Rahasia Mudah Kuasai Dalil Rantai: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Pelajar Matematika dan Fisika

Dalam dunia matematika dan fisika, terutama pada topik turunan fungsi majemuk, ada satu konsep penting yang wajib kamu pahami dengan baik, yaitu dalil rantai atau chain rule. Dalil rantai menjadi dasar untuk menghitung turunan fungsi yang di dalamnya terdapat fungsi lain. Meski sekilas tampak rumit, sebenarnya konsep ini sangat logis jika kamu memahaminya langkah demi langkah.

Artikel ini akan membahas secara lengkap pengertian dalil rantai, rumus umum, serta contoh soal dalil rantai beserta pembahasannya agar kamu bisa menguasainya dengan cepat dan mudah.

Baca juga: Rahasia Lolos Wawancara! Contoh Soal

Apa Itu Dalil Rantai?

Dalil rantai adalah aturan yang digunakan untuk mencari turunan dari fungsi majemuk, yaitu fungsi yang tersusun dari satu fungsi di dalam fungsi lainnya. Dalam bentuk umum, dalil rantai dinyatakan sebagai:

Jika y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x)), maka turunan dari yyy terhadap xxx adalah: dydx=f′(g(x))×g′(x)\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \times g'(x)dxdy​=f′(g(x))×g′(x)

Artinya, untuk mencari turunan fungsi majemuk, kamu perlu menurunkan fungsi luar terlebih dahulu, lalu dikalikan dengan turunan fungsi dalam.

Contohnya, jika y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5y=(3x+2)5, maka fungsi luar adalah u5u^5u5 dan fungsi dalam adalah u=3x+2u = 3x + 2u=3x+2.

Maka, dydx=5(3x+2)4×3=15(3x+2)4\frac{dy}{dx} = 5(3x + 2)^4 \times 3 = 15(3x + 2)^4dxdy​=5(3x+2)4×3=15(3x+2)4

Dalil rantai sangat sering digunakan dalam berbagai cabang ilmu, mulai dari matematika murni, fisika, ekonomi, hingga teknik, karena banyak fenomena nyata dapat dimodelkan sebagai fungsi majemuk.

Mengapa Dalil Rantai Penting?

Pemahaman dalil rantai menjadi dasar untuk topik-topik lanjutan seperti:

1. Turunan fungsi trigonometri majemuk, misalnya sin(2x + 3).
2. Turunan fungsi eksponensial dan logaritma majemuk.
3. Perubahan variabel dalam fisika, seperti kecepatan dan percepatan terhadap waktu.
4. Optimasi fungsi dalam ekonomi dan teknik.

Dengan menguasai dalil rantai, kamu akan lebih mudah menyelesaikan berbagai soal yang melibatkan fungsi berlapis.

Rumus Umum Dalil Rantai

Untuk fungsi majemuk y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x)), rumus dasarnya adalah: dydx=f′(g(x))×g′(x)\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \times g'(x)dxdy​=f′(g(x))×g′(x)

Namun, dalam bentuk fungsi lebih kompleks, dalil rantai juga dapat diperluas, misalnya:

• Jika y=f(g(h(x)))y = f(g(h(x)))y=f(g(h(x))), maka dydx=f′(g(h(x)))×g′(h(x))×h′(x)\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \times g'(h(x)) \times h'(x)dxdy​=f′(g(h(x)))×g′(h(x))×h′(x)

Rumus ini bisa diterapkan berulang kali sesuai jumlah fungsi yang bersarang di dalamnya.

Contoh Soal Dalil Rantai dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal untuk membantumu memahami penerapan dalil rantai dalam berbagai bentuk.

Contoh Soal 1

Tentukan turunan dari y=(2x+3)4y = (2x + 3)^4y=(2x+3)4.

Pembahasan:
Fungsi luar: f(u)=u4f(u) = u^4f(u)=u4
Fungsi dalam: u=2x+3u = 2x + 3u=2x+3

Turunan fungsi luar: f′(u)=4u3f'(u) = 4u^3f′(u)=4u3
Turunan fungsi dalam: u′=2u’ = 2u′=2

Gunakan dalil rantai: dydx=f′(u)×u′=4(2x+3)3×2=8(2x+3)3\frac{dy}{dx} = f'(u) \times u’ = 4(2x + 3)^3 \times 2 = 8(2x + 3)^3dxdy​=f′(u)×u′=4(2x+3)3×2=8(2x+3)3

Jawaban: dydx=8(2x+3)3\frac{dy}{dx} = 8(2x + 3)^3dxdy​=8(2x+3)3

Contoh Soal 2

Tentukan turunan dari y=sin⁡(3×2+1)y = \sin(3x^2 + 1)y=sin(3×2+1).

Pembahasan:
Fungsi luar: f(u)=sin⁡(u)f(u) = \sin(u)f(u)=sin(u)
Fungsi dalam: u=3×2+1u = 3x^2 + 1u=3×2+1

Turunan fungsi luar: f′(u)=cos⁡(u)f'(u) = \cos(u)f′(u)=cos(u)
Turunan fungsi dalam: u′=6xu’ = 6xu′=6x

Gunakan dalil rantai: dydx=cos⁡(3×2+1)×6x=6xcos⁡(3×2+1)\frac{dy}{dx} = \cos(3x^2 + 1) \times 6x = 6x\cos(3x^2 + 1)dxdy​=cos(3×2+1)×6x=6xcos(3×2+1)

Jawaban: dydx=6xcos⁡(3×2+1)\frac{dy}{dx} = 6x\cos(3x^2 + 1)dxdy​=6xcos(3×2+1)

Contoh Soal 3

Hitung turunan dari y=e(4x+5)y = e^{(4x + 5)}y=e(4x+5).

Pembahasan:
Fungsi luar: f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu
Fungsi dalam: u=4x+5u = 4x + 5u=4x+5

Turunan fungsi luar: f′(u)=euf'(u) = e^uf′(u)=eu
Turunan fungsi dalam: u′=4u’ = 4u′=4

Maka: dydx=e(4x+5)×4=4e(4x+5)\frac{dy}{dx} = e^{(4x + 5)} \times 4 = 4e^{(4x + 5)}dxdy​=e(4x+5)×4=4e(4x+5)

Jawaban: dydx=4e(4x+5)\frac{dy}{dx} = 4e^{(4x + 5)}dxdy​=4e(4x+5)

Contoh Soal 4

Tentukan turunan dari y=ln⁡(5×3−2x)y = \ln(5x^3 – 2x)y=ln(5×3−2x).

Pembahasan:
Fungsi luar: f(u)=ln⁡(u)f(u) = \ln(u)f(u)=ln(u)
Fungsi dalam: u=5×3−2xu = 5x^3 – 2xu=5×3−2x

Turunan fungsi luar: f′(u)=1uf'(u) = \frac{1}{u}f′(u)=u1​
Turunan fungsi dalam: u′=15×2−2u’ = 15x^2 – 2u′=15×2−2

Gunakan dalil rantai: dydx=15×3−2x×(15×2−2)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5x^3 – 2x} \times (15x^2 – 2)dxdy​=5×3−2×1​×(15×2−2)

Jawaban: dydx=15×2−25×3−2x\frac{dy}{dx} = \frac{15x^2 – 2}{5x^3 – 2x}dxdy​=5×3−2x15x2−2​

Contoh Soal 5

Tentukan turunan dari y=(3×2+2x+1)5y = (3x^2 + 2x + 1)^5y=(3×2+2x+1)5.

Pembahasan:
Fungsi luar: f(u)=u5f(u) = u^5f(u)=u5
Fungsi dalam: u=3×2+2x+1u = 3x^2 + 2x + 1u=3×2+2x+1

Turunan fungsi luar: f′(u)=5u4f'(u) = 5u^4f′(u)=5u4
Turunan fungsi dalam: u′=6x+2u’ = 6x + 2u′=6x+2

Gunakan dalil rantai: dydx=5(3×2+2x+1)4×(6x+2)\frac{dy}{dx} = 5(3x^2 + 2x + 1)^4 \times (6x + 2)dxdy​=5(3×2+2x+1)4×(6x+2)

Jawaban: dydx=5(6x+2)(3×2+2x+1)4\frac{dy}{dx} = 5(6x + 2)(3x^2 + 2x + 1)^4dxdy​=5(6x+2)(3×2+2x+1)4

Cara Mudah Mengingat Dalil Rantai

Agar lebih mudah diingat, gunakan konsep “turunkan luar kali turunan dalam”.
Langkah-langkah praktisnya:

1. Turunkan fungsi luar seperti biasa.
2. Jangan ubah isi fungsi dalamnya.
3. Kalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam.

Contoh sederhana:
y=(sin⁡x)3y = (\sin x)^3y=(sinx)3
Fungsi luar: u3u^3u3, fungsi dalam: u=sin⁡xu = \sin xu=sinx

Maka: dydx=3(sin⁡x)2×cos⁡x=3sin⁡2xcos⁡x\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)^2 \times \cos x = 3\sin^2 x \cos xdxdy​=3(sinx)2×cosx=3sin2xcosx

Penerapan Dalil Rantai dalam Kehidupan Nyata

Dalil rantai tidak hanya digunakan dalam matematika, tapi juga dalam dunia nyata. Misalnya:

1. Fisika: Untuk menghitung percepatan benda ketika kecepatannya bergantung pada waktu dan posisi.
2. Ekonomi: Dalam analisis turunan fungsi keuntungan terhadap waktu atau jumlah produksi.
3. Teknik: Untuk menghitung perubahan suhu atau tekanan terhadap variabel lain yang saling bergantung.

Baca juga: Ketua Aptisi M Budi Djatmiko Paparkan Kunci Bangun Peradaban, Nasrullah Yusuf Moderator

Tips Menguasai Soal Dalil Rantai

1. Pahami fungsi luar dan fungsi dalam dengan jelas.
2. Selalu gunakan tanda kurung agar tidak salah dalam menurunkan fungsi.
3. Latih berbagai bentuk fungsi, seperti trigonometri, logaritma, dan eksponensial.
4. Gunakan tabel turunan dasar sebagai panduan cepat.
5. Coba soal bertingkat (fungsi tiga lapis) untuk menguji pemahamanmu.

Penulis: Dena Triana