Menguasai Konsep Gabungan Lingkaran: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Dalam pelajaran matematika, khususnya pada bab himpunan, kita sering menjumpai soal-soal yang melibatkan gabungan, irisan, dan selisih antarhimpunan. Salah satu penerapan menarik dari konsep ini adalah gabungan dua atau lebih lingkaran pada bidang koordinat atau diagram Venn.

Gabungan lingkaran tidak hanya muncul dalam teori himpunan, tetapi juga sering digunakan dalam geometri, probabilitas, dan bahkan statistika untuk menggambarkan hubungan antara dua kelompok data. Artikel ini akan membahas secara lengkap tentang pengertian gabungan lingkaran, rumus dasar, serta contoh soal dan pembahasannya agar kamu lebih mudah memahami konsep ini.

baca juga: Memahami Persamaan Garis Melalui Matriks:

1. Pengertian Gabungan Lingkaran

Sebelum masuk ke soal, kita perlu memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan gabungan lingkaran.
Dalam konteks himpunan, gabungan dua lingkaran AAA dan BBB dapat ditulis sebagai: A∪BA \cup BA∪B

Artinya, gabungan lingkaran adalah daerah yang mencakup semua titik yang berada di dalam lingkaran AAA, di dalam lingkaran BBB, atau di dalam keduanya.

Jika digambarkan dalam diagram Venn, daerah gabungan merupakan seluruh area dari kedua lingkaran, termasuk area yang saling tumpang tindih (irisan).

2. Rumus Luas Gabungan Dua Lingkaran

Untuk menghitung luas gabungan dua lingkaran, kita dapat menggunakan konsep: L(A∪B)=L(A)+L(B)−L(A∩B)L(A \cup B) = L(A) + L(B) – L(A \cap B)L(A∪B)=L(A)+L(B)−L(A∩B)

Keterangan:

• L(A)L(A)L(A) = luas lingkaran pertama
• L(B)L(B)L(B) = luas lingkaran kedua
• L(A∩B)L(A \cap B)L(A∩B) = luas daerah irisan kedua lingkaran

Rumus di atas sebenarnya serupa dengan rumus untuk menghitung gabungan dua himpunan. Bagian irisan dikurangkan agar tidak dihitung dua kali.

3. Contoh Soal Gabungan Dua Lingkaran

Contoh Soal 1: Menghitung Luas Gabungan

Dua lingkaran masing-masing memiliki jari-jari:

• Lingkaran A: r1=7 cmr_1 = 7 \, \text{cm}r1​=7cm
• Lingkaran B: r2=5 cmr_2 = 5 \, \text{cm}r2​=5cm

Kedua lingkaran saling berpotongan sehingga luas irisan keduanya adalah 38,5 cm238,5 \, \text{cm}^238,5cm2.
Hitunglah luas gabungan kedua lingkaran!

Penyelesaian:

Diketahui: L(A)=πr12=3,14×72=3,14×49=153,86 cm2L(A) = \pi r_1^2 = 3,14 \times 7^2 = 3,14 \times 49 = 153,86 \, \text{cm}^2L(A)=πr12​=3,14×72=3,14×49=153,86cm2 L(B)=πr22=3,14×52=3,14×25=78,5 cm2L(B) = \pi r_2^2 = 3,14 \times 5^2 = 3,14 \times 25 = 78,5 \, \text{cm}^2L(B)=πr22​=3,14×52=3,14×25=78,5cm2 L(A∩B)=38,5 cm2L(A \cap B) = 38,5 \, \text{cm}^2L(A∩B)=38,5cm2

Maka luas gabungan: L(A∪B)=L(A)+L(B)−L(A∩B)L(A \cup B) = L(A) + L(B) – L(A \cap B)L(A∪B)=L(A)+L(B)−L(A∩B) L(A∪B)=153,86+78,5−38,5=193,86 cm2L(A \cup B) = 153,86 + 78,5 – 38,5 = 193,86 \, \text{cm}^2L(A∪B)=153,86+78,5−38,5=193,86cm2

Jadi, luas gabungan kedua lingkaran adalah 193,86 cm².

Contoh Soal 2: Aplikasi dalam Diagram Venn

Dalam suatu survei, terdapat dua kelompok siswa:

• 30 siswa menyukai matematika (M)
• 25 siswa menyukai fisika (F)
• 15 siswa menyukai keduanya

Berapa banyak siswa yang menyukai matematika atau fisika?

Penyelesaian:

Kita gunakan rumus gabungan himpunan: n(M∪F)=n(M)+n(F)−n(M∩F)n(M \cup F) = n(M) + n(F) – n(M \cap F)n(M∪F)=n(M)+n(F)−n(M∩F)

Substitusikan data: n(M∪F)=30+25−15=40n(M \cup F) = 30 + 25 – 15 = 40n(M∪F)=30+25−15=40

Jadi, terdapat 40 siswa yang menyukai matematika atau fisika.

Walau tidak berbentuk lingkaran secara geometri, secara konsep diagram Venn dapat dianggap sebagai dua lingkaran yang mewakili himpunan M dan F. Daerah gabungan mencakup semua siswa yang menyukai salah satu atau kedua mata pelajaran tersebut.

Contoh Soal 3: Menentukan Jarak Antar Titik Pusat Lingkaran

Dua lingkaran AAA dan BBB memiliki jari-jari 10 cm10 \, \text{cm}10cm dan 6 cm6 \, \text{cm}6cm. Jika panjang garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran adalah 12 cm12 \, \text{cm}12cm, tentukan apakah kedua lingkaran:

• Berpotongan,
• Bersinggungan,
• Atau terpisah.

Penyelesaian:

Gunakan sifat-sifat posisi dua lingkaran:

1. Terpisah → d>r1+r2d > r_1 + r_2d>r1​+r2​
2. Bersinggungan luar → d=r1+r2d = r_1 + r_2d=r1​+r2​
3. Berpotongan → ∣r1−r2∣<d<r1+r2|r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2∣r1​−r2​∣<d<r1​+r2​
4. Bersinggungan dalam → d=∣r1−r2∣d = |r_1 – r_2|d=∣r1​−r2​∣
5. Saling di dalam → d<∣r1−r2∣d < |r_1 – r_2|d<∣r1​−r2​∣

Hitung: r1+r2=10+6=16r_1 + r_2 = 10 + 6 = 16r1​+r2​=10+6=16 ∣r1−r2∣=4|r_1 – r_2| = 4∣r1​−r2​∣=4 d=12d = 12d=12

Karena 4<12<164 < 12 < 164<12<16, maka kedua lingkaran berpotongan.
Artinya, terdapat daerah irisan, dan gabungan lingkaran mencakup area dari kedua lingkaran yang saling tumpang tindih.

4. Visualisasi Gabungan Dua Lingkaran

Untuk memahami konsep gabungan lebih mudah, bayangkan dua lingkaran yang saling tumpang tindih. Daerah gabungan akan meliputi seluruh bagian kedua lingkaran.
Secara grafis:

• Warna biru mewakili lingkaran A,
• Warna merah mewakili lingkaran B,
• Daerah ungu (hasil campuran) adalah irisan,
• Gabungan adalah seluruh area biru + merah + ungu.

Visualisasi ini sering digunakan dalam diagram Venn dan analisis data untuk menggambarkan hubungan antar kelompok.

baca juga: Dua Mahasiswa Teknokrat Sabet Juara 1 Lomba Pekan Seni Mahasiswa Tingkat Nasional

5. Soal Latihan Gabungan Lingkaran

Coba kerjakan soal berikut untuk melatih pemahamanmu:

1. Dua lingkaran memiliki jari-jari 4 cm dan 6 cm. Jika luas irisan kedua lingkaran adalah 28,26 cm², hitung luas gabungan kedua lingkaran (gunakan π=3,14\pi = 3,14π=3,14).
2. Dalam survei terhadap 50 siswa, 32 suka pelajaran Biologi, 20 suka Kimia, dan 10 suka keduanya. Berapa banyak siswa yang suka Biologi atau Kimia?
3. Dua lingkaran memiliki jari-jari sama, yaitu 5 cm. Jika jarak antara pusatnya 8 cm, tentukan posisi relatif kedua lingkaran.

Penulis: Tanjali Mulia Nafisa