10 Contoh Soal Persamaan Diferensial Legendre Lengkap dengan Pembahasan

Persamaan diferensial Legendre adalah salah satu topik penting dalam matematika terapan dan fisika, khususnya dalam mekanika kuantum, teori potensial, dan pemecahan masalah yang memiliki simetri bola. Persamaan ini termasuk dalam kategori persamaan diferensial linear orde kedua dengan bentuk khusus yang sering muncul dalam pemecahan masalah pada koordinat bola. Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 contoh soal persamaan diferensial Legendre beserta solusi lengkapnya agar pembaca dapat memahami konsep dan teknik penyelesaiannya secara mendalam.

Apa itu Persamaan Diferensial Legendre?

Persamaan diferensial Legendre memiliki bentuk umum:$$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} – 2x \frac{dy}{dx} + n(n+1)y = 0$$(1−x2)dx2d2y​−2xdxdy​+n(n+1)y=0

dengan $n$n adalah bilangan bulat non-negatif (0,1,2,…). Persamaan ini memiliki solusi yang disebut polinomial Legendre, biasanya dilambangkan dengan $P_n(x)$Pn​(x). Polinomial Legendre memiliki sifat ortogonal pada interval $[-1,1]$[−1,1] yang membuatnya sangat berguna dalam ekspansi fungsi dalam bentuk deret.

1. Soal 1: Menyelesaikan Persamaan Legendre Orde 2

Soal: Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial Legendre untuk $n = 2$n=2:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 2(2+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+2(2+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=2$n=2 ke persamaan Legendre menghasilkan:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 6y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+6y=0

Solusi dari persamaan Legendre orde 2 adalah polinomial Legendre derajat 2, yaitu:$$y = P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$y=P2​(x)=21​(3×2−1)

Sehingga solusi umumnya:$$y(x) = C P_2(x) = C\frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$y(x)=CP2​(x)=C21​(3×2−1)

dengan $C$C adalah konstanta.

2. Soal 2: Persamaan Legendre Orde 3

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 3$n=3:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 3(3+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+3(3+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=3$n=3:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 12y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+12y=0

Solusi umum adalah polinomial Legendre derajat 3:$$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$P3​(x)=21​(5×3−3x)

Sehingga solusi:$$y(x) = C P_3(x) = C \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$y(x)=CP3​(x)=C21​(5×3−3x)

3. Soal 3: Persamaan Legendre Orde 4

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 4$n=4:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 4(4+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+4(4+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=4$n=4:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 20y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+20y=0

Polinomial Legendre derajat 4:$$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 – 30x^2 + 3)$$P4​(x)=81​(35×4−30×2+3)

Solusi umum:$$y(x) = C P_4(x) = C \frac{1}{8}(35x^4 – 30x^2 + 3)$$y(x)=CP4​(x)=C81​(35×4−30×2+3)

Baca Juga : Contoh Soal Unsur Intrinsik Novel Terbaru

4. Soal 4: Persamaan Legendre Orde 0

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 0$n=0:$$(1-x^2)y” – 2xy’ = 0$$(1−x2)y′′−2xy′=0

Pembahasan:
Persamaan ini adalah bentuk khusus Legendre dengan $n=0$n=0. Solusi polinomial Legendre orde 0:$$P_0(x) = 1$$P0​(x)=1

Jadi solusi umumnya:$$y(x) = C$$y(x)=C

dimana $C$C adalah konstanta.

5. Soal 5: Persamaan Legendre Orde 1

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 1$n=1:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 1(1+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+1(1+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=1$n=1:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 2y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+2y=0

Polinomial Legendre orde 1:$$P_1(x) = x$$P1​(x)=x

Sehingga solusi umumnya:$$y(x) = C P_1(x) = C x$$y(x)=CP1​(x)=Cx

6. Soal 6: Persamaan Legendre Orde 5

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 5$n=5:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 5(5+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+5(5+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=5$n=5:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 30y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+30y=0

Polinomial Legendre derajat 5:$$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5 – 70x^3 + 15x)$$P5​(x)=81​(63×5−70×3+15x)

Sehingga solusi umum:$$y(x) = C P_5(x) = C \frac{1}{8}(63x^5 – 70x^3 + 15x)$$y(x)=CP5​(x)=C81​(63×5−70×3+15x)

7. Soal 7: Persamaan Legendre Orde 6

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 6$n=6:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 6(6+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+6(6+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=6$n=6:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 42y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+42y=0

Polinomial Legendre derajat 6:$$P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6 – 315x^4 + 105x^2 – 5)$$P6​(x)=161​(231×6−315×4+105×2−5)

Sehingga solusi:$$y(x) = C P_6(x) = C \frac{1}{16}(231x^6 – 315x^4 + 105x^2 – 5)$$y(x)=CP6​(x)=C161​(231×6−315×4+105×2−5)

8. Soal 8: Persamaan Legendre Orde 7

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 7$n=7:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 7(7+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+7(7+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=7$n=7:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 56y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+56y=0

Polinomial Legendre derajat 7:$$P_7(x) = \frac{1}{16}(429x^7 – 693x^5 + 315x^3 – 35x)$$P7​(x)=161​(429×7−693×5+315×3−35x)

Baca Juga : Universitas Teknokrat Indonesia Masuk 10 Besar Kampus Swasta Terbaik Nasional Versi AppliedHE ASEAN 2026

Solusi umum:$$y(x) = C P_7(x) = C \frac{1}{16}(429x^7 – 693x^5 + 315x^3 – 35x)$$y(x)=CP7​(x)=C161​(429×7−693×5+315×3−35x)

9. Soal 9: Persamaan Legendre Orde 8

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 8$n=8:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 8(8+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+8(8+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=8$n=8:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 72y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+72y=0

Polinomial Legendre derajat 8:$$P_8(x) = \frac{1}{128}(6435x^8 – 12012x^6 + 6930x^4 – 1260x^2 + 35)$$P8​(x)=1281​(6435×8−12012×6+6930×4−1260×2+35)

Sehingga solusi umum:$$y(x) = C P_8(x) = C \frac{1}{128}(6435x^8 – 12012x^6 + 6930x^4 – 1260x^2 + 35)$$y(x)=CP8​(x)=C1281​(6435×8−12012×6+6930×4−1260×2+35)

10. Soal 10: Persamaan Legendre Orde 9

Soal: Tentukan solusi persamaan diferensial Legendre untuk $n = 9$n=9:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 9(9+1)y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+9(9+1)y=0

Pembahasan:
Substitusi $n=9$n=9:$$(1-x^2)y” – 2xy’ + 90y = 0$$(1−x2)y′′−2xy′+90y=0

Polinomial Legendre derajat 9:$$P_9(x) = \frac{1}{128}(12155x^9 – 25740x^7 + 18018x^5 – 4620x^3 + 315x)$$P9​(x)=1281​(12155×9−25740×7+18018×5−4620×3+315x)

Sehingga solusi umum:$$y(x) = C P_9(x) = C \frac{1}{128}(12155x^9 – 25740x^7 + 18018x^5 – 4620x^3 + 315x)$$y(x)=CP9​(x)=C1281​(12155×9−25740×7+18018×5−4620×3+315x)

Kesimpulan

Persamaan diferensial Legendre memiliki bentuk khusus yang menghasilkan polinomial Legendre $P_n(x)$Pn​(x) sebagai solusi. Polinomial ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi fisika dan matematika, termasuk teori potensial, pemecahan masalah dengan simetri bola, dan ekspansi deret fungsi ortogonal. Dengan mempelajari contoh soal dari orde 0 hingga 9, pembaca dapat memahami pola solusi dan cara menulis solusi umum persamaan diferensial Legendre untuk nilai $n$n berapapun. Penguasaan materi ini mempermudah analisis masalah yang menggunakan basis polinomial Legendre dan mendukung kemampuan memecahkan soal diferensial tingkat lanjut.

Penulis : Reyfen