Fungsi komposisi adalah salah satu materi inti dalam matematika wajib untuk siswa SMA. Konsep ini tidak hanya sering muncul dalam ulangan dan ujian, tetapi juga menjadi fondasi untuk memahami materi matematika yang lebih kompleks. Banyak siswa yang merasa kesulitan karena kurangnya latihan dalam mengerjakan soal-soal yang bervariasi. Artikel ini hadir untuk memberikan berbagai contoh soal fungsi komposisi, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami, guna memantapkan pemahaman Anda.
baca juga: Memahami Child-Woman Ratio: Contoh Soal dan
Konsep Dasar Fungsi Komposisi
Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali konsep dasarnya. Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih menjadi satu fungsi baru. Operasi ini dilambangkan dengan lingkaran kecil “∘”. Jika kita memiliki dua fungsi, f(x) dan g(x), maka komposisinya dapat ditulis sebagai:
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)): Dibaca “f bundaran g of x”, yang berarti fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi f.
- (g ∘ f)(x) = g(f(x)): Dibaca “g bundaran f of x”, yang berarti fungsi f dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi g.
Perhatikan bahwa pada umumnya, (f ∘ g)(x) ≠(g ∘ f)(x). Artinya, operasi komposisi tidak bersifat komutatif.
Contoh Soal 1: Menentukan Hasil Komposisi Dua Fungsi
Ini adalah tipe soal paling dasar. Diberikan dua fungsi, Anda diminta untuk mencari hasil komposisinya.
Soal:
Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x² – 1. Tentukan:
a. (f ∘ g)(x)
b. (g ∘ f)(x)
Pembahasan:
a. (f ∘ g)(x) = f(g(x))
- Gantikan g(x) ke dalam f(x). Karena g(x) = x² – 1, maka:
- f(g(x)) = f( x² – 1 )
- Sekarang, di fungsi f(x) = 2x + 3, setiap ‘x’ kita ganti dengan ‘(x² – 1)’.
- f(g(x)) = 2( x² – 1 ) + 3
- f(g(x)) = 2x² – 2 + 3
- f(g(x)) = 2x² + 1
- Jadi, (f ∘ g)(x) = 2x² + 1
b. (g ∘ f)(x) = g(f(x))
- Gantikan f(x) ke dalam g(x). Karena f(x) = 2x + 3, maka:
- g(f(x)) = g(Â 2x + 3Â )
- Di fungsi g(x) = x² – 1, setiap ‘x’ kita ganti dengan ‘(2x + 3)’.
- g(f(x)) = ( 2x + 3 )² – 1
- g(f(x)) = (4x² + 12x + 9) – 1
- g(f(x)) = 4x² + 12x + 8
- Jadi, (g ∘ f)(x) = 4x² + 12x + 8
Perhatikan bahwa (f ∘ g)(x) ≠(g ∘ f)(x), seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
Contoh Soal 2: Menentukan Salah Satu Fungsi Jika Diketahui Komposisinya
Tipe soal ini sedikit lebih menantang. Anda diberikan fungsi komposisi dan salah satu fungsi pembentuknya, lalu diminta untuk mencari fungsi yang lain.
Soal:
Diketahui (f ∘ g)(x) = 4x² + 8x – 3 dan g(x) = 2x + 1. Tentukan fungsi f(x)!
Pembahasan:
- Kita tahu bahwa (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 8x – 3.
- Misalkan g(x) = u. Karena g(x) = 2x + 1, maka u = 2x + 1.
- Dari persamaan u = 2x + 1, kita bisa nyatakan x dalam u:Â x = (u – 1)/2.
- Sekarang, substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan komposisi:
- f(g(x)) = 4x² + 8x – 3
- f(u) = 4[(u – 1)/2]² + 8[(u – 1)/2] – 3
- Sederhanakan persamaan tersebut:
- f(u) = 4[(u² – 2u + 1)/4] + 4(u – 1) – 3
- f(u) = (u² – 2u + 1) + 4u – 4 – 3
- f(u) = u² – 2u + 1 + 4u – 7
- f(u) = u² + 2u – 6
- Karena u adalah variabel bebas, kita bisa ganti u kembali menjadi x. Jadi, f(x) = x² + 2x – 6.
Contoh Soal 3: Menentukan Nilai Fungsi di Titik Tertentu
Soal ini meminta Anda untuk menghitung nilai numerik dari suatu fungsi komposisi.
Soal:
Jika f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x + 5, tentukan nilai dari (f ∘ g)(2)!
Pembahasan:
Ada dua cara untuk menyelesaikannya.
Cara 1: Cari (f ∘ g)(x) terlebih dahulu.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5) = 3(2x + 5) – 1 = 6x + 15 – 1 = 6x + 14
- Kemudian, substitusi x = 2: (f ∘ g)(2) = 6(2) + 14 = 12 + 14 = 26
Cara 2: Langsung substitusi.
- (f ∘ g)(2) = f( g(2) )
- Cari g(2) terlebih dahulu: g(2) = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9
- Kemudian, cari f( g(2) ) = f(9) = 3(9) – 1 = 27 – 1 = 26
Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu 26.
Contoh Soal 4: Aplikasi Fungsi Komposisi dalam Masalah Cerita
Pemahaman fungsi komposisi sangat berguna untuk memecahkan masalah kontekstual.
Soal:
Sebuah pabrik memproduksi barang dengan biaya produksi dinyatakan sebagai fungsi B(x) = 2x² + 500x (dalam ribu rupiah), dimana x adalah jumlah unit yang diproduksi. Barang tersebut kemudian dijual dengan harga jual per unit mengikuti fungsi H(x) = 150.000 – 200x (dalam rupiah). Tentukan fungsi pendapatan total sebelum dipotong biaya produksi jika dinyatakan dalam jumlah unit x! (Asumsikan semua barang terjual).
Pembahasan:
- Analisis: Pendapatan total (P) adalah harga jual per unit (H) dikalikan dengan jumlah unit yang terjual (x). Jadi, P = H(x) × x.
- Namun, perhatikan bahwa harga jual per unit H(x) sendiri merupakan fungsi dari x. Jadi, pendapatan total sebenarnya adalah fungsi komposisi?
- Mari kita lihat lebih teliti. Kita diminta mencari pendapatan total sebagai fungsi dari x. Jika semua x unit terjual, maka:
- Pendapatan Total = (Harga per Unit) × (Jumlah Unit)
- P(x) = H(x) × x
- Substitusikan H(x) = 150.000 – 200x:
- P(x) = (150.000 – 200x) × x
- P(x) = 150.000x – 200x²
- Jadi, fungsi pendapatan totalnya adalah P(x) = -200x² + 150.000x.
Dalam konteks ini, kita tidak membuat komposisi dua fungsi secara langsung seperti (f ∘ g)(x), tetapi kita menggabungkan dua fungsi yang saling terkait melalui operasi perkalian. Soal ini melatih kemampuan memodelkan masalah nyata ke dalam bentuk fungsi.
Contoh Soal 5: Menentukan Fungsi Awal dengan Komposisi Tiga Fungsi
Soal ini mengembangkan konsep untuk tiga fungsi.
Soal:
Diketahui f(x) = 2x + 1, (f ∘ g)(x) = 4x² + 2, dan (g ∘ h)(x) = 2x – 3. Tentukan nilai dari h(2)!
Pembahasan:
Langkah-langkahnya perlu dilakukan dengan sistematis.
- Cari g(x) dari (f ∘ g)(x).
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 2
- f(g(x)) = 2 * g(x) + 1 = 4x² + 2
- Jadi, 2 * g(x) + 1 = 4x² + 2
- 2 * g(x) = 4x² + 1
- g(x) = 2x² + 1/2
- Gunakan (g ∘ h)(x) untuk mencari h(x).
- (g ∘ h)(x) = g(h(x)) = 2x – 3
- Substitusikan g(x) yang telah kita dapat: g(h(x)) = 2 * [h(x)]² + 1/2 = 2x – 3
- 2 * [h(x)]² = 2x – 3 – 1/2
- 2 * [h(x)]² = 2x – 7/2
- [h(x)]² = x – 7/4
- h(x) = √(x – 7/4) (Kita ambil akar positif untuk contoh ini).
- Cari h(2).
- h(2) = √(2 – 7/4)
- h(2) = √(8/4 – 7/4)
- h(2) = √(1/4)
- h(2) = 1/2
Jadi, nilai dari h(2) adalah 1/2.
Penulis: Tanjali Mulia Nafisa
Post Comment