Dalam pelajaran matematika, khususnya materi program linear, metode titik pojok adalah salah satu cara paling efektif untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif. Metode ini digunakan ketika daerah penyelesaian berbentuk bangun datar (biasanya segi empat atau segi banyak), dan titik-titik pojoknya dapat dihitung untuk menemukan nilai terbaik.
Siswa SMA maupun SMK sering menghadapi soal jenis ini dalam ujian sekolah maupun asesmen kompetensi. Oleh karena itu, memahami teknik titik pojok sangat penting untuk menyelesaikan persoalan program linear dengan cepat dan tepat.
Baca juga:Menguasai Ilmu Perusahaan: Posisi Magang Impian Anda!
1. Konsep Dasar Titik Pojok dalam Program Linear
Program linear melibatkan beberapa komponen utama:
- Fungsi objektif (fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan).
- Fungsi kendala (batasan berupa pertidaksamaan linear).
- Daerah penyelesaian (daerah yang memenuhi semua kendala).
- Titik pojok (titik ekstrem dari daerah penyelesaian).
Menurut teori program linear, nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektif pasti terjadi di salah satu titik pojok daerah penyelesaian. Oleh sebab itu, mengetahui cara menentukan titik pojok menjadi langkah penting untuk menemukan solusi optimal.
2. Contoh Soal Titik Pojok Sederhana
Contoh Soal 1
Diberikan fungsi objektif
Z = 3x + 4y
Dengan kendala:
x + 2y ≤ 10
2x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Tentukan titik pojok dan nilai maksimum Z!
Pembahasan:
Langkah 1: Gambar garis batas (secara konsep, bisa dihitung secara aljabar).
Garis 1: x + 2y = 10
Jika x = 0 → y = 5
Jika y = 0 → x = 10
Garis 2: 2x + y = 12
Jika x = 0 → y = 12
Jika y = 0 → x = 6
Langkah 2: Tentukan titik potong kedua garis
x + 2y = 10
2x + y = 12
Kalikan persamaan pertama dengan 2:
2x + 4y = 20
Kurangkan dengan persamaan kedua:
(2x + 4y) − (2x + y) = 20 − 12
3y = 8
y = 8/3
Substitusi ke x + 2y = 10
x + 16/3 = 10
x = 10 − 16/3
x = 14/3
Titik pojok yang diperoleh:
A = (0,0)
B = (10,0)
C = (6,0)? Tidak, periksa: titik potong x=6, y=0 (dari garis 2) → valid
D = (0,5)
E = (14/3 , 8/3)
Langkah 3: Hitung nilai Z di setiap titik pojok
A(0,0): Z = 0
B(10,0): Z = 3(10) + 4(0) = 30
D(0,5): Z = 3(0) + 4(5) = 20
E(14/3, 8/3):
Z = 3(14/3) + 4(8/3)
= 14 + 32/3
= 14 + 10,67 = 24,67
Nilai maksimum terdapat pada titik (10,0) dengan Z = 30.
3. Contoh Soal Titik Pojok dengan Daerah Segi Banyak
Contoh Soal 2
Maksimumkan fungsi
Z = 5x + 2y
Dengan kendala:
x + y ≤ 8
x + 3y ≤ 18
x ≥ 0
y ≥ 0
Pembahasan:
Langkah 1: Titik-titik batas
Garis 1: x + y = 8
(0,8) dan (8,0)
Garis 2: x + 3y = 18
(0,6) dan (18,0)
Langkah 2: Titik potong kedua garis
x + y = 8
x + 3y = 18
Kurangkan:
2y = 10 → y = 5
x = 8 − 5 = 3
Titik pojok:
A = (0,0)
B = (8,0)
C = (3,5)
D = (0,6)
Langkah 3: Hitung nilai Z
A(0,0): Z = 0
B(8,0): Z = 5(8) = 40
C(3,5): Z = 15 + 10 = 25
D(0,6): Z = 12
Nilai maksimum = 40, di titik (8,0).
4. Contoh Soal Titik Pojok dalam Konteks Cerita
Contoh Soal 3
Sebuah pabrik ingin membuat dua jenis produk: produk A dan produk B.
Kendala bahan baku:
Produk A membutuhkan 2 unit bahan
Produk B membutuhkan 4 unit bahan
Total bahan yang tersedia: 40 unit
Kendala waktu mesin:
Produk A membutuhkan 1 jam
Produk B membutuhkan 3 jam
Total waktu mesin tersedia: 30 jam
Keuntungan:
Produk A: Rp30.000
Produk B: Rp50.000
Tentukan jumlah produksi agar keuntungan maksimum.
Pembahasan:
Variabel:
x = jumlah produk A
y = jumlah produk B
Fungsi objektif:
Z = 30000x + 50000y
Kendala bahan:
2x + 4y ≤ 40
x + 2y ≤ 20
Kendala waktu mesin:
x + 3y ≤ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
Langkah 1: Tentukan titik pojok (perhitungan aljabar disederhanakan):
Garis 1: 2x + 4y = 40 → x + 2y = 20
Titik batas: (20,0), (0,10)
Garis 2: x + 3y = 30
Titik batas: (30,0), (0,10)
Langkah 2: Titik potong garis x + 2y = 20 dan x + 3y = 30
x + 2y = 20
x + 3y = 30
Kurangkan:
y = 10
x = 0
Titik pojok ditemukan:
A = (0,0)
B = (20,0)
C = (0,10)
D = (0,10) → dua garis berpotongan di titik sama, sehingga daerah berbatas
Langkah 3: Hitung nilai Z
A: 0
B: 30000(20) = 600.000
C: 50000(10) = 500.000
Profit maksimum = 600.000, di titik (20,0)
Artinya: produksi maksimal pada produk A.
5. Contoh Soal Titik Pojok dengan Grafik Tidak Simetris
Contoh Soal 4
Maksimalkan Z = 4x + 6y
Dengan kendala:
3x + y ≤ 15
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Pembahasan:
Titik batas:
3x + y = 15 → (0,15), (5,0)
x + 2y = 12 → (0,6), (12,0)
Titik potong:
3x + y = 15
x + 2y = 12
Kalikan persamaan 2 dengan 3:
3x + 6y = 36
Kurangkan dengan persamaan pertama:
5y = 21 → y = 4,2
x = 15 − 4,2 = 10,8 / 3 = 3,6
Titik pojok:
A = (0,0)
B = (5,0)
C = (3,6 ; 4,2)
D = (0,6)
Hitung nilai Z:
A: 0
B: 20
C: 4(3,6) + 6(4,2) = 14,4 + 25,2 = 39,6
D: 36
Maksimum = 39,6 di titik (3,6 ; 4,2).
Baca juga:Ketua Aptisi M Budi Djatmiko Paparkan Kunci Bangun Peradaban, Nasrullah Yusuf Moderator
6. Tips Cepat Menentukan Titik Pojok
1. Gambar garis batas dengan tepat
Gunakan titik potong sumbu sebagai cara paling cepat.
2. Tentukan titik potong antar garis
Gunakan eliminasi atau substitusi.
3. Hanya hitung titik dalam daerah feasible
Pastikan titik memenuhi semua kendala.
4. Masukkan titik pojok ke fungsi objektif
Pilih nilai terbesar atau terkecil sesuai perintah.
5. Cek hasil secara logis
Pastikan nilai tidak negatif dan memenuhi batasan.
Kesimpulan
Metode titik pojok adalah teknik penting dalam menyelesaikan program linear karena nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif pasti terdapat pada salah satu titik pojok daerah penyelesaian. Dengan memahami cara menghitung dan menganalisis titik pojok, siswa dapat menyelesaikan berbagai soal matematika aplikasi dengan lebih mudah, terutama yang berkaitan dengan optimasi.
Penulis: Maharani Noeralifa
Post Comment