Berikut contoh soal

Contoh Soal 1

Selesaikan sistem kongruensi berikut:$$\begin{cases} 2x + 3y \equiv 1 \ (\text{mod } 5) \\ x + 4y \equiv 2 \ (\text{mod } 5) \end{cases}$${2x+3y≡1 (mod 5)x+4y≡2 (mod 5)​

Penyelesaian:

1. Dari persamaan kedua:

$$x + 4y \equiv 2 \ (\text{mod } 5) \implies x \equiv 2 – 4y \ (\text{mod } 5)$$x+4y≡2 (mod 5)⟹x≡2−4y (mod 5)

2. Substitusi $x$x ke persamaan pertama:

$$2(2 – 4y) + 3y \equiv 1 \ (\text{mod } 5)$$2(2−4y)+3y≡1 (mod 5)$$4 – 8y + 3y \equiv 1 \ (\text{mod } 5)$$4−8y+3y≡1 (mod 5)$$4 – 5y \equiv 1 \ (\text{mod } 5)$$4−5y≡1 (mod 5)$$-5y \equiv -3 \ (\text{mod } 5) \implies 0 \equiv 2 \ (\text{mod } 5)$$−5y≡−3 (mod 5)⟹0≡2 (mod 5)

Karena $-5y \equiv 0 \ (\text{mod } 5)$−5y≡0 (mod 5), persamaan ini benar untuk semua y. Maka kita cek substitusi sederhana:

• Misal $y = 0 \implies x \equiv 2 – 0 = 2 \ (\text{mod } 5)$y=0⟹x≡2−0=2 (mod 5)
• Misal $y = 1 \implies x \equiv 2 – 4 = -2 \equiv 3 \ (\text{mod } 5)$y=1⟹x≡2−4=−2≡3 (mod 5)

Jadi solusi sistemnya:$$(x, y) \equiv (2,0), (3,1), (4,2), (0,3), (1,4) \ (\text{mod } 5)$$(x,y)≡(2,0),(3,1),(4,2),(0,3),(1,4) (mod 5)

Baca juga:Menguasai Editorial Essay Contoh Soal dan StrategiMenguasai Editorial Essay Contoh Soal dan Strategi

Contoh Soal 2

Selesaikan sistem kongruensi:$$\begin{cases} 3x + 2y \equiv 4 \ (\text{mod } 7) \\ 5x + y \equiv 1 \ (\text{mod } 7) \end{cases}$${3x+2y≡4 (mod 7)5x+y≡1 (mod 7)​

Baca juga:Rektor UTI Nasrullah Yusuf Motivasi Mahasiswa pada Ijtimak Ulama dan Tabligh Akbar Indonesia Berdoa 2025

Penyelesaian:

1. Dari persamaan kedua:

$$5x + y \equiv 1 \implies y \equiv 1 – 5x \ (\text{mod } 7)$$5x+y≡1⟹y≡1−5x (mod 7)

2. Substitusi ke persamaan pertama:

$$3x + 2(1 – 5x) \equiv 4 \ (\text{mod } 7)$$3x+2(1−5x)≡4 (mod 7)$$3x + 2 – 10x \equiv 4 \ (\text{mod } 7)$$3x+2−10x≡4 (mod 7)$$-7x + 2 \equiv 4 \ (\text{mod } 7)$$−7x+2≡4 (mod 7)$$0x + 2 \equiv 4 \ (\text{mod } 7) \implies 2 \equiv 4 \ (\text{mod } 7)$$0x+2≡4 (mod 7)⟹2≡4 (mod 7)

Ini tidak benar, sehingga tidak ada solusi untuk sistem ini.

Tips Penyelesaian Sistem Kongruensi Linear

1. Pilih satu persamaan dan nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi ke persamaan lain.
3. Sederhanakan dengan aritmetika modulo.
4. Periksa konsistensi solusi (jika kontradiksi muncul → tidak ada solusi).

Penulis:okta