Menguasai Interpolasi Lagrange Lewat Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Interpolasi Lagrange merupakan salah satu metode penting dalam Matematika dan Analisis Numerik yang digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi pada titik tertentu berdasarkan nilai fungsi yang diketahui di titik-titik lain. Materi ini sering muncul dalam soal ujian matematika SMA, UTBK, dan kuliah tingkat awal. Artikel ini membahas pengertian interpolasi Lagrange, rumus, langkah-langkah pengerjaan, contoh soal, serta pembahasan agar siswa dapat memahami dan menguasai metode ini secara efektif.

Pengertian Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange adalah metode untuk menentukan polinomial interpolasi yang melewati sejumlah titik data yang telah diketahui. Metode ini dikembangkan oleh Joseph Louis Lagrange, seorang matematikawan ternama dari Perancis. Intinya, interpolasi Lagrange memungkinkan kita membuat fungsi polinomial yang nilainya tepat sama dengan nilai fungsi yang diketahui di titik-titik tertentu, sehingga bisa digunakan untuk memperkirakan nilai fungsi di titik yang tidak diketahui.

Baca juga:Kumpulan Contoh Soal Psikotes dan Jawabannya: Panduan Lengkap untuk Persiapan Tes Kerja

Rumus Polinomial Lagrange

Jika terdapat n+1 titik data $(x_0, y_0), (x_1, y_1), …, (x_n, y_n)$(x0​,y0​),(x1​,y1​),…,(xn​,yn​), polinomial interpolasi Lagrange $P_n(x)$Pn​(x) dirumuskan sebagai:$$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)$$Pn​(x)=i=0∑n​yi​⋅Li​(x)

dengan$$L_i(x) = \prod_{\substack{0 \le j \le n \\ j \neq i}} \frac{x – x_j}{x_i – x_j}$$Li​(x)=0≤j≤nj=i​∏​xi​−xj​x−xj​​

Di sini, $L_i(x)$Li​(x) adalah polinomial dasar Lagrange yang nilainya 1 pada $x_i$xi​ dan 0 pada titik $x_j$xj​ lainnya.

Langkah-Langkah Interpolasi Lagrange

1. Tentukan Titik Data: Catat semua pasangan $(x_i, y_i)$(xi​,yi​).
2. Buat Polinomial Dasar Li(x)L_i(x)Li​(x): Gunakan rumus $L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x – x_j}{x_i – x_j}$Li​(x)=∏j=i​xi​−xj​x−xj​​.
3. Kalikan Setiap Li(x)L_i(x)Li​(x) dengan yiy_iyi​: Hasilnya adalah kontribusi setiap titik data terhadap polinomial interpolasi.
4. Jumlahkan Semua Kontribusi: Polinomial akhir adalah $P_n(x) = \sum y_i \cdot L_i(x)$Pn​(x)=∑yi​⋅Li​(x).
5. Evaluasi di Titik yang Diinginkan: Masukkan nilai $x$x yang ingin dicari.

Contoh Soal Interpolasi Lagrange

Soal 1

Diketahui titik-titik:
$(1, 2), (2, 3), (4, 1)$(1,2),(2,3),(4,1). Tentukan nilai polinomial Lagrange di $x = 3$x=3.

Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan polinomial dasar $L_i(x)$Li​(x)$$L_0(x) = \frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)} = \frac{(x-2)(x-4)}{(-1)(-3)} = \frac{(x-2)(x-4)}{3}$$L0​(x)=(1−2)(1−4)(x−2)(x−4)​=(−1)(−3)(x−2)(x−4)​=3(x−2)(x−4)​ $$L_1(x) = \frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)} = \frac{(x-1)(x-4)}{(1)(-2)} = -\frac{(x-1)(x-4)}{2}$$L1​(x)=(2−1)(2−4)(x−1)(x−4)​=(1)(−2)(x−1)(x−4)​=−2(x−1)(x−4)​ $$L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-1)(x-2)}{6}$$L2​(x)=(4−1)(4−2)(x−1)(x−2)​=3⋅2(x−1)(x−2)​=6(x−1)(x−2)​

Langkah 2: Bentuk polinomial interpolasi$$P_2(x) = 2 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x)$$P2​(x)=2⋅L0​(x)+3⋅L1​(x)+1⋅L2​(x)

Langkah 3: Evaluasi di $x = 3$x=3$$L_0(3) = \frac{(3-2)(3-4)}{3} = \frac{1 \cdot (-1)}{3} = -\frac{1}{3}$$L0​(3)=3(3−2)(3−4)​=31⋅(−1)​=−31​ $$L_1(3) = -\frac{(3-1)(3-4)}{2} = -\frac{2 \cdot (-1)}{2} = 1$$L1​(3)=−2(3−1)(3−4)​=−22⋅(−1)​=1 $$L_2(3) = \frac{(3-1)(3-2)}{6} = \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{1}{3}$$L2​(3)=6(3−1)(3−2)​=62⋅1​=31​ $$P_2(3) = 2(-1/3) + 3(1) + 1(1/3) = -2/3 + 3 + 1/3 = 2.6667 \approx 8/3$$P2​(3)=2(−1/3)+3(1)+1(1/3)=−2/3+3+1/3=2.6667≈8/3

Jadi, nilai polinomial di $x=3$x=3 adalah $8/3$8/3.

Soal 2

Diketahui titik: $(0,1), (1,3), (2,7)$(0,1),(1,3),(2,7). Tentukan polinomial Lagrange dan nilai di $x=1.5$x=1.5.

Pembahasan:
Langkah 1: Polinomial dasar$$L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}$$L0​(x)=(0−1)(0−2)(x−1)(x−2)​=2(x−1)(x−2)​ $$L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = – (x)(x-2)$$L1​(x)=(1−0)(1−2)(x−0)(x−2)​=−(x)(x−2) $$L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{(x)(x-1)}{2}$$L2​(x)=(2−0)(2−1)(x−0)(x−1)​=2(x)(x−1)​

Langkah 2: Polinomial interpolasi$$P_2(x) = 1 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 7 \cdot L_2(x)$$P2​(x)=1⋅L0​(x)+3⋅L1​(x)+7⋅L2​(x)

Langkah 3: Evaluasi di $x = 1.5$x=1.5$$L_0(1.5) = (1.5-1)(1.5-2)/2 = (0.5)(-0.5)/2 = -0.125$$L0​(1.5)=(1.5−1)(1.5−2)/2=(0.5)(−0.5)/2=−0.125 $$L_1(1.5) = -1.5(1.5-2) = -1.5(-0.5) = 0.75$$L1​(1.5)=−1.5(1.5−2)=−1.5(−0.5)=0.75 $$L_2(1.5) = 1.5(1.5-1)/2 = 1.5(0.5)/2 = 0.375$$L2​(1.5)=1.5(1.5−1)/2=1.5(0.5)/2=0.375 $$P_2(1.5) = 1(-0.125) + 3(0.75) + 7(0.375) = -0.125 + 2.25 + 2.625 = 4.75$$P2​(1.5)=1(−0.125)+3(0.75)+7(0.375)=−0.125+2.25+2.625=4.75

Jadi, nilai polinomial di $x=1.5$x=1.5 adalah 4.75.

Soal 3

Tentukan nilai $f(0.5)$f(0.5) jika diketahui titik $(0,1), (1, e), (2, e^2)$(0,1),(1,e),(2,e2) dengan polinomial Lagrange.

Pembahasan:
Langkah 1: Polinomial dasar$$L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}, \quad L_1(x) = -x(x-2), \quad L_2(x) = x(x-1)/2$$L0​(x)=(0−1)(0−2)(x−1)(x−2)​=2(x−1)(x−2)​,L1​(x)=−x(x−2),L2​(x)=x(x−1)/2

Langkah 2: Polinomial interpolasi$$P_2(x) = 1 \cdot L_0(x) + e \cdot L_1(x) + e^2 \cdot L_2(x)$$P2​(x)=1⋅L0​(x)+e⋅L1​(x)+e2⋅L2​(x)

Langkah 3: Evaluasi di $x = 0.5$x=0.5$$L_0(0.5) = (0.5-1)(0.5-2)/2 = (-0.5)(-1.5)/2 = 0.375$$L0​(0.5)=(0.5−1)(0.5−2)/2=(−0.5)(−1.5)/2=0.375 $$L_1(0.5) = -0.5(0.5-2) = -0.5(-1.5) = 0.75$$L1​(0.5)=−0.5(0.5−2)=−0.5(−1.5)=0.75 $$L_2(0.5) = 0.5(0.5-1)/2 = 0.5(-0.5)/2 = -0.125$$L2​(0.5)=0.5(0.5−1)/2=0.5(−0.5)/2=−0.125 $$P_2(0.5) = 1(0.375) + e(0.75) + e^2(-0.125) = 0.375 + 0.75e – 0.125e^2$$P2​(0.5)=1(0.375)+e(0.75)+e2(−0.125)=0.375+0.75e−0.125e2

Itulah bentuk nilai interpolasi di $x=0.5$x=0.5.

Baca juga:Mahasiswa Teknokrat Luncurkan Program “Digital Smart Cow Farming” untuk Tingkatkan Produktivitas Peternak

Tips Menguasai Interpolasi Lagrange

1. Latihan Rutin: Mulai dari 2–3 titik data, lalu meningkat ke 4–5 titik.
2. Perhatikan Polinomial Dasar: Pastikan indeks $i$i dan $j$j tidak salah.
3. Gunakan Kalkulator untuk Evaluasi: Mengurangi kesalahan perhitungan.
4. Pahami Konsep, Bukan Hanya Rumus: Memahami logika di balik Lagrange mempermudah adaptasi soal baru.
5. Cek Hasil: Bandingkan hasil interpolasi dengan titik data untuk memastikan akurasi.

Kesimpulan

Interpolasi Lagrange adalah metode penting untuk memperkirakan nilai fungsi di antara titik-titik data yang diketahui. Dengan memahami konsep polinomial dasar, rumus, serta langkah pengerjaan, siswa dapat mengerjakan soal interpolasi dengan tepat. Contoh soal di atas mencakup berbagai tipe: titik data kecil, nilai fungsi sederhana, hingga fungsi eksponensial, sehingga latihan menjadi lebih lengkap. Konsistensi latihan dan pemahaman konsep merupakan kunci sukses menguasai interpolasi Lagrange.

Penulis:kiara salsabilla