (Karena $t=2r$)
- Luas Permukaan Bola: $L_b = 4 \pi r^2$
- Luas Selimut Tabung: $L_{st} = 4 \pi r^2$ (Karena $2 \pi r \times 2r$)
- Luas Permukaan Tabung: $L_t = 6 \pi r^2$ (Selimut + 2 kali Luas Alas)
Kumpulan Soal dan Pembahasan
Soal 1: Perbandingan Volume Dasar
Jika jari-jari sebuah bola adalah $r$, berapakah perbandingan volume bola dengan volume tabung yang menyungkupinya secara tepat?
Pembahasan:
$V_b : V_t = \frac{4}{3} \pi r^3 : 2 \pi r^3$
Kalikan kedua ruas dengan 3:
$4 \pi r^3 : 6 \pi r^3 = 2 : 3$.
Jawaban: 2 : 3
Soal 2: Menghitung Volume Tabung dari Bola
Diketahui volume sebuah bola adalah $40 \text{ cm}^3$. Berapakah volume tabung terkecil yang dapat memuat bola tersebut?
Pembahasan:
Gunakan perbandingan $V_t = \frac{3}{2} \times V_b$
$V_t = \frac{3}{2} \times 40 = 60 \text{ cm}^3$.
Jawaban: 60 cmยณ
Soal 3: Perbandingan Luas Permukaan
Berapakah perbandingan luas permukaan bola dengan luas selimut tabung yang tingginya sama dengan diameter bola?
Pembahasan:
$L_b = 4 \pi r^2$
$L_{st} = 2 \pi r \times (2r) = 4 \pi r^2$
Jawaban: 1 : 1
Soal 4: Luas Permukaan Tabung Total
Jika luas permukaan bola adalah $100 \text{ cm}^2$, berapakah luas permukaan total tabung yang menyungkupinya?
Pembahasan:
$L_b = 4 \pi r^2 = 100 \rightarrow \pi r^2 = 25$
$L_t = 6 \pi r^2 = 6 \times 25 = 150 \text{ cm}^2$.
Jawaban: 150 cmยฒ
Soal 5: Sisa Ruang dalam Tabung
Berapakah persentase ruang di dalam tabung yang tidak terisi oleh bola?
Pembahasan:
Sisa Volume $= V_t – V_b = 1 – \frac{2}{3} V_t = \frac{1}{3} V_t$
Persentase $= \frac{1}{3} \times 100\% = 33,33\%$.
Jawaban: 33,33%
Soal 6: Jari-jari dari Volume Sisa
Jika volume tabung di luar bola adalah $18\pi \text{ cm}^3$, tentukan jari-jari bola tersebut!
Pembahasan:
$V_s = \frac{2}{3} \pi r^3 = 18\pi$
$r^3 = \frac{18 \times 3}{2} = 27$
$r = 3 \text{ cm}$.
Jawaban: 3 cm
Soal 7: Hubungan Tinggi dan Volume
Jika tinggi tabung adalah 20 cm dan sebuah bola menyentuh semua sisinya, berapakah volume bola tersebut?
Pembahasan:
$t = 2r = 20 \rightarrow r = 10 \text{ cm}$
$V_b = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000}{3} \pi \text{ cm}^3$.
Jawaban: 1333,33ฯ cmยณ
Soal 8: Luas Selimut vs Luas Bola
Benarkah luas selimut tabung selalu sama dengan luas permukaan bola di dalamnya? Jelaskan!
Pembahasan:
Ya, benar. Karena $L_{st} = 2 \pi r t$ dan $t=2r$, maka $L_{st} = 4 \pi r^2$, yang identik dengan rumus luas permukaan bola.
Jawaban: Benar
Soal 9: Perubahan Jari-jari
Jika jari-jari bola diperbesar 2 kali lipat, bagaimana perubahan volume tabung yang menyungkupinya?
Pembahasan:
Volume tabung sebanding dengan $r^3$. Jika $r$ jadi $2r$, maka $(2)^3 = 8$.
Jawaban: Menjadi 8 kali lipat
Soal 10: Kasus Diameter 14 cm
Hitunglah luas permukaan tabung jika bola di dalamnya memiliki diameter 14 cm! (Gunakan $\pi = 22/7$)
Pembahasan:
$r = 7 \text{ cm}$
$L_t = 6 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 6 \times 154 = 924 \text{ cm}^2$.
Jawaban: 924 cmยฒ
Soal 11: Perbandingan Luas Permukaan Total
Hitung perbandingan luas permukaan bola dengan luas permukaan total tabung!
Pembahasan:
$4 \pi r^2 : 6 \pi r^2 = 2 : 3$.
Jawaban: 2 : 3
Soal 12: Nilai $\pi$ dalam Volume
Tentukan volume bola jika jari-jari tabung 6 cm (dalam $\pi$)!
Pembahasan:
$V_b = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 216 = 288\pi \text{ cm}^3$.
Jawaban: 288ฯ cmยณ
Soal 13: Efisiensi Pengemasan
Dalam sebuah kaleng berbentuk tabung, dimasukkan sebuah bola tenis. Berapa bagian volume kaleng yang terisi udara?
Pembahasan:
Sama dengan mencari sisa volume, yaitu $1/3$ bagian.
Jawaban: 1/3 bagian
Soal 14: Luas Permukaan dari Volume
Jika volume bola $36\pi$, tentukan luas permukaan tabung!
Pembahasan:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 36\pi \rightarrow r^3 = 27 \rightarrow r = 3$
$L_t = 6 \pi (3)^2 = 54\pi$.
Jawaban: 54ฯ
Soal 15: Logika Tinggi Tabung
Jika luas selimut tabung adalah $400 \text{ cm}^2$, berapakah luas permukaan bola yang menyinggung selimut tersebut?
Pembahasan:
Luas bola $=$ Luas selimut tabung.
Jawaban: 400 cmยฒ
baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara
Strategi Belajar Geometri Ruang
Hubungan antara bola dan tabung adalah contoh sempurna dari efisiensi geometri. Untuk menguasai materi ini, kuncinya adalah jangan menghafal hasil akhir, tetapi pahamilah bahwa tinggi tabung dikunci oleh diameter bola. Dengan memahami satu variabel ($r$), Anda bisa membuka semua informasi lainnya.
penulis : Dinda rahma wati
Post Comment