Tekanan

Tekanan dapat dijelaskan oleh teori kinetik sebagai kemunculan dari gaya yang dihasilkan oleh molekul-molekul gas yang menabrak dinding wadah. Misalkan suatu gas dengan N molekul, masing-masing bermassa m, terisolasi di dalam wadah yang mirip kubus bervolume V. Ketika sebuah molekul gas menumbuk dinding wadah yang tegak lurus terhadap sumbu koordinat x dan memantul dengan arah berlawanan pada laju yang sama (suatu tumbukan lenting), maka momentum yang dilepaskan oleh partikel dan diraih oleh dinding adalah:

${\displaystyle \Delta p_{x}=p_{i}-p_{f}=2mv_{x}\,}$

di mana v_x adalah komponen-x dari kecepatan awal partikel.

Partikel ini memberi tumbukan kepada dinding sekali setiap 2l/v_x satuan waktu (di mana l adalah panjang wadah). Kendati partikel menumbuk sebuah dinding sekali setiap 1l/v_x satuan waktu, hanya perubahan momentum pada dinding yang dianggap, sehingga partikel menghasilkan perubahan momentum pada dinding tertentu sekali setiap 2l/v_x satuan waktu.

${\displaystyle \Delta t={\frac {2l}{v_{x}}}}$

gaya yang dimunculkan partikel ini adalah:

${\displaystyle F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}}{\frac {2l}{v_{x}}}}={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}}$

Keseluruhan gaya yang menumbuk dinding adalah:

${\displaystyle F={\frac {m\sum _{j}v_{jx}^{2}}{l}}}$

di mana hasil jumlahnya adalah semua molekul gas di dalam wadah.

Besaran kecepatan untuk tiap-tiap partikel mengikuti persamaan ini:

${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

Kini perhatikan gaya keseluruhan yang menumbuk keenam-enam dinding, dengan menambahkan sumbangan dari tiap-tiap arah, kita punya:

${\displaystyle {\mbox{Total Force}}=2\cdot {\frac {m}{l}}(\sum _{j}v_{jx}^{2}+\sum _{j}v_{jy}^{2}+\sum _{j}v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m}{l}}\sum _{j}(v_{jx}^{2}+v_{jy}^{2}+v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}}$

di mana faktor dua muncul sejak saat ini, dengan memperhatikan kedua-dua dinding menurut arah yang diberikan.

Misalkan ada sejumlah besar partikel yang bergerak cukup acak, gaay pada tiap-tiap dinding akan hampir sama dan kini perhatikanlah gaya pada satu dinding saja, kita punya:

${\displaystyle F={\frac {1}{6}}\left(2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}\right)={\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{3l}}}$

Kuantitas ${\displaystyle \sum _{j}v_{j}^{2}}$ dapat dituliskan sebagai ${\displaystyle {N}{\overline {v^{2}}}}$, di mana garis atas menunjukkan rata-rata, pada kasus ini rata-rata semua partikel. Kuantitas ini juga dinyatakan dengan ${\displaystyle v_{rms}^{2}}$ di mana ${\displaystyle v_{rms}}$ dalah akar kuadrat rata-rata kecepatan semua partikel.

Jadi, gaya dapat dituliskan sebagai:

${\displaystyle F={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3l}}}$

Tekanan, yakni gaya per satuan luas, dari gas dapat dituliskan sebagai:

${\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3Al}}}$

di mana A adalah luas dinding sasaran gaya.

Jadi, karena luas bagian yang berseberangan dikali dengan panjang sama dengan volume, kita punya pernyataan berikut untuk tekanan

${\displaystyle P={Nmv_{rms}^{2} \over 3V}}$

di mana V adalah volume. Maka kita punya

${\displaystyle PV={Nmv_{rms}^{2} \over 3}}$

Karena Nm adalah masa keseluruhan gas, maka kepadatan adalah massa dibagi oleh volume ${\displaystyle \rho ={Nm \over V}}$.

Maka tekanan adalah

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {\rho \ v_{rms}^{2}}{2}}}$

Hasil ini menarik dan penting, sebab ia menghubungkan tekanan, sifat makroskopik, terhadap energi kinetik translasional rata-rata per molekul ${\displaystyle {1 \over 2}mv_{rms}^{2}}$ yakni suatu sifat mikroskopik. Ketahuilah bahwa hasil kali tekanan dan volume adalah sepertiga dari keseluruhan energi kinetik.

Suhu dan energi kinetik

Dari hukum gas ideal

${\displaystyle PV=Nk_{B}T}$(1)

dimana B adalah konstanta Boltzmann dan T adalah suhu absolut. Dan dari rumus diatas, dihasilkan ${\displaystyle PV={Nmv_{rms}^{2} \over 3}}$ Derivat:

${\displaystyle Nk_{B}T={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3}}}$

${\displaystyle T={\frac {mv_{rms}^{2}}{3k_{B}}}}$(2)

yang menuju ke fungsi energi kinetik dari sebuah molekul

${\displaystyle mv_{rms}^{2}=3k_{B}T}$

Energi kinetik dari sistem adalah N kali lipat dari molekul ${\displaystyle K={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{2}}}$

Suhunya menjadi

${\displaystyle T={\frac {2K}{3Nk_{B}}}}$(3)

Persamaan 3 ini adalah salah satu hasil penting dari teori kinetik

Rerata energi kinetik molekuler adalah sebanding dengan suhu absolut.

Dari persamaan 1 dan 3 didapat:

${\displaystyle PV={\frac {2K}{3}}}$(4)

Dengan demikian, hasil dari tekanan dan volume tiap mol sebanding dengan rerata energi kinetik molekuler. Persamaan 1 dan 4 disebut dengan hasil klasik, yang juga dapat diturunkan dari mekanika statistik.^[1]

Karena 3N adalah derajat kebebasan (DK) dalam sebuah sistem gas monoatomik dengan N partikel, energi kinetik tiap DK adalah:

${\displaystyle {\frac {K}{3N}}={\frac {k_{B}T}{2}}}$(5)

Dalam energi kinetik tiap DK, konstanta kesetaraan suhu adalah setengah dari konstanta Boltzmann. Hasil ini berhubungan dengan teorema ekuipartisi. Seperti yang dijelaskan pada artikel kapasitas bahang, gas diatomik seharusnya mempunyai 7 derajat kebebasan, tetapi gas yang lebih ringan berlaku sebagai gas yang hanya mempunyai 5. Dengan demikian, energi kinetik tiap kelvin (gas ideal monoatomik) adalah:

• Tiap mole: 12.47 J
• Tiap molekul: 20.7 yJ = 129 μeV

Pada STP (273,15 K , 1 atm), didapat:

• Tiap mole: 3406 J
• Tiap molekul: 5.65 zJ = 35.2 meV

Banyaknya tumbukan dengan dinding

Jumlah tumbukan atom dengan dinding wadah tiap satuan luar tiap satuan waktu dapat diketahui. Asumsikan pada gas ideal, derivasi dari ^[2] menghasilkan persamaan untuk jumlah seluruh tumbukan tiap satuan waktu tiap satuan luas:

${\displaystyle A={\frac {N\cdot v_{avg}}{4V}}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}{\frac {1}{m}}.}$

Laju RMS molekul

Dari persamaan energi kinetik dapat ditunjukkan bahwa:

${\displaystyle v_{rms}^{2}={\frac {3RT}{\mbox{massa mol}}}}$

dengan v pada m/s, T pada kelvin, dan R adalah konstanta gas. Massa molar diberikan sebagai kg/mol. Kelajuan paling mungkin adalah 81.6% dari kelajuan RMS, dan rerata kelajuannya 92.1% (distribusi kelajuan Maxwell-Boltzmann).

Banyaknya tumbukan dengan dinding

One can calculate the number of atomic or molecular collisions with a wall of a container per unit area per unit time.

Assuming an ideal gas, a derivation^[3] results in an equation for total number of collisions per unit time per area:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\frac {N}{V}}v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}{\frac {1}{m}}.\,}$

Laju RMS molekul

From the kinetic energy formula it can be shown that

${\displaystyle (v_{rms})^{2}={\frac {3RT}{\mbox{massa molar}}}}$

dengan v dalam m/s, T dalam kelvin, dan R adalah konstanta gas. Satuan dari massa molar adalah kg/mol.