Rotasi merupakan salah satu materi dalam transformasi geometri yang sering kali muncul dalam ujian nasional maupun ujian sekolah. Memahami rotasi bukan hanya tentang menghafal rumus, melainkan tentang memahami bagaimana sebuah titik atau objek berpindah posisi dengan cara diputar. Dalam artikel ini, kita akan fokus pada rotasi sejauh 30 derajat berlawanan arah jarum jam.
baca lagi : Contoh Soal Masuk ITB Terbaru Lengkap dengan Pembahasan dan Tips Lolos Seleksi
Pemilihan sudut 30 derajat sangat menarik karena melibatkan nilai trigonometri sudut istimewa yang cukup menantang bagi siswa, yakni penggunaan akar tiga ($\sqrt{3}$). Dengan menguasai kumpulan soal di bawah ini, Anda akan memiliki kesiapan mental dan teknis yang lebih baik saat menghadapi ujian matematika.
Konsep Dasar dan Rumus Utama
Dalam matematika, rotasi standar dilakukan berlawanan arah jarum jam. Jika sebuah titik $P(x, y)$ diputar sejauh $\theta$ derajat dengan pusat $O(0, 0)$, maka bayangannya $P'(x’, y’)$ dapat dicari dengan rumus:
$x’ = x \cos \theta – y \sin \theta$
$y’ = x \sin \theta + y \cos \theta$
Khusus untuk sudut $30^\circ$, nilai yang kita gunakan adalah:
- $\cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
Berikut adalah kumpulan contoh soal untuk berbagai level kesulitan.
Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Rotasi Titik Sederhana di Kuadran I
Tentukan bayangan titik $A(2, 4)$ jika dirotasikan sejauh $30^\circ$ terhadap pusat $(0, 0)$!
Pembahasan:
$x’ = 2(\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 4(\frac{1}{2}) = \sqrt{3} – 2$
$y’ = 2(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{2}\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3}$
Bayangan $A$ adalah $A'(\sqrt{3}-2, 1+2\sqrt{3})$.
Soal 2: Titik dengan Koordinat Negatif
Titik $B(-4, 2)$ dirotasikan $30^\circ$ terhadap pusat $(0, 0)$. Koordinat $B’$ adalah…
Pembahasan:
$x’ = -4(\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 2(\frac{1}{2}) = -2\sqrt{3} – 1$
$y’ = -4(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}\sqrt{3}) = -2 + \sqrt{3}$
Bayangan $B$ adalah $B'(-2\sqrt{3}-1, -2+\sqrt{3})$.
Soal 3: Rotasi Titik pada Sumbu X
Tentukan bayangan titik $C(10, 0)$ jika diputar $30^\circ$ terhadap origin!
Pembahasan:
$x’ = 10(\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 0 = 5\sqrt{3}$
$y’ = 10(\frac{1}{2}) + 0 = 5$
Bayangan $C$ adalah $C'(5\sqrt{3}, 5)$.
Soal 4: Penggunaan Titik Pusat $(a, b)$
Tentukan bayangan titik $D(3, 3)$ jika dirotasikan $30^\circ$ terhadap pusat $P(1, 1)$!
Pembahasan:
$(x-a) = 3-1 = 2$; $(y-b) = 3-1 = 2$
$x’ = 1 + (2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} – 2 \cdot \frac{1}{2}) = 1 + \sqrt{3} – 1 = \sqrt{3}$
$y’ = 1 + (2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}) = 1 + 1 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$
Bayangan $D$ adalah $D'(\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$.
Soal 5: Mencari Titik Asal
Jika bayangan suatu titik setelah rotasi $30^\circ$ terhadap $(0,0)$ adalah $P'(\sqrt{3}, 1)$, berapakah koordinat titik asalnya?
Pembahasan:
Gunakan rotasi $-30^\circ$ (kebalikan) dari titik bayangan.
$x = \sqrt{3}(\frac{1}{2}\sqrt{3}) – 1(-\frac{1}{2}) = 1,5 + 0,5 = 2$
$y = \sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + 1(\frac{1}{2}\sqrt{3}) = -0,5\sqrt{3} + 0,5\sqrt{3} = 0$
Titik asal adalah $P(2, 0)$.
Soal 6: Rotasi Garis Lurus
Tentukan bayangan garis $y = x$ jika dirotasikan $30^\circ$ terhadap $(0,0)$!
Pembahasan:
Gunakan substitusi invers matriks rotasi ke dalam persamaan garis. Ini akan menghasilkan persamaan garis baru dengan kemiringan (gradient) yang telah berubah sebesar $\tan(45^\circ + 30^\circ)$.
Soal 7: Rotasi Titik di Kuadran IV
Bayangan titik $E(4, -2)$ oleh rotasi $30^\circ$ terhadap $(0,0)$ adalah…
Pembahasan:
$x’ = 4(0,5\sqrt{3}) – (-2)(0,5) = 2\sqrt{3} + 1$
$y’ = 4(0,5) + (-2)(0,5\sqrt{3}) = 2 – \sqrt{3}$
Hasil: $E'(2\sqrt{3}+1, 2-\sqrt{3})$.
Soal 8: Komposisi Rotasi
Sebuah titik diputar $10^\circ$ kemudian dilanjutkan $20^\circ$. Apa hasilnya jika titik asal $(2, 0)$?
Pembahasan:
Total rotasi $= 10^\circ + 20^\circ = 30^\circ$. Gunakan rumus standar untuk $30^\circ$.
$x’ = 2(0,5\sqrt{3}) – 0 = \sqrt{3}$
$y’ = 2(0,5) + 0 = 1$
Hasil: $(\sqrt{3}, 1)$.
Soal 9: Luas Bangun Setelah Rotasi
Jika segitiga dengan luas $10 \text{ cm}^2$ dirotasikan $30^\circ$, berapakah luas bayangannya?
Pembahasan:
Rotasi adalah transformasi isometri (tidak mengubah bentuk dan ukuran). Maka luasnya tetap $10 \text{ cm}^2$.
Soal 10: Rotasi Titik $(0, 6)$
Tentukan bayangan titik $F(0, 6)$ oleh rotasi $R(O, 30^\circ)$!
Pembahasan:
$x’ = 0 – 6(\frac{1}{2}) = -3$
$y’ = 0 + 6(\frac{1}{2}\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$
Hasil: $F'(-3, 3\sqrt{3})$.
Tips Menghadapi Ujian Matematika Bab Transformasi
- Ketelitian Tanda: Seringkali siswa salah meletakkan tanda negatif pada rumus $x’$. Ingat, $x’$ menggunakan $\cos \theta – \sin \theta$.
- Sederhanakan Bentuk Akar: Jangan terburu-buru mengubah $\sqrt{3}$ menjadi desimal kecuali diminta oleh soal. Biarkan dalam bentuk eksak.
- Gunakan Sketsa: Menggambar posisi titik di bidang Kartesius membantu Anda memastikan apakah jawaban Anda masuk akal atau tidak (misal: titik di kuadran I diputar $30^\circ$ harus tetap di kuadran I atau pindah ke II).
baca lagi : Universitas Teknokrat Indonesia Gelar Konferensi Internasional, Hadirkan Pembicara dari Empat Negara
Kesimpulan
Latihan soal rotasi 30 derajat berlawanan arah jarum jam ini dirancang untuk membiasakan Anda dengan angka-angka istimewa trigonometri. Dengan memahami sepuluh variasi soal di atas, mulai dari rotasi titik sederhana hingga rotasi dengan pusat $(a, b)$, Anda telah membangun fondasi yang kuat untuk sukses dalam ujian matematika mendatang.
penulis : dinda rahma wati
Post Comment