Pertidaksamaan irasional adalah jenis pertidaksamaan yang mengandung variabel di bawah tanda akar. Materi ini sering dianggap menantang karena melibatkan langkah ekstra untuk menghilangkan akar, yaitu pengkuadratan, yang berpotensi menghasilkan solusi palsu. Oleh karena itu, menyelesaikan pertidaksamaan irasional tidak cukup hanya dengan aljabar; ia membutuhkan pemeriksaan kondisi tambahan, terutama syarat batas numerik (Numerus).
Artikel ini akan menyajikan contoh-contoh soal pertidaksamaan irasional, dari tingkat dasar hingga kompleks, lengkap dengan langkah-langkah sistematis untuk mendapatkan himpunan penyelesaian yang valid.
baca juga:Mengurai Kode Kehidupan: Keterampilan Esensial Specialist
1. Konsep Kunci Pertidaksamaan Irasional
Sebelum melangkah ke contoh soal, ada dua syarat utama yang wajib dipenuhi saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, terutama yang berbentuk $\sqrt{f(x)} < g(x)$ atau $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$:
- Syarat Numerus (Domain Akar):Variabel di bawah tanda akar kuadrat harus selalu bernilai non-negatif.$$\text{Jika ada } \sqrt{f(x)}, \text{ maka syaratnya adalah } f(x) \geq 0$$
- Syarat Hasil Kuadrat (Batas Ruas Kanan):Saat mengkuadratkan kedua ruas, perhatikan sifat akar kuadrat.$$\text{Jika } \sqrt{f(x)} < g(x), \text{ maka } g(x) \text{ harus positif, yaitu } g(x) > 0$$(Karena hasil dari akar kuadrat pasti non-negatif).
Solusi akhir adalah irisan dari ketiga kondisi: Syarat Numerus, Syarat Batas (jika ada), dan Hasil Pengkuadratan.
2. Soal Tingkat Dasar: Satu Akar dan Konstanta
Soal-soal ini mengenalkan langkah-langkah dasar penyelesaian pertidaksamaan irasional.
Contoh Soal 1: Bentuk $\sqrt{f(x)} < \text{konstanta}$
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sqrt{x-3} < 2$.
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat Numerus
$$x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \quad \dots (i)$$
Langkah 2: Pengkuadratan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas:
$$(\sqrt{x-3})^2 < 2^2$$
$$x – 3 < 4$$
$$x < 7 \quad \dots (ii)$$
Langkah 3: Irisan Solusi
Tentukan irisan dari (i) dan (ii):
$$x \geq 3 \cap x < 7$$
$$3 \leq x < 7$$
Himpunan Penyelesaian (HP): $\{x \mid 3 \leq x < 7\}$
Contoh Soal 2: Bentuk $\sqrt{f(x)} \geq \text{konstanta}$
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sqrt{2x+6} \geq 4$.
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat Numerus
$$2x + 6 \geq 0$$
$$2x \geq -6 \Rightarrow x \geq -3 \quad \dots (i)$$
Langkah 2: Pengkuadratan Kedua Ruas
Kuadratkan kedua ruas:
$$(\sqrt{2x+6})^2 \geq 4^2$$
$$2x + 6 \geq 16$$
$$2x \geq 10$$
$$x \geq 5 \quad \dots (ii)$$
Langkah 3: Irisan Solusi
Tentukan irisan dari (i) dan (ii):
$$x \geq -3 \cap x \geq 5$$
Irisannya adalah x≥5.
Himpunan Penyelesaian (HP): $\{x \mid x \geq 5\}$
3. Soal Tingkat Menengah: Satu Akar dan Variabel
Soal ini memerlukan pemeriksaan syarat ruas kanan yang mengandung variabel.
Contoh Soal 3: Bentuk $\sqrt{f(x)} < g(x)$
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sqrt{x-1} < x-3$.
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat Numerus
$$x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \quad \dots (i)$$
Langkah 2: Syarat Batas Ruas Kanan (g(x)>0):
Karena hasil akar kuadrat pasti ≥0, maka ruas kanan (x−3) harus positif agar pertidaksamaan f(x)​<g(x) bisa dipenuhi.
$$x – 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \quad \dots (ii)$$
Langkah 3: Pengkuadratan Kedua Ruas
$$(\sqrt{x-1})^2 < (x-3)^2$$
$$x – 1 < x^2 – 6x + 9$$
$$0 < x^2 – 7x + 10$$
Faktorkan: (x−5)(x−2)>0.
Pembuat nol: x=5 dan x=2.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan: x<2 atau x>5…(iii)
Langkah 4: Irisan Solusi
Tentukan irisan dari (i), (ii), dan (iii):
- $(i): x \geq 1$
- $(ii): x > 3$
- $(iii): x < 2$ atau $x > 5$
Irisan dari (i) dan (ii) adalah x>3.
Kemudian, irisan dari (x>3) dan (x<2 atau x>5) adalah x>5.
Himpunan Penyelesaian (HP): $\{x \mid x > 5\}$
4. Soal Tingkat Lanjut: Dua Akar
Pertidaksamaan yang melibatkan dua bentuk akar memerlukan pengkuadratan yang hati-hati.
Contoh Soal 4: Bentuk $\sqrt{f(x)} \leq \sqrt{g(x)}$
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sqrt{2x-4} \leq \sqrt{8-x}$.
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat Numerus (Dua Sisi)
- Akar kiri: $2x – 4 \geq 0 \Rightarrow 2x \geq 4 \Rightarrow x \geq 2 \quad \dots (i)$
- Akar kanan: $8 – x \geq 0 \Rightarrow 8 \geq x \Rightarrow x \leq 8 \quad \dots (ii)$
Langkah 2: Pengkuadratan Kedua Ruas
$$(\sqrt{2x-4})^2 \leq (\sqrt{8-x})^2$$
$$2x – 4 \leq 8 – x$$
$$3x \leq 12$$
$$x \leq 4 \quad \dots (iii)$$
Langkah 3: Irisan Solusi
Tentukan irisan dari (i), (ii), dan (iii):
$$x \geq 2 \cap x \leq 8 \cap x \leq 4$$
Irisannya adalah 2≤x≤4.
Himpunan Penyelesaian (HP): $\{x \mid 2 \leq x \leq 4\}$
Contoh Soal 5: Pertidaksamaan Irasional Kuadrat
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\sqrt{x^2 – 3x} \geq \sqrt{x + 5}$.
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat Numerus (Dua Sisi)
- Akar kiri: x2−3x≥0Faktorkan: x(x−3)≥0. Pembuat nol: x=0 dan x=3.Uji tanda: x≤0 atau x≥3…(i)
- Akar kanan: $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \quad \dots (ii)$
Langkah 2: Pengkuadratan Kedua Ruas
$$(\sqrt{x^2 – 3x})^2 \geq (\sqrt{x+5})^2$$
$$x^2 – 3x \geq x + 5$$
$$x^2 – 4x – 5 \geq 0$$
Faktorkan: (x−5)(x+1)≥0.
Pembuat nol: x=5 dan x=−1.
Uji tanda: x≤−1 atau x≥5…(iii)
Langkah 3: Irisan Solusi
Tentukan irisan dari (i), (ii), dan (iii):
- $(i): x \leq 0 \text{ atau } x \geq 3$
- $(ii): x \geq -5$
- $(iii): x \leq -1 \text{ atau } x \geq 5$
Untuk mendapatkan irisan, kita bisa membagi menjadi dua kasus:
- Kasus x≤0:Irisan: (x≤0)∩(x≥−5)∩(x≤−1)Hasil: −5≤x≤−1
- Kasus x≥3:Irisan: (x≥3)∩(x≥−5)∩(x≥5)Hasil: x≥5
Gabungan dari kedua kasus menghasilkan solusi akhir: $-5 \leq x \leq -1$ atau $x \geq 5$.
Himpunan Penyelesaian (HP): $\{x \mid -5 \leq x \leq -1 \text{ atau } x \geq 5\}$
penulis:Anis puspita sari
Post Comment