Sifat-sifat dasar

Teras adalah sebuah pemetaan linear. Dengan kata lain,^[3][1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (A+B)&=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)\\\operatorname {tr} (cA)&=c\operatorname {tr} (A)\end{aligned}}}$

untuk sebarang matriks persegi ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, dan untuk sebarang skalar ${\displaystyle c}$.^[2]: 34

Nilai teras dari matriks sama dengan nilai teras transposnya:^{[3][1][2]: 34}

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{\mathsf {T}}\right).}$

Hal tersebut terlihat dari fakta operasi transpos tidak memengaruhi elemen-elemen pada diagonal utama.

Hasil perkalian matriks

Teras sebuah matriks persegi yang didapatkan dari hasil perkalian dua matriks, dapat dituliskan sebagai penjumlahan semua perkalian elemen yang bersesuaian lokasi pada kedua matriks. Dalam bahasa yang lebih formal, jika ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah matriks berukuran m × n, maka:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}a_{ij}b_{ij}.}$

Hal ini menandakan bahwa teras dari perkalian dua matriks berukuran sama memiliki fungsi yang serupa dengan hasil kali titik vektor. Analogi perkalian titik untuk keadaan ini adalah membayangkan matriks sebagai vektor kolom yang panjang (dibuat dengan menumpuk kolom-kolom matriks diatas yang lainnya). Sifat ini juga menjadi alasan teras sering digunakan dalam perumuman operasi vektor ke matriks (misal pada ilmu kalkulus matriks dan statistika).

Untuk matriks riil ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, teras dari perkalian kedua matriks tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\sum _{i,j}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )_{ij}}$	(menggunakan hasil kali Hadamard, juga dikenal sebagai perkalian elemen-demi-elemen).
${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}\operatorname {vec} (\mathbf {B} )}$	(menggunakan operator vectorization).

Urutan perkalian matriks dapat ditukar tanpa mengubah nilai terasnya: jika matriks ${\displaystyle A}$ berukuran m × n dan matriks ${\displaystyle B}$ berukuran n × m, maka ^{[1][2]: 34 [note 1]}

Hubungan dengan nilai eigen

Jika ${\displaystyle A}$ adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen bilangan real atau bilangan kompleks, dan λ₁, …, λ_n adalah nilai eigen dari ${\displaystyle A}$ (diurutkan berdasarkan kelipatan algebraic-nya), maka

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}}$

Hal ini disebabkan karena ${\displaystyle A}$ selalu similar dengan bentuk Jordan-nya, yakni sebuah matriks segitiga dengan λ₁, …, λ_n berada pada diagonal utamanya. Di sisi lain, determinan dari ${\displaystyle A}$ adalah hasil perkalian dari nilai-nilai eigennya. Dengan kata lain,

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$

Dalam bentuk yang lebih umum,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}.}$

Catatan kaki

1. ↑ Sifat berikut dapat dibuktikan langsung melalui definisi dari perkalian matriks: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}$$.

Referensi

1. 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. "Matrix Trace". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-09-09.
2. 1 2 3 4 Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (September 2005). Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
3. 1 2 "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices" Diarsipkan 2019-07-01 di Wayback Machine.. . fourier.eng.hmc.edu. Diakses tanggal 2020-09-09.
4. ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Edisi 2nd). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

• l
• b
• s