10 Contoh Soal Limit Perkalian Sekawan Lengkap dengan Pembahasan Mudah Dipahami

Limit merupakan salah satu konsep penting dalam kalkulus yang sering muncul di mata pelajaran matematika tingkat SMA hingga perguruan tinggi. Salah satu teknik yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal limit adalah metode perkalian sekawan. Metode ini sangat membantu ketika kita menemui bentuk limit yang mengandung akar kuadrat atau bentuk yang tidak langsung bisa disederhanakan. Pada artikel ini, kita akan membahas 10 contoh soal limit perkalian sekawan lengkap dengan pembahasan agar lebih mudah dipahami.

Apa itu Limit Perkalian Sekawan?

Sebelum masuk ke soal, penting untuk memahami konsep perkalian sekawan. Perkalian sekawan adalah teknik aljabar yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk limit, terutama ketika terdapat akar kuadrat di pembilang atau penyebut. Ide dasarnya adalah mengalikan bentuk tersebut dengan bentuk konjugatnya, sehingga kita bisa menyingkirkan akar kuadrat dan menyederhanakan perhitungan.

Misalnya, jika kita memiliki limit:$$\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{f(x)} – \sqrt{g(x)}}{h(x)}$$x→alim​h(x)f(x)​−g(x)​​

Maka kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat pembilang:$$\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}$$f(x)​+g(x)​

Sehingga bentuknya menjadi:$$\lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{f(x)} – \sqrt{g(x)})(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})}{h(x)(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})}$$x→alim​h(x)(f(x)​+g(x)​)(f(x)​−g(x)​)(f(x)​+g(x)​)​

Hasil perkalian pembilang akan menjadi perbedaan kuadrat:$$f(x) – g(x)$$f(x)−g(x)

Ini membuat limit lebih mudah diselesaikan.

10 Contoh Soal Limit Perkalian Sekawan

Berikut 10 contoh soal yang lengkap dengan pembahasan step by step.

Soal 1

Hitung limit berikut:$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4}$$x→4lim​x−4x​−2​

Pembahasan:

Bentuk langsungnya adalah 0/0, sehingga kita gunakan perkalian sekawan:$$\frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x – 4}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$$x−4x​−2​⋅x​+2x​+2​=(x−4)(x​+2)x−4​=x​+21​

Substitusi $x = 4$x=4:$$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$4​+21​=2+21​=41​

Jadi, limitnya adalah $\frac{1}{4}$41​.

Baca Juga : Contoh Soal Tes Masuk S2 Lengkap dengan Pembahasan Ter

Soal 2

Hitung:$$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} – 3}{x – 9}$$x→9lim​x−9x​−3​

Pembahasan:

Bentuk langsungnya 0/0, gunakan perkalian sekawan:$$\frac{\sqrt{x} – 3}{x – 9} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x – 9}{(x – 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$$x−9x​−3​⋅x​+3x​+3​=(x−9)(x​+3)x−9​=x​+31​

Substitusi $x = 9$x=9:$$\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$3+31​=61​

Soal 3

Hitung:$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} – 2}{x – 1}$$x→1lim​x−1x+3​−2​

Pembahasan:

Kalikan dengan konjugat pembilang:$$\frac{\sqrt{x+3} – 2}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{(x+3) – 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x – 1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$$x−1x+3​−2​⋅x+3​+2x+3​+2​=(x−1)(x+3​+2)(x+3)−4​=(x−1)(x+3​+2)x−1​

Sederhanakan:$$\frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$$x+3​+21​

Substitusi $x = 1$x=1:$$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$4​+21​=41​

Soal 4

Hitung:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x}$$x→0lim​xx+1​−1​

Pembahasan:

Kalikan dengan konjugat:$$\frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{(x+1) – 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$$xx+1​−1​⋅x+1​+1x+1​+1​=x(x+1​+1)(x+1)−1​=x(x+1​+1)x​=x+1​+11​

Substitusi $x = 0$x=0:$$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$1+11​=21​

Soal 5

Hitung:$$\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x} – 4}{x – 16}$$x→16lim​x−16x​−4​

Pembahasan:

Kalikan dengan konjugat:$$\frac{\sqrt{x} – 4}{x – 16} \cdot \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 4} = \frac{x – 16}{(x-16)(\sqrt{x} + 4)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 4}$$x−16x​−4​⋅x​+4x​+4​=(x−16)(x​+4)x−16​=x​+41​

Substitusi $x = 16$x=16:$$\frac{1}{4 + 4} = \frac{1}{8}$$4+41​=81​

Soal 6

Hitung:$$\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} – 5}{x – 25}$$x→25lim​x−25x​−5​

Pembahasan:

Kalikan dengan konjugat:$$\frac{\sqrt{x} – 5}{x – 25} \cdot \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 5} = \frac{x – 25}{(x-25)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 5}$$x−25x​−5​⋅x​+5x​+5​=(x−25)(x​+5)x−25​=x​+51​

Substitusi $x = 25$x=25:$$\frac{1}{5 + 5} = \frac{1}{10}$$5+51​=101​

Soal 7

Hitung:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2x} – 1}{x}$$x→0lim​x1+2x​−1​

Pembahasan:

Kalikan dengan konjugat:$$\frac{\sqrt{1+2x} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+2x} + 1}{\sqrt{1+2x} + 1} = \frac{(1+2x) – 1}{x(\sqrt{1+2x} + 1)} = \frac{2x}{x(\sqrt{1+2x} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{1+2x} + 1}$$x1+2x​−1​⋅1+2x​+11+2x​+1​=x(1+2x​+1)(1+2x)−1​=x(1+2x​+1)2x​=1+2x​+12​

Substitusi $x = 0$x=0:$$\frac{2}{1 + 1} = 1$$1+12​=1

Baca Juga : Universitas Teknokrat Indonesia Masuk 10 Besar Kampus Swasta Terbaik Nasional Versi AppliedHE ASEAN 2026

Soal 8

Hitung:$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5} – 3}{x – 4}$$x→4lim​x−4x+5​−3​

Pembahasan:

Konjugat pembilang:$$\frac{\sqrt{x+5} – 3}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x+5} + 3}{\sqrt{x+5} + 3} = \frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$$x−4x+5​−3​⋅x+5​+3x+5​+3​=(x−4)(x+5​+3)(x+5)−9​=(x−4)(x+5​+3)x−4​=x+5​+31​

Substitusi $x = 4$x=4:

$$\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$$9​+31​=61​

Soal 9

Hitung:$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x+1} – 2}{x – 1}$$x→1lim​x−13x+1​−2​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{3x+1} – 2}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{3x+1} + 2}{\sqrt{3x+1} + 2} = \frac{(3x+1)-4}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)} = \frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}$$x−13x+1​−2​⋅3x+1​+23x+1​+2​=(x−1)(3x+1​+2)(3x+1)−4​=(x−1)(3x+1​+2)3(x−1)​=3x+1​+23​

Substitusi $x = 1$x=1:$$\frac{3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3}{4}$$4​+23​=43​

Soal 10

Hitung:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+5x} – 1}{x}$$x→0lim​x1+5x​−1​

Pembahasan:

Kalikan konjugat:$$\frac{\sqrt{1+5x} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+5x}+1}{\sqrt{1+5x}+1} = \frac{(1+5x)-1}{x(\sqrt{1+5x}+1)} = \frac{5x}{x(\sqrt{1+5x}+1)} = \frac{5}{\sqrt{1+5x}+1}$$x1+5x​−1​⋅1+5x​+11+5x​+1​=x(1+5x​+1)(1+5x)−1​=x(1+5x​+1)5x​=1+5x​+15​

Substitusi $x = 0$x=0:$$\frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$$1+15​=25​

Tips Menguasai Limit Perkalian Sekawan

1. Kenali Bentuk 0/0 – Sebelum menggunakan perkalian sekawan, pastikan limit menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
2. Gunakan Konjugat – Selalu kalikan pembilang dengan konjugatnya agar akar kuadrat hilang.
3. Sederhanakan Bentuk – Setelah perkalian, sederhanakan bentuk sehingga $x-a$x−a dapat dibatalkan.
4. Substitusi Akhir – Setelah disederhanakan, masukkan nilai limit $x \to a$x→a untuk mendapatkan hasil akhir.
5. Latihan Soal Berulang – Semakin banyak soal dikerjakan, semakin cepat mengenali pola perkalian sekawan.

Kesimpulan

Metode perkalian sekawan merupakan cara yang efektif untuk menyelesaikan soal limit yang mengandung akar kuadrat. Dari 10 contoh soal yang telah dibahas, terlihat pola yang sama: bentuk 0/0 → kalikan konjugat → sederhanakan → substitusi. Dengan memahami konsep ini, siswa dapat lebih mudah mengerjakan soal limit dengan cepat dan akurat.

Menguasai limit perkalian sekawan tidak hanya membantu di ujian, tetapi juga menjadi fondasi penting untuk kalkulus lanjutan, seperti turunan dan integral. Latihan rutin dengan berbagai variasi soal akan meningkatkan kemampuan analisis aljabar dan pemahaman konsep limit secara keseluruhan.

Penulis : Reyfen Andrian